Cấu trúc module xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, ideal, nhóm Abel, không gian vectơ. Tính linh hoạt và phổ quả của cấu trúc module đã mang lại những ứng dụng to lớn. Thông qua lí thuyết module, bạn đọc sẽ có dịp soi sáng, củng cố lí thuyết về không gian vectơ và nhiều lí thuyết toán học khác.
Giáo trình Bài tập Lí thuyết Module phục vụ trực tiếp cho việc giảng dạy và học tập môn Cơ sở Lí thuyết Module. Nội dung giáo trình gồm hai phần: Phần I. Tóm tắt lí thuyết và đề bài; Phần II. Hướng dẫn giải. Phần tóm tắt lí thuyết và các bài tập được rút ra từ giáo trình Cơ sở Lí thuyết Module của tác giả Dương Quốc Việt.
Thông qua hệ thống bài tập này, bạn đọc sẽ có điều kiện hiểu sâu và rộng thêm lí thuyết cũng như những kĩ thuật đa dạng mà các lời giải trong sách mang lại.
Cấu trúc module xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, ideal, nhóm Abel, không gian vectơ. Tính linh hoạt và phổ quả của cấu trúc module đã mang lại những ứng dụng to lớn. Thông qua lí thuyết module, bạn đọc sẽ có dịp soi sáng, củng cố lí thuyết về không gian vectơ và nhiều lí thuyết toán học khác.Giáo trình Bài tập Lí thuyết Module phục vụ trực tiếp cho việc giảng dạy và học tập môn Cơ sở Lí thuyết Module. Nội dung giáo trình gồm hai phần: Phần I. Tóm tắt lí thuyết và đề bài; Phần II. Hướng dẫn giải. Phần tóm tắt lí thuyết và các bài tập được rút ra từ giáo trình Cơ sở Lí thuyết Module của tác giả Dương Quốc Việt.
Thông qua hệ thống bài tập này, bạn đọc sẽ có điều kiện hiểu sâu và rộng thêm lí thuyết cũng như những kĩ thuật đa dạng mà các lời giải trong sách mang lại.
Nhà xuất bản đại học Sư Phạm
SÁCH MỚI
- Sách tham khảo, bổ trợ
- Bồi dưỡng giáo viên, cán bộ quản lý
- Giáo trình đại học, Cao đẳng
- Sách giáo khoa
- Sách nghiên cứu
- Sách điện tử
LIÊN HỆ
- Trụ sở: Tầng 6, Toà nhà số 128 đường Xuân Thuỷ, phường Dịch Vọng Hậu, Quận Cầu Giấy, Thành phố Hà Nội
Dương Quốc Việt NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM DƯƠNG QUỐC VIỆT Cơ sở LÍ THUYẾT MODULE [T i lần thứ hai] NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM Mã số: 01,01.10/95-Đ H 2013 Mục lục Lời nói đầu Đại cương module 11 Đ ịn h n g h ĩa m o d u le v ví d ụ 11 11 M o d u le c o n 13 M o d u le t h n g 14 M o d u le x o ắ n 15 C tr iệ t c ủ a m o d u l e 16 T giao m o d u le c o n 18 T ổ n g v giao m o d u le 18 M o d u le s in h m ộ t t ậ p 19 Đ ồng c ấ u v đ ịn h lí đ n g c ấ u m o d u l e 23 Đ ồng c ấ u m o d u le 23 M ộ t v i đ ịn h lí đ n g c ấ u 25 M odule, m o d u le v m o d u le th n g T í c h t r ự c t i ế p , t ố n g t r ự c t i ế p , d ã y k h p v g iớ i h n II T ích tổ n g trự c tiế p m o d u l e 31 31 1, X ây d ự n g tíc h tổ n g trự c t i ế p 31 T ín h p h ổ d ụ n g c ủ a tíc h v tổ n g trự c t i ế p 32 T trự c tiế p tro n g 37 D ãy k h p 41 Giới h n 47 G iới h n n g h ị c h 47 Giới h a n t h u â n 53 MỤC Lực M o d u le t ự d o , m o d u l e h ữ u h n s i n h , m o d u l e x ả n h v m o d u le n ộ i x M odule tự d o M o d u le tự h n g củ a m o d u le tự d o M ột số" t ín h c h ấ t b ả n m o d u le tự d o X ây d ự n g m ộ t m o d u le tự n h ậ n m ộ t tậ p cho trư c m s M o d u le-h ữ u h n s in h tr ê n v n h giao h o n Đ ịn h lí H a m ilto n -C a y le y raỏ r ộ n g M o d u le h ữ u h n s in h tr ê n v n h đ ịa p h n g M odule x ả n h v m o d u le nội x M o d u le x ả n h M o d u le n ô i x a Địa phương hóa hạng mở rộng module 63 63 63 67 70 72 72 76 79 79 83 91 K h n iệ m đ ịa p h n g h ó a M ột sơ^ tín h c h ấ t c ủ a đ ịa p h n g h ó a H n g mở rộ n g c ủ a m o d u l e 91 95 105 T íc h t e n x c ủ a m o d u l e X ây d ự n g tíc h t e n x M ột sơ" tín h c h ấ t b ả n củ a tíc h t e n x T ích ten x v d ã y k h p , m o d u le p h ẳ n g T ích te n x v đ ịa p h n g h ó a 109 110 115 121 126 M o d u le N o e t h e r v m o d u i e A r t i n M odule N o e t h e r P h â n tíc h n g u y ê n sơ tro n g m o d u le N o e t h e r M o d u le n g u y ê n sơ v p h â n tíc h n g u y ê n sơ 131 131 138 139 Id e a l n g u y ê n tô" liê n k ế t C ác t h n h p h ầ n n g u y ê n sơ b ấ t b i ế n M odule A rtin ' 144 152 157 M odule có độ d i h ữ u h n Độ d i c ủ a m o d u l e Đ ặc tr n g c ủ a m o d u le có độ d i h ữ u h n Đ ặc t r n g c ủ a v n h A r t i n 162 162 167 170 3 Mực t.ục N h ó m A b el h ữ u h n s in h v m o d u le t r ê n v n h c h ín h 173 N hóm A bel h ữ u h n s in h 173 S ự p h â n tíc h n h ó m c y c l i c 174 C ấ u tr ú c c ủ a n h ó m A hel h ữ u h n s i n h 175 M odule tr ê n v n h c h í n h 186 M o d u le tự t r ê n v n h c h í n h 186 C ấ u tr ú c c ủ a n h ữ n g m o d u le h ữ u h n s in h tr ê n v n h c h ín h 190 T i l i ệ u tham khảo 199 Lời nói đầu C ấ u trú c m odule x u ấ t h iệ n tro n g h ầ u h ế t lí th u y ế t to n học h iệ n đại, có k h ả n ă n g th ô n g n h ấ t m ộ t cách b ả n c h ấ t cấ u tr ú c v n h , id eal, n h ó m A bel, k h n g g ia n vectơ T ín h lin h h o t v p h ổ q u t củ a cấ u tr ú c m o d u le đ ã m a n g lạ i n h ữ n g ứ n g d ụ n g to lớn T h n g q u a lí •th u y ế t m o d u le, b n có dịp soi sá n g , củ n g lí th u y ế t v ề k h ô n g g ian vectơ v n h iề u lí th u y ế t to n học k h ác S ách với tiê u đê “Cơ sở lí th u y ế t m o d u le ” n h ằ m p h ụ c v ụ trự c tiế p cho việc học tậ p g iả n g d ạy K h o a T o án , T rư n g Đ ại học S p h m H Nội N ội d u n g c ủ a s c h gồm v â n đ ề sau: C h n g Đ i c n g v ề m o d u le , tr ìn h b ày n h ữ n g v ấ n đ ề c h u n g n h ấ t m o d u le, m o d u le con, m o d u le th n g , m o d u le x oắn, t r i ệ t m o d u le, tổ n g v giao m o d u le con, h ệ s in h v đ ịn h lí đồng cấ u m o d u le C h n g T íc h t r ự c t i ế p , t ố n g t r ự c t i ế p , d ã y k h p v g iớ i h n , bao gồm v â n đề; x ây d ự n g tích tổ n g trự c tiế p , tín h p h ổ d ụ n g c ủ a tíc h v tổ n g trự c tiế p , tổ n g trự c tiế p tro n g , d ãy k h p v •cl c ù n g giới h n n g h ịc h v th u ậ n C h n g M o d u le t ự d o , m o d u l e h ữ u h n s i n h , m o d u l e x ả n h v m o d u l e n ộ i x , gồm v ấ n đề: h n g v tín h p h ổ d ụ n g c ủ a m o d u le tự do, Đ ịn h lí H a m ilto n -C a y le y mở rộ n g , h ệ s in h cực tiể u c ủ a m o d u le h ữ u h n s in h tr ê n v n h đ ịa p h n g , m o d u le x ả n h v m o d u le nội xạ C h n g Đ ịa p h n g h ó a v h n g m r ộ n g c ủ a m o d u l e , v iế t vế đ ịa p h n g h ó a c ủ a m o d u le v mở rộ n g k h i n iệm h n g củ a m o d u le, c ù n g với tín h b ảo to n d ãy khớp q u a đ ịa p h n g h ó a I.ỜI NÓI ĐẨU C h n g T í c h t e n x c ủ a m o d u le , xây d ự n g tíc h te n x c ủ a m odule, q u a n h ệ g iữ a ten x đ với d ãy khớp vổi đ ịa p h n g h óa, m odule p h ă n g C h n g M o d u l e N o e t h e r v m o d u l e A r t i n , b n m o d u le N o eth er, m o d u le n g u y ê n sơ p h â n tíc h n g u y ê n sơ, id eal n g u y ê n tô liê n k ế t, t h n h p h ầ n n g u y ên sơ b ấ t b iế n , m o d u le A rtin , m o d u le có độ d ài h ữ u h n v c ấ u trú c v n h A rtin C h n g N h ó m Abel h ữ u h n s i n h v m o d u l e t r ê n v n h chính, v iế t p h â n tíc h cấ u trú c củ a n h ó m A bel v cấu tr ú c c ủ a m odule tr ê n v n h c h ín h C ù n g với m ộ t h ệ th ô n g b i tậ p p h o n g p h ú , sá c h m ong đ p ứ n g đông đảo đôi tư ợ n g b ạn đọc Nội d u n g c ủ a sá c h m ộ t h ệ th ô n g mở bao gồm n h iề u lí th u y ế t k h ác n h a u liên q u a n đ ến c ấ u tr ú c m odule, c u n g cấ p m ộ t vốh k iế n th ứ c n ề n tả n g q u a n trọ n g g iú p 'b n đọc tiế p c ậ n đưỢc với n h ữ n g lí th u y ế t to n học h iệ n đại k h c C ũ n g cầ n n h ấ n m n h rằ n g , tr u tư ợ n g sức m n h c ủ a to n học nói c h u n g v đ i s ố nói riên g , n h n g cũ n g đ ể lạ i n h ữ n g m ặ t tr i củ a T h ậ t đ n g tiếc, để tiệ n cho việc tr in h b y m có k h n g n h ữ n g k h i n iệ m to n học "h iệ n đ ại h ó a" m ộ t lớp vỏ ngôn n g ữ siê u tr u tư ợ n g , đ iề u n y đôi k h i k h iế n cho ngư ịi đọc k h ó n h ậ n r a b ả n c h ấ t c ủ a c h ú n g T ro n g giáo t r ì n h n ày , c h ú n g tô i cơ' g ắ n g tr ìn h b ày h ệ th ô n g k h i n iệ m n g ô n n g ữ đơn giản, g iảm tả i tố i đa n h ữ n g n g ô n n g ữ tr u tưỢng k h ô n g c ầ n th iế t, b ám s t th e o nguồn gốc r a đòi c ủ a ch ú n g , cùng' n h ữ n g ví d ụ đ a d ạn g , giú p b n đọc th ấ y ý n g h ĩa v b ả n c h ấ t củ a k h i n iệ m n ày Đó c ũ n g m ột tiê u ch í t r ì n h b y x u y ê n su ố t to n sách T ro n g trìn h biên soạn, tác giả nhận đưỢc hỗ trỢ đắc lực củ a T h S L ê V n Đ ín h , giúp công việc so n th ả o m a u ch ó n g h o n th iệ n T ác g iả x in ghi n h ậ n đ n h giá cao s ự trỢ giúp T ác g iả c ũ n g x in c h â n th n h cám ơn GS T S K H Đỗ Đ ức T h i; T S B ùi H u y H Ĩềii; T S Đ m V ăn N hỉ n h ữ n g góp ý b ổ ích 188 Chương? NHĨMABGLIỈỪU HẠN SĨNH VÀ MODULK TRẼN VANH CIIÍNH V ậy M = Spaii[{í]i},£/] Đ ặ t / ' = {ỉ e / I bị ^ } , th ì họ {k}i^ì> c ũ n g m ộ t hệ s in h c ủ a M B ây t a c ầ n c h ứ n g m in h họ n y độc lậ p tu y ế n tín h T h ậ t v ậy, g iả sử tr i lại, k h i tồ n tạ i m ộ t tô hỢp tu y ế n tín h ơ\bị^ + íV2ồÌ2 H- • • • + mbi„, = với ù < i'i < • ■• < hn th u ộ c I' v am Ỷ 0- T ác đ ộ n g p h é p c h iế u vào tổ hỢp tu y ế n tín h n ày , ta ĩì\ J=1 Do A m ộ t m iề n n g u y ê n v íVto 7^ n ê n o.;,,, = 0, v d ẫ n đ ế n = [m âu th u ẫ n ] V ậy lậ p t h n h rnột cd sở c ủ a A/ v A/ m ột ,4-m odule tự □ Đ ị%n h lí 2.2 G iả s T m ộ• t m o d u le tự• d o m ộ• t vàn h A M m ộ t m o d u le T có h n g hữu h n n K h i tồn tạ i n p h ầ n íử » 1, , Oín A uà m ộ t sở T chứa n p h ầ n t e u - ■■ , cho [i] Cóc p h ầ n tử axe-u - ■- , [hien lậ p th n h m ộ t sở của hí [ii] chia h ết ữj+i với m ọi 'i = , , rỉ — Chứng minh N ếu M = th ì k ế t q u ả tầ m th ò n g T a m u ô n c h ứ n g minh định lí với M Ỷ 0- Coi T = Gọị F tập tất dạng tu y ế n tín h tr ê n T, k h i t a n h ậ n tậ p id e a l { f { M ] I / e F} G iả sử f ị { M] = Acvị m ộ t p h ầ n tử đ i c ủ a tậ p n y u m ộ t p h ầ n tử c ủ a M cho /i[íí] = Với g e F t a ch ỉ r a r ằ n g g{ĩi] e Aoíi T h ậ t v ậy , đ ặ t g{n] = /i, v g iả sử Aữi + Aậ = Ay, k h i tồ n tạ i X , f i e A cho Aoíi + ịj,p = J X ét d n g tu y ế n tín h / = A/i + ịig, ta có f[u] = A /i[?/,] + ng{u] = Aftj + /i/? = G / [ M ] T su y r a /[ M ] Ấ D Ấtti- Do tín h tố ĩ đ i c ủ a Ấữi , n ê n f { M ] = Acy, MODULR TRẼN VÁNH CHÍNH 189 Do An] = A^; Đ iều n y d ẫ n đ ến ;i e A[\ị V ậy với m ọi d n g tu y ế n tín h g : T A ta có /;[ //.] € -4oi Áp dụng kết vừa vào phép chiếu A :r = ,4 t a có Pi {i i ] G -4oi v i m ọ i i e ỉ Đ i ề u n y có n g h ĩ a c c t o độ c ủ a u p h ả i bội củ a fV| G iả sử u = [o:]£í]*e/ = Đ ặ t ei = ta có u = a-iei v «1 = /i[ u ] = f i { ei ] Yĩ A m ộ t m iề n n g u y ê n , n ê n su y r a /■] [f'i] = L ấ y Tị - / f ^[0], ta ch ứ n g m in h [a] T = Ae Ị © T| Giả sử X e 4C| n T ị K hi :r = í f ’i G 4] X G T ] , nên /i[.^-] = /i[C n] = i i ] = í l = ^ = T suy r a X = 0, tứ c Aci n Ti = {0} B ây giò v iế t m ỗi p h ầ n tử X e T dưói dạng.T - /i[ x ] e i + [.r - / i [ x] ei ] T a có f\{x]e\ e Ấei- M ặ t k h c , từ /] [•Ỉ-' - /i['í’]f'i] = /i[-í-] - /i[-ỉ-]/i[fi] == fì{^] - /i[^'] = 0, ta r ú t r a X — fỉ{x]e.ị G T [ V ậy T = Aei + Ti, T - Aẻi Ti [b ] A / = Á \ [ ‘.\ Kíy VỚI M \ = h ỉ n T \ Trưốc hết A[yự\ n M] = {0} Af] n Ti = {0} Mặt khác, với X e M, th ì /i[.r] e f[{M] = /lo:i, n ê n /i[.r] = Arvi với A G A n T a v iế t r e M d n g ^ = AoiT] + x —Aữiei L ú c đ ó Ao|P| € 4['V|['| D o ;r G M v í/ = fV|P| € M, n ê n ;r - ArtiCi G M L ại /i [.r - Acviei] = j\{x] - Afti/i[e,] = Aữ] - Aoíi = 0, n ê n t a có X - Aciiiei G Ti T đ ó s u y r a X - AqiCi M = Acvici © ilí] M n Ti = M i- V ậ y 190 Chương 7, NHÓM ABKL I lữư IlẠK SJ\'H VÀ MODUI.E TRÊN VÀNH CHỈNH B ây giò giả sừ g : T ch ứ n g m in h r ằ n g m ộ t d n g tu y ế n tín h tù y ý, t a c ầ n [c ] g { Ấ U ] c T h ậ t vậy, giả sử g[ M\ ] ^ 4oi ta ,c h ọ n d n g tu y ế n tín h / : T = Ar, © r, ^ cho / trù n g với /i f [ M] = trê n A -ÌT i v t r ù n g v i [j t r ê n T ] , t h ì = An, + g{ M, ] Đ iều n y m â u th u ẫ n vối tín h tơ i đ ại củ a id e a l A a \ V ậy [c] ch ứ n g m in h T rê n đ ây t a đ ã xác đ ịn h p h ầ n tử Q i v [’], đ n g th i có tổ n g trự c tiế p [a] v [b] B ây giò ta c h ứ n g m in h đ ịn h lí b ằ n g q u y n p th e o h n g c ủ a M G iả sử đ ịn h lí đ ú n g với n - Vì Ti m ộ t m o d u le tự do, M\ m ộ t m odule c ủ a T| có h n g n - 1, n ê n th e o g iả th iế t q u y n p tồ n tạ i n - p h ầ n tử ■1«n c ủ a ,4 v m ộ t sở B] củ a Tị c h ứ a r? - p h ầ n tử e.ỵ ,e„ cho ị o ['2 ^■■■■ m ột sở củ a củ a đồng th ò i cvị ch ia h ế t o ,;+1 với m ọi i = , n - T [a] v [b] t a có {[Vl‘2 '"2 k + ■• • + bl,ZỊị- G Aịj\ n \ > Az^: } 1=2 \Ị = aiZi + ■■■+ 0.hZk, ta nhận aiò|2i + [o,2^i ~ ^h]z2 + ■■• + [0kb\ - ỉh.]zk = S u y r a [lịb-ịZị = 0, p'"lfl]'bị Vì [lị n g u y ê n tô 'c ù n g n h a u với p, n ê n ]f\hị T t a có híjjí = N h v ậy N = Ayi â A z ã ã ã Azk, v từ ta thu 4;:2 • ' • © — AịJ'2 ■■• Ẳyi- B ây giò sử d ụ n g q uy n p ta dễ d n g su y r a đ iều p h ả i c h ứ n g m in h □ C h ứ ng m in h Đ ịn h lí 2.8 S ự tồ n tạ i củ a m ộ t p h â n tíc h n h tro n g p h t b iể u c ủ a đ ịn h lí su y r a từ Đ ịn h lí 2.6, cịn tí n h d u y n h ấ t c ủ a d ãy sô" n g u y ê n d n g [• = eị ^ ^ f'k tro n g p h â n tíc h su y r a từ Bổ đề 2.9 K ế t hợp Đ ịn h lí 2.7 v Đ ịn h lí 2.8 ta th u đ ịn h lí s a u □ 196 Chương NHOM ABRL Hữu HẠN SI\’H VÀ MODUI-E TRẼN VÀNH CHÍNH Đ ị n h lí 2.10 Cho M Ỷ tó m ộ t m odu le xoắn hữu h ạn sin h m ộ t vàn h với sơ'm ủ có p h â n tích tiêu chuẩn exp[.ì/] = p'[‘ • ■■ K h i tồn d u y n h ấ t d ã y s ố nguyên dương
- Xem thêm -Xem thêm: Cơ sở lý thuyết module dương quốc việt ,