Cho hình hình hành
Đề bài
Cho hình hình hành \[ABCD\] có \[AD = 2AB\]. Từ \[C\] vẽ \[CE\] vuông góc với \[AB\] tại \[E\]. Nối \[E\] với trung điểm \[M\] của \[AD\]. Từ \[M\] vẽ \[MF\] vuông góc với \[CE\] tại \[F\], \[MF\] cắt \[BC\] tại \[N\].
- Tứ giác \[MNCD\] là hình gì?
- Chứng minh tam giác \[EMC\] cân tại \[M\]
- Chứng minh rằng \[\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\]
Hướng dẫn:
- Chứng minh \[EN = NC = NB = \] \[\frac{1}{2}\] \[BC\]
- Chứng minh \[\widehat {AEM} = \widehat {EMN} = \widehat {NMC} = \widehat {MCD} = \frac{1}{2}\widehat {NCD}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi
- Áp dụng dấu hiệu nhận biết của tam giác cân
Lời giải chi tiết
- Ta có:
\[MN \bot CE\] [gt]
\[AB \bot CE\] [gt]
Suy ra \[MN\] // \[AB\]
\[MN\]Mà \[AB\] // \[CD\] [do \[ABCD\] là hình bình hành] nên \[MN\]
// \[CD\]
Xét tứ giác \[MNCD\] ta có:
\[MN\] // \[CD\] [cmt]
\[MD\] // \[CN\] [do \[AD\] // \[BC\]]
Suy ra \[MNCD\] là hình bình hành
Lại có:
\[AD = 2AB\] [gt];
\[AD = 2MD\] [do \[M\] là trung điểm của \[AD\]]
\[AB = CD\] [do \[ABCD\] là hình bình hành]
Suy ra \[MD = CD\]
Hình bình hành \[MNCD\] có \[MD = CD\] [cmt] nên là hình thoi
- Vì \[MNCD\] là hình thoi nên \[MD = CD = NC = MN = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC\] [do \[AD = BD\]]
Do \[NC = \frac{1}{2}BC\] nên \[N\] là trung điểm của \[BC\]
Xét \[\Delta EBC\] vuông tại \[E\] có \[EN\] là trung tuyến nên \[EN = \frac{1}{2}BC\]
Suy ra \[EN = NB = NC = \frac{1}{2}BC\]
Suy ra \[\Delta NEC\] cân tại \[N\]
Mà \[NF\] là đường cao [do \[MF \bot EC\]]
Suy ra \[NF\] cũng là trung tuyến, phân giác, trung trực của \[\Delta NEC\]
Suy ra \[F\] là trung điểm \[EC\]
Xét \[\Delta MEC\] có \[MF\] là đường cao đồng thời là trung tuyến
Suy ra \[\Delta EMC\] cân tại \[M\]
- Vì \[AB\] // \[MN\] [cmt]
Suy ra \[\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{EMN}}}\] [so le trong]
Mà \[\widehat {{\rm{EMN}}} = \widehat {{\rm{NMC}}}\] [do \[MF\] là phân giác]
\[\widehat {{\rm{NMC}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\] [do \[MN\] // \[CD\]]
Suy ra \[\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\]
Mà \[\widehat {{\rm{MCD}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BCD}}}\] [do \[MNCD\] là hình thoi]
Và \[\widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{BAD}}}\] [do \[ABCD\] là hình bình hành]
Suy ra \[\widehat {{\rm{AEM}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}\]
Suy ra \[\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\]
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
\>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách [Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều], theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.