- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Với những giá trị nào của \[x\], ta có mỗi đẳng thức sau ?
LG a
\[\dfrac{1}{{\tan x}} = \cot x\]
Phương pháp giải:
Biến đổi \[VT=VP\], từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.
Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.
Lời giải chi tiết:
\[VT = \dfrac{1}{{\tan x}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}}} \]\[= \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x = VP\]
Do đó \[VT=VP\] nếu hai vế xác định.
ĐKXĐ: \[ \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\]
\[ \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\]
Vậy đẳng thức xảy ra khi \[x \ne k\dfrac{\pi }{2}{\rm{,}}k \in \mathbb{Z}\]
LG b
\[\dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x\]
Phương pháp giải:
Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.
Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\[VP = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}\]
\[ = \dfrac{1}{{\dfrac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}\] \[= \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}} = {\cos ^2}x = VP\]
Do đó \[VT=VP\] nếu hai vế xác định
ĐKXĐ: \[ \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
Vậy đẳng thức xảy ra khi \[x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
LG c
\[\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\]
Phương pháp giải:
Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.
Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\[VP = 1 + {\cot ^2}x = 1 + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\]
\[ = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = VT\]
Do đó \[VT=VP\] nếu hai vế xác định.
ĐKXĐ: \[\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
Vậyđẳng thức xảy ra khi \[x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
LG d
\[\tan x + \cot x = \dfrac{2}{{\sin 2x}}\]
Phương pháp giải:
Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.
Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[VT = \tan x + \cot x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\] \[ = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = \dfrac{1}{{\sin x\cos x}}\]
\[VP = \dfrac{2}{{\sin 2x}} = \dfrac{2}{{2\sin x\cos x}}\] \[= \dfrac{1}{{\sin x\cos x}}\]
Do đó \[VT=VP\]nếu hai vế xác định.
\[VT\] xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\] \[ \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\]
\[VP\] xác định khi \[\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\].
Vậyđẳng thức xảy ra khi \[x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\].