Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

1. Phương pháp giải

– Xác định tâmIvà bán kínhRcủa đường tròn(C)

– DoΔ∥d:Ax+By+C=0⇒Δ:Ax+By+c=0(c≠C)

–Δtiếp xúc với(C)⇔d(I,Δ)=R

Giải phương trình này ta tìm đượcc.

Hình minh họa

Ví dụ áp dụng

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):(x−1)2+(y+3)2=16 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:6x−8y+2019=0.

Giải
(C)có tâmI(1;−3)và bán kínhR=4.

Tiếp tuyếnΔsong song vớidnên có phương trình dạng6x−8y+c=0,(c≠2019).

Δtiếp xúc với(C)⇔d(I,Δ)=R⇔|30+c|100√=4

Giải phương trình này ta đượcc=10hoặcc=−70.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán với phương trình tương ứng là

6x−8y+10=0;6x−8y−70=0

Ngoài dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng, chúng ta còn có hai dạng bài tập khác:

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M(x0; y0) thuộc đường tròn. Ta dùng công thức tách đôi toạ độ.

- Nếu phường trình đường trong là: x2 + y2 - 2ax – 2by +c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: xx0 + yy0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0

-Nếu phương trình đường tròn là: (x – a)2 + (y – b)2 = R2thì phương trình tiếp tuyến là: (x – a)(x0 – a) + (y – b)(y0 – b) = R2

Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm I(x0; y0) cho trước ngoài đường tròn.

Viết phường trình của đường thẳng d qua I(x0; y0) :

y – y0 = m(x – x0) ⇔ mx – y – mx0+ y0 = 0 (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phường trình tiếp tuyến.

Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến

2. Bài tập vận dụng

Bài 1.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):x2+y2−4x+8y−5=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:2x−3y+5=0.

Bài 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):x2+y2+2x−2y−15=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y=4x−2019.

Bài 3.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):(x+5)2+(y+2)2=36 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y=−5x+13.

Bài 4.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):2x2+2y2−4x+12y+18=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:−3x+4y+2018=0.

Bài 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C):(x−1)2+(y−3)2=22 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y= −2018x+35

Dưới đây là một số kiến thức bổ sung để bạn đọc hiểu rõ thêm về tiếp tuyến của đường tròn.

1. Tiếp tuyến là gì?

Tiếp tuyến của một đường cong tại mộtđiểmbất kỳ thuộc đường cong có nghĩa là một đường thẳng chỉchạmvào đường cong tại điểm đó.

Tiếp tuyến

2. Tiếp tuyến của đường tròn là gì?

Tiếp tuyến của đường tròn là mộtđường thẳngđi qua một điểm của đường tròn và vuông góc vớibán kínhđi qua điểm đó.

Tiếp tuyếncủa đường tròn

3. Tính chất của tiếp tuyến

- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

- Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì qua tâm.

- Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.

Tính chất tiếp tuyến của đường tròn

- 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại điểm bất kỳ, điểm đó sẽ có khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau được gọi là tia phân giác của 2 bán kính đi qua các tiếp điểm.

- Nếu 2 tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA bù nhau.

4. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từtâmcủa một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Dạng toán này thường ra để học sinh lấy điểm, cho nên các em học sinh, các bạn cần nắm vững kiến thức và làm chắc dạng toán này. Viết phương trình tiếp tuyến thường ra có dạng: phương trình tiếp tuyến tại điểm, phương trình tiếp tuyến qua điểm, phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k, và phương trình tiếp tuyến chứa tham số m.. Cụ thể cách viết phương trình tiếp tuyến như thế nào, chúng ta cùng đến với nội dung ngay sau đây.

Bạn đang xem: Tiếp tuyến song song với đường thẳng

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Các dạng toán về phương trình tiếp tuyến 

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc m tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M (x0, y0).

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0, y0) là y = y"(x0 )(x – x0) + y0.

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.

Các dạng toán về phương trình tiếp tuyến 

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Tiếp tuyến tại tiếp điểm

Phương pháp:

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại điểm M (x0, y0).

Phương pháp giải:

Bước 1. Tính đạo hàm y’ = f(x). Từ đó suy ra hệ số góc tiếp tuyến k = y"(x0).

Bước 2: Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x0, y0) có dạng:

y = y"(x0)(x – x0) + y0.

Chú ý: 

– Nếu đề cho hoành độ tiếp điểm x0 thì tìm y0 bằng cách thế x0 vào hàm số y = f(x0).

– Nếu đề cho tung độ tiếp điểm y0 thì tìm y0 bằng cách thế y0 vào hàm số y = f(x0).

– Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm x là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d có dạng f(x) = ax + b. 

Đặc biệt: Trục hoành Ox thì có y = 0 và trục tung Oy thì x = 0. 

Sử dụng máy tính cầm tay:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thực chất là cách rút gọn các bước ở cách tính thủ công. Sử dụng máy tính giúp các em tính toán nhanh hơn và chính xác hơn. Hơn nữa với hình thức thi trắc nghiệm thì sử dụng máy tính cầm tay là phương pháp được nhiều giáo viên hướng dẫn và học sinh chọn.

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C); y = x3 + 2x2 tại điểm M (1; 3). 

Giải: 

Cách 1: Ta có y’ = 3x2 + 4x => k = y"(1) = 3.12 + 4.1 = 7.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (1; 3) là:

d: y = y’0 (x – x0) + y0 y = 7.(x – 1) + 3 y = 7x – 4.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 7x – 4.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại M là y = 7x – 4.

Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số (C):

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M.

Giải:

Cách 1:

Ta có: x0 = -1. Suy ra y0 = y(-1) = 1/2 và

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Phương trình tiếp tuyến tại M là:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4. 

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4. 

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y = x4 – 2x2.

Giải: 

Cách 1:

Ta có: 4x3 – 4x = 4x.(x2 – 1)

Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành Ox là: 

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Bây giờ bài toán chuyển thành dạng viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.

+ Với x0 = 0 => y0 = 0 và k = y"(x0)= 0.

=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0.

+ Với

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (√2; 0) có hệ số góc k = 4√2 là:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

+ Với

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có hệ số góc k = – 4√2 là:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:

y = 0, y = 4√2x – 8 và y = – 4√2x – 8.

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA).

Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA), hệ số góc k có dạng:

d: y = k( x- xA) + yA (*)

Bước 2. d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

có nghiệm. 

Bước 3. Giải hệ phương trình trên, tìm được x, suy ra tìm được k, sau đó thế vào phương trình đường thẳng d (*) thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm. 

Cách 2:

Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tiếp điểm. Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f"(x0) theo x0.

Xem thêm: Tả 1 Ngày Mới Bắt Đầu Ở Quê Em, Văn Mẫu Lớp 5, Tuyển Chọn, Văn Hay Lớp 5

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = f"(x0).(x – x0) + f(x0) (**).

Vì điểm A(xA; yA) thuộc d nên yA = f"(x0).(xA – x0) + f(x0). Giải phương trình trên tìm được x0. 

Bước 3. Thay x0 vừa tìm được vào (**) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm .

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = – 4x3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2). 

Ta có: y’= – 12x2 + 3

Giải: 

– Đường thẳng d đi qua A (-1; 2) có hệ số góc k có phương trình d: y = k(x + 1) + 2.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

có nghiệm.

Rút k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:

– 4x3 + 3x + 1 = (-12x2 + 3)(x + 1) + 2

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

x = -1 hoặc x = 1/2.

+ Với x = -1. Thế vào phương trình k = – 12x2 + 3 ta được k bằng -9. 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 9x – 7. 

+ Với x = 1/2. Thế vào phương trình k = – 12x2 + 3 ta được k bằng 0.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2.

Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 2) là y = – 9x – 7 và y = 2.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của (C):

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

đi qua điểm A(-1; 4).

Giải:

Điều kiện: x khác – 1. Ta có:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4.

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Thay k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Đối chiếu với điều kiện x khác – 1 thì nghiệm x = -1 (loại), nghiệm x = -4 (nhận).

Với x = -4 =>

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Phương trình tiếp tuyến là

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

Phương pháp: 

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

Phương pháp giải:

Bước 1. Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm và tính y’= f"(x)

Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến k = f"(x0). Giải phương trình này ta tìm được x0, thế vào hàm số tìm được y0. 

Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến dưới dạng như sau:

d: y = y’0.(x – x0) + y0.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng:

– Tiếp tuyến d // đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a. 

Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d // đường thẳng cho trước có hệ số góc k = a. 

Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu trùng thì không nhận kết quả đó.

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng: 

– Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax + b => k.a = -1 => k = -(1/a).

Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng cho trước có hệ số góc k = -(1/k).

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tạo với trục hoành 1 góc α:

– Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα.

Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y = ax + b một góc α, khi đó:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.

Giải:

Ta có: y’= 3x2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0; y0). Suy ra hệ số góc tiếp tuyến là k = y"(x0) 

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

+ Với x0 = 2 => y0 = (23) – 3.2 + 2 = 4. Ta có tiếp điểm M1(2; 4).

Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

+ Với x0 = -2 => y0 = 0. Ta có tiếp điểm M2 (-2; 0). 

Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m

Phương pháp:

Dựa vào điều kiện bài toán và các dạng toán ở trên để biện luận tìm ra tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị hàm số (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1. 

Giải:

TXD: D = R

Ta có: y’ = 3x2 – 6x.

Điểm M có hoành độ x0 = 1 nên suy ra

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Vậy tọa độ điểm M (1; -2). 

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M (1; -2) của (C) có dạng:

y – y0 = y"(x0).(x – x0) y + 2 = (3.12 – 6.1).(x – 1) y = -3x + 1.

Khi đó để (d) // Δ:

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Từ đó phương trình đường thẳng Δ: y = -3x + 3.

Kết luận: vậy với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M (1; -2) song song với đường thẳng Δ.

Bài tập phương trình tiếp tuyến nâng cao

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Viết pttt của (C) biết tt song song với đường thẳng

Trên đây là các dạng toán về phương trình tiếp tuyến và những phương pháp tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có ví dụ cụ thể. Hy vọng rằng các em nắm được phần kiến thức quan trọng này. Truy cập hibs.vn để học giỏi môn toán nhé.