- LG a
- LG b
Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.
LG a
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Lời giải chi tiết:
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có \[\Delta ABC = \Delta BAD\,\,\left[ {c.c.c} \right] \] \[\Rightarrow CI = DI\][2 trung tuyến tương ứng]
\[\Delta CID\] cân tại I nên \[IJ \bot CD\].
Do CAD = DBC [c.c.c] nên AJ = BJ hay tam giác ABJ cân tại J.
Lại có CJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
IJ AB
Gọi O là trung điểm của IJ thì OA = OB và OC = OD.
Vì AB = CD = c nên hai tam giác vuông OIB và OJC bằng nhau, do đó OB = OC.
Vậy O cách đều bốn đỉnh A, B, C, D.
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm R = OA.
Ta có: \[O{A^2} = O{I^2} + A{I^2} \] \[= {{I{J^2}} \over 4} + {{A{B^2}} \over 4} \] \[= {{I{J^2} + {c^2}} \over 4}\]
Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC nên \[C{I^2} = {{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \over 4}\]
Suy ra \[I{J^2} = C{I^2} - C{J^2} \] \[= {{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4} = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over 2}\]
Như vậy \[{R^2} = O{A^2} = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over 8}\] và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\[S = 4\pi {R^2} = {\pi \over 2}\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right]\]
LG b
Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của hình tứ diện [nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện]
Lời giải chi tiết:
Các mặt của hình tứ diện là các tam giác bằng nhau [đều có ba cạnh bằng a, b, c] nên các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đó có bán kính r bằng nhau.
Các đường tròn đó đều nằm trên mặt cầu tâm [O;R] nên khoảng cách từ tâm O tới các mặt phẳng chứa các đường tròn đó bằng nhau và bằng \[h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \].
Vậy mặt cầu tâm O, bán kính h là mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
[OA = R, OH = h, HA = r]