Một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi ma trận hệ số và ma tận mở rộng của hệ có hạng bằng nhau.
Nhận xét:
Do mọi định thức con của A đều là định thức con của nên:
– Giả sử . Khi đó: ma trận bậc thang dòng của ma trận mở rộng của hệ phương trình tồn tại ít nhất 1 dòng có dạng sau:
Điều này nghĩa là hệ vô nghiệm.
– Nếu [số ẩn]: Hệ tương đương với hệ Crammer nên có duy nhất nghiệm.
– Nếu :
Ví dụ: [1] hoặc [2]
Với hệ [1] ta có: x = 1 – y – z [1 ẩn phụ thuộc 2 ẩn còn lại] và
Với hệ [2] ta có: [2 ẩn phụ thuộc vào ẩn thứ 3] và
Từ 2 ví dụ trên, ta nhận thấy nếu thì hệ có vô số nghiệm. Trong đó có r ẩn phụ thuộc [n-r] ẩn còn lại.
Vậy:
– Nếu : hệ vô nghiệm.– Nếu [ = số ẩn]: hệ có nghiệm duy nhất.
– Nếu : hệ có vô số nghiệm với r ẩn chính và n – r ẩn tham số.
2. Phương pháp khử Gauss:
Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận mở rộng và dạng ma trận bậc thang dòng. Khi đó, dễ dàng biết được hạng của ma trận hệ số A và hạng của ma trận mở rộng.
Trong trường hợp hệ có vô số nghiệm, với r ẩn chính, thì các ẩn được chọn là ẩn chính là những ẩn nằm trên các cột chứa phần tử khác không đầu tiên của các dòng. Các ẩn tự do, ta xem như tham số và chuyển sang vế phải. Khi đó, giải hệ phương trình ngược từ phương trình cuối lên phương trình đầu.
Hệ phương trình tuyến tính – Bài tập
có lời giải
Đăng vào 02/09/2022Tác giả Nguyễn Tiến Trường
Hệ phương trình đại số tuyến tính là một trong những kiến thức thường
có trong đề thi môn toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích.
Bài viết dưới đây TTnguyen sẽ tổng hợp kiến thức cơ bản về định
nghĩa hệ phương trình tuyến tính, các phương pháp giải hệ phương
trình tuyến tính và một số dạng bài tập hệ phương trình tuyến
tính cơ bản giúp bạn ôn tập dễ dàng.
Nội dung
1. Hệ phương trình tuyến tính là gì?
2. Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
3. Biện luận nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
4. Bài tập giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số m
1. Hệ phương trình tuyến tính là gì?
Hệ phương trình tuyến tính là tập hợp của hai hoặc nhiều phương
trình tuyến tính có cùng biến số giống nhau. Phương trình tuyến tính có
thể có một biến, hai biến hoặc ba biến. Dưới đây là dạng tổng quát của
hệ với m phương trình và n ẩn
Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:
Trong đó:
xi: được gọi là các ẩn của hệ
aij: được gọi là các hệ của ẩn
bi: được gọi là các hệ số tự do
Ký hiệu: Như chúng ta đã biết, hệ phương trình tuyến tính có thể viết
dưới dạng ma trận. Do đó, hệ phương trình tuyến tính n biến có thể
được viết dưới dạng: