Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu [forall x in D] thì [ - x in D] và [f[ - x] = f[x]] Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu [forall x in D] thì [ - x in D] và [f[ - x] = - f[x]]
1. Lý thuyết
+ Định nghĩa:
Cho hàm số \[y = f[x]\] có tập xác định D.
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu \[\forall x \in D\] thì \[ - x \in D\] và \[f[ - x] = f[x]\]
Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu \[\forall x \in D\] thì \[ - x \in D\] và \[f[ - x] = - f[x]\]
+ Nhận xét:
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+ Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số \[y = f[x]\]
Bước 2: Chứng minh D là tập đối xứng, tức là \[\forall x \in D\] suy ra \[ - x \in D\]
Bước 3: Tính \[f[ - x]\]
- Nếu \[f[ - x] = f[x]\] với mọi \[x \in D\] thì \[y = f[x]\] là hàm số chẵn
- Nếu \[f[ - x] = - f[x]\] với mọi \[x \in D\] thì \[y = f[x]\] là hàm số lẻ
- Nếu có \[{x_0} \in D\] sao cho \[\left\{ \begin{array}{l}f[ - x] \ne f[x]\\f[ - x] \ne - f[x]\end{array} \right.\] thì hàm số \[y = f[x]\] không chẵn, không lẻ.
2. Ví dụ minh họa
Hàm số chẵn
\[y = 2\]; \[y = a{x^2}\] [với a là hằng số cho trước]
Hàm số lẻ
\[y = {x^3}\]; \[y = \frac{1}{x}\]
Hàm số không chẵn, không lẻ
\[y = x + 1\]; \[y = 2{x^2} - 5x + 3\]
Đặc biệt: Hàm số \[y = 0\] là hàm vừa chẵn vừa lẻ.
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số
- \[y = 2022x\]
- \[y = 3{x^2} + 5\]
- \[y = \sqrt {1 - x} \]
- \[y = \;|x - 2|\]
Lời giải chi tiết
- Hàm số \[f[x] = 2022x\] có tập xác định \[D = \mathbb{R}\].
\[\forall x \in \mathbb{R}\] suy ra \[ - x \in \mathbb{R}\]
Ta có: \[f[ - x] = 2022.[ - x] = - 2022x = - f[x]\;\forall x \in \mathbb{R}\]
\[ \Rightarrow \] Hàm số \[y = 2022x\] là hàm số lẻ.
- Hàm số \[f[x] = 3{x^2} + 5\] có tập xác định \[D = \mathbb{R}\].
\[\forall x \in \mathbb{R}\] suy ra \[ - x \in \mathbb{R}\]
Ta có: \[f[ - x] = 3{[ - x]^2} + 5 = 3{x^2} + 5 = f[x]\;\forall x \in \mathbb{R}\]
\[ \Rightarrow \] Hàm số \[y = 3{x^2} + 5\] là hàm số chẵn.
- Hàm số \[y = \sqrt {1 - x} \] có tập xác định \[D = [ - \infty ;1]\].
Với \[x = - 2 \in D\] thì \[ - x = 2 \notin D\]
\[ \Rightarrow \] D không là tập đối xứng.
Vậy hàm số không chẵn, không lẻ
- Hàm số \[y = \;|x - 2|\]có tập xác định \[D = \mathbb{R}\].
\[\forall x \in \mathbb{R}\] suy ra \[ - x \in \mathbb{R}\]
Tại \[x = 1 \in D\] ta có: \[f[ - 1] = | - 1 - 2| = 3;f[1] = |1 - 2| = 1; - f[1] = - 1\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f[ - 1] \ne f[1]\\f[ - 1] \ne - f[1]\end{array} \right.\]
Vậy hàm số \[y = \;|x - 2|\] không chẵn, không lẻ.
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí
được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo chi tiết bài viết và tải về tại đây nhé.
Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THPT miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 10. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.
1. Phương pháp giải.
* Sử dụng định nghĩa
Hàm số y = f[x] xác định trên D
+ Hàm số chẵn
+ Hàm số lẻ
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ.
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Kiểm tra
Nếu ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba
Nếu ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
B3: xác định f[-x] và so sánh với f[x].
Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn
Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ
Nếu tồn tại một giá trị ∃ x0 ∈ D mà f[-x0 ] ≠ ± f[x0] kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
Hướng dẫn:
- f[x] = 3x3 + 2∛x
TXĐ: D = R.
Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D
f[-x] = 3.[-x]3 + 2∛[-x] = -[3x3 + 2∛x] = -f[x]
Do đó f[x] = 3x3 + 2∛x là hàm số lẻ
b]
TXĐ: D = R.
Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D
Suy ra TXĐ: D = [-5;5]
Với mọi x ∈ [-5;5] ta có -x ∈ [-5;5]
Suy ra TXĐ: D = [-2; 2]
Ta có x0 = -2 ∈ D nhưng -x0 = 2 ∉ D
Vậy hàm số
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số sau là hàm số chẵn.
Hướng dẫn:
Giả sử hàm số chẵn suy ra f[-x] = f[x] với mọi x thỏa mãn điều kiện [*]
với mọi x thỏa mãn [*]
⇒ 2[2m2 - 2] x = 0 với mọi x thỏa mãn [*]
⇔ 2m2 - 2 = 0 ⇔ m = ± 1
+ Với m = 1 ta có hàm số là
ĐKXĐ : √[x2+1] ≠ 1 ⇔ x ≠ 0
Suy ra TXĐ: D = R\{0}
Dễ thấy với mọi x ∈ R\{0} thì -x ∈ R\{0} và f[-x] = f[x]
Do đó
+ Với m = -1 ta có hàm số là
TXĐ: D = R
Dễ thấy với mọi x ∈ R thì -x ∈ R và f[-x] = f[x]
Do đó
Vậy m = ± 1 là giá trị cần tìm.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh rằng với hàm số f[x] bất kỳ, f[x] có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
Bài 2: Cho hàm số y=f[x], y=g[x] có cùng tập xác định D. Chứng minh rằng:
Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số y=f[x]+g[x] là hàm số lẻ.
Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số y=f[x]g[x] là hàm số lẻ.
Bài 3: Cho hàm số f[x] = [m - 2]x2 + [m - 3]x + m2 - 4
- Tìm m để hàm f[x] là hàm chẵn
- Tìm m để hàm f[x] là hàm lẻ.
Bài 4: Khảo sát tính chẵn lẻ của các hàm số có trị tuyệt đối sau
- f[x] = |2x + 1| + |2x - 1|
- f[x] = [|x + 1| + |x - 1|]/[|x + 1| - |x - 1|]
- f[x] = |x - 1|2.
Với nội dung bài Xét tính chẵn lẻ của hàm số trên đây chúng tôi xin giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô nội dung cần nắm vững phương pháp giải, công thức tính chẵn lẻ của một hàm số....