Cho hai đường tròn [[O]] và [[O']] tiếp xúc ngoài tại [A]. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài [BC], [Bin [O],Cin [O'].] Tiếp tuyến chung trong tại [A] cắt tiếp tuyến chung ngoài [BC] ở [I].
- Chứng minh rằng [widehat{BAC}=90^{circ}].
- Tính số đo góc [OIO'].
- Tính độ dài [BC], biết [OA=9cm, O'A=4cm.]
Lời giải chi tiết
a]
Xét đường tròn [[O]] có [IB, IA] là hai tiếp tuyến lần lượt tại [B, A]
[Rightarrow IB=IA] [1]; [IO] là tia phân giác của góc [BIA Rightarrow widehat{I_1}=widehat{I_2}] [2]
Xét đường tròn [[O']] có [IC, IA] là hai tiếp tuyến lần lượt tại [C, A]
[Rightarrow IC=IA] [3]; [IO'] là tia phân giác của góc [CIA Rightarrow widehat{I_3}=widehat{I_4}] [4]
Từ [1] và [3] [Rightarrow IB=IC=IA=dfrac{1}{2}BC]
[Rightarrow Delta{ABC}] vuông tại [A] [tam giác có đường trung tuyến AI ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông]
[Rightarrow widehat{BAC}=90^{circ}].
- Cách 1:
Ta có: [widehat{I_1}+widehat{I_2}+widehat{I_3}+widehat{I_4}=180^o] [5]
Từ [2], [3], [5] [Leftrightarrow widehat{I_2}+widehat{I_2}+widehat{I_3}+widehat{I_3}=180^o]
[Leftrightarrow 2widehat{I_2}+2widehat{I_3}=180^o]
[Leftrightarrow 2[widehat{I_2}+widehat{I_3}]=180^o]
[Leftrightarrow widehat{I_2}+widehat{I_3}=90^o]
[Leftrightarrow widehat{OIO'}=90^o]
Cách 2:
Vì góc [BIA] và góc [AIC] là hai góc kề bù
Suy ra [widehat{OIO'}=90^{circ}] [hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau].
- Vì [IA] là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nên [IA bot OO'].
Xét tam giác [OIO'] vuông tại [I] có [IA] là đường cao, áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:
[AI^2=AO.AO' Rightarrow AI^2=9.4=36]
[Rightarrow AI= sqrt{36}=6 cm]
Từ câu a, ta có [AI=dfrac{BC}{2} Rightarrow BC=2.AI=2.6=12cm]
Nhận xét. Câu a], b] chỉ là gợi ý để làm câu c]. Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi.
Bài 39 này sẽ giúp các em vận dụng cụ thể nhất về tính chất và vị trí của hai đường tròn tiếp xúc nhau, cũng như tính toán các độ dài một cách chính xác nhất
.png]
Câu a:
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[IA = IB = IC = \frac{1}{2}BC\]
Tam giác ABC có I là đường trung tuyến ứng với cạnh BC và bằng một nửa cạnh BC nên tam giác ABC vuông tại A
\[\Rightarrow \widehat {BAC} = {90^0}\]
Câu b:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\[\left\{\begin{matrix} \widehat{BIO}=\widehat{OIA}\\ \widehat{AIO'}=\widehat{O'IC} \end{matrix}\right.\]
Mà:
\[\widehat{BIO}+\widehat{OIA}+\widehat{AIO'}+\widehat{O'IC}=180^o\]
\[\Leftrightarrow 2\widehat{OIA}+2\widehat{AIO'}=180^o\]
\[\Leftrightarrow \widehat{OIA}+\widehat{AIO'}=90^o\]
\[\Rightarrow \widehat{OIO'}=90^o\]
Câu c:
Ta có:
\[AI \bot OO'\]
Xét tam giác OIO' vuông tại I, ta có:
\[IA^{2}=OA.O'A=9.4=36\Rightarrow IA=6[cm]\]
\[\Rightarrow BC=2IA=12[cm]\]
Nhận xét: Câu a, b chỉ là gợi ý để làm câu c.
Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi.
- Tâm của các đường tròn có bán kính \[1cm\] tiếp xúc ngoài với đường tròn \[[O;\ 3cm]\] nằm trên ...
- Tâm của các đường tròn có bán kính \[1cm\] tiếp xúc trong với đường tròn \[[O;\ 3cm]\] nằm trên ...
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho hai đường tròn \[[O;\ R]\] và \[[O';\ r]\]. Khi đó:
- \[[O;\ R]\] và \[[O';\ r]\] tiếp xúc ngoài nếu \[OO'=R+r\];
- \[[O;\ R]\] và \[[O';\ r]\] tiếp xúc trong nếu \[OO'=R-r > 0\].
Lời giải chi tiết
a]
Giả sử hai đường tròn [O;3cm] và [O';1cm] tiếp xúc ngoài tại A.
Khi đó \[OO'=R+r=OA+O'A=3+1=4 [cm].\]
Vậy \[O'\] luôn cách \[O\] một khoảng không đổi là \[4cm\]. Do đó \[O'\] nằm trên đường tròn tâm \[O\] bán kính \[4cm\].
Trả lời: Tâm của các đường tròn có bán kính \[1cm\] tiếp xúc trong với đường tròn \[[O;3cm]\] nằm trên đường tròn \[[O;\ 2cm]\].