-
40 bài tập trắc nghiệm giới hạn dãy số
Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm giới hạn dãy số đầy đủ mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết
Xem lời giải -
60 bài tập giới hạn của hàm số
Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm giới hạn hàm số đầy đủ mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết
Xem lời giải
Quảng cáo
Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các kiến thức cơ bản, công thức tính và hướng dẫn giải các dạng bài tập giới hạn hàm số lớp 11, các dạng giới hạn vô định, kèm ví dụ cụ thể, giúp bạn dễ dàng làm chủ các phần kiến thức giới hạn hàm số cũng như dễ dàng giải quyết các bài tập tính lim trong mọi trường hợp.
Link tải toàn bộ tài liệu
Nội dung chi tiết:
Bảng các công thức tính giới hạn hàm số
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
Kiến thức liên quan:
Giải bài tập giới hạn hàm số dạng vô định
Để giải quyết các bài tập giới hạn hàm số dạng vô định, đầu tiên, chúng ta cần phải khử dạng vô định. Các dạng vô định hàm số bao gồm: 0/0 ; ∞/∞ ; ∞ – ∞ ; 0. ∞
Sau khi khử xong các dạng vô định, chúng ta sẽ tiến hành giải các bài tập này như các bài tập giới hạn hàm số thông thường, dựa vào các công thức phía trên
Một số phương pháp khử dạng vô định
Ví dụ minh họa
Hướng dẫn giải
Bài 1. Các ý a. b. c. giải tương tự nhau
- Trường hợp này, các bạn sẽ thấy lũy thừa bậc cao nhất của tử là 4, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 3. Do đó, chúng ta sẽ đặt nhân tử chung là x4 sau đó thực hiện phép chia.
Bài 2. Giải ý a, b tương tự nhau
Với ý a, hàm số có chứa căn bậc 2, biểu thức trong căn lũy thừa bậc cao nhất là 2. Biểu thức ngoài căn có lũy thừa bậc cao nhất là 1. Do đó, trong căn, các bạn cần đặt nhân tử chung là x2 trùng với bậc của căn để khai căn.
Nhìn chung, các bài tập giới hạn hàm số vô định thường khó nhất ở đoạn khử hàm vô định. Sau khi khử dạng vô định xác, các bạn chỉ cần áp dụng các công thức cơ bản là có thể dễ dàng tính toán được.
Giải bài tập giới hạn hàm số mũ
Phương pháp giải:
Hai phương pháp giải phổ biến đối với hàm số mũ là sử dụng các giới hạn đặc biệt hay sử dụng các công thức đạo hàm như ln x
Ví dụ: Áp dụng các phương pháp trên để tính giới hạn hàm số mũ dưới đây
Trên đây là những kiến thức về giới hạn hàm số lớp 11 cũng như cách tính giới hạn lim trong từng trường hợp cụ thể. Hi vọng qua bài viết viết này, các bạn sẽ dễ dàng làm chủ được phần kiến thức này.
Code: 58963
Có thể bạn quan tâm:
- Công thức đạo hàm
- Công thức nguyên hàm
- Công thức lượng giác
Giới hạn hàm số hay thường gọi là giới hạn của hàm số – Là kiến thức quan trọng của toán 11 thuộc bậc THPT. Để học tốt phần này bạn cần hiểu rõ lý thuyết, biết cách vận dụng linh hoạt các dạng vào giải bài tập.
1. Lý thuyết giới hạn hàm số
1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1. [Giới hạn hữu hạn]: Giả sử [a; b] là một khoảng chứa điểm x0 và y = f [x] là một hàm số xác định trên một khoảng [a; b], có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f [x] có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 [hoặc tại điểm x0 ] nếu với mọi dãy số [xn] trong tập hợp [a; b] \ {x0} mà lim xn = x0 ta đều có lim f [xn] = L Khi đó ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = L$ = L hoặc f [x] → L khi x → x0
Từ định nghĩa, ta có các kết quả:
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c$ = c, với c là hằng số.
- Nếu hàm số f [x] xác định tại điểm x0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]$
Định nghĩa 2. [Giới hạn vô cực]: Giả sử [a; b] là một khoảng chứa điểm x0 và y = f [x] là một hàm số xác định trên một khoảng [a; b], có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f [x] có giới hạn là vô cực khi x dần đến x0 [hoặc tại điểm x0 ] nếu với mọi dãy số [xn] trong tập hợp [a; b] \ {x0} mà lim xn = x0
ta đều có limf[xn]= ±∞
Khi đó ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right]$ = ± ∞ hoặc f [x] → ±∞ khi x → x0
1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 3. Giả sử hàm số y = f [x] xác định trên khoảng [a; +∞]. Ta nói hàm số f [x] có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số [xn] trong tập hợp [a; +∞] mà lim xn = +∞
ta đều có lim f [xn] = L
1.3 Một số định lý về giới hạn hữu hạn
Sau đây là 3 định lý quan trọng về giới hạn hữu hạn hàm số
1.4 Giới hạn một bên
Đề tìm giới hạn bên phải hay giới hạn bên trái của hàm số f[x], ta dựa vào lý thuyết quan trọng sau
1.5 Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực
Sau đây là 2 Quy tắc quan trọng đề tìm giới hạn vô cực bạn cần nhớ
1.6 Các dạng vô định
2. Phân dạng giới hạn hàm số
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn
Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3.
Bài tập 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x – 1}}$
Lời giải
Dạng 2. Chứng minh rằng $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right]$ không tồn tại
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số lượng giác sau $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\cos x} \right]$
Lời giải
Đặt f[x] = cos x. Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với:
Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn
Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của những hàm số mà ta đã biết giới hạn.
Ta có kết quả sau:
Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể Giả sử cần tính giới hạn hàm số $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right]$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right]$
ta thực hiện các bước sau:
Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {{x^2} + x} \right]$
Lời giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {{x^2} + x} \right]$ = 32 + 3 = 12
Nhận xét
- Với hàm số f[x] xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị f[x]
- Với hàm số $\frac{{f\left[ x \right]}}{{g\left[ x \right]}}$ có f[x0] ≠ 0 và g[x0] = 0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bằng ∞.
- Trong trường hợp với hàm số $\frac{{f\left[ x \right]}}{{g\left[ x \right]}}$ có f[x0] = 0 [tức có dạng $\frac{0}{0}$]
- Chúng ta cần sử dụng các phép biến đổi đại số để khử dạng $\frac{0}{0}$, và thông thường là làm xuất hiện nhân tử chung [x − x0]
Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số
Sử dụng các định lí với lưu ý sau:
- x → $x_0^ + $; được hiểu là x → x0 và x > x0 [ khi đó |x − x0| = x − x0 ].
- x → $x_0^ – $; được hiểu là x → x0 và x < x0 [ khi đó |x − x0| = x0 − x]
Bài tập 4: Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau:
a] $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}}$
b] $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}}$
Lời giải
a] $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x – 6}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 3 = 3$
b] $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{ – 3x + 6}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ { – 3} \right] = – 3$
Nhận xét: Vậy, nếu hàm số f[x] không xác định tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không khác so với giới hạn tại x0
Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép
Bài tập 5. Cho hàm số
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left[ x \right]$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right]$
Lời giải
Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực
Dạng 7. Dạng $\frac{0}{0}$
Bản chất của việc khử dạng không xác định $\frac{0}{0}$ là làm xuất hiện nhân tử chung để:
- Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác định
- Hoặc là biến đổi về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc đã biết kết quả hoặc biết cách giả
Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0
a] Đối với dạng 0.∞ và ∞0 ta chọn một trong hai cách sau
Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản
Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa với các bước
b] Đối với dạng 1∞ cần nhớ các giới hạn cơ bản sau $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {1 + x} \right]^{\frac{1}{x}}} = e$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {1 + \frac{1}{x}} \right]^x} = e$
Trên đây là bài viết chia sẻ cách tìm giới hạn hàm số và các dạng bài tập thường gặp. Bài tới ta sẽ học về hàm số liên tục, mới bạn đón xem.
Mọi thắc mắc bạn vui lòng để lại bình luận bên dưới để Toán học giải đáp chi tiết hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả