Bài tập tính toán cấu kiện chịu nén

 Cấu kiện chịu nén thường gặp là cột, tường BTCT chịu lực, vách cứng, thân cống, thanh chịu nén của dàn BTCT, ...

 Cấu kiện chịu nén được phân thành 2 dạng chính: nén đúng tâm và nén lệch tâm:

Neïn âuïng tám Neïn lãûch tám

eo

\=

M

Hình 6.

1. Đặc điểm cấu tạo: 6.1. Kích thước tiết diện:  Cấu kiện chịu nén đúng tâm thường có tiết diện đối xứng qua 2 trục như: tròn, vuông, đa giác đều, vành khuyên, hộp vuông,...

 Cấu kiện chịu nén lệch tâm thường có tiết diện chữ nhật, T, I,..ều cao h phải song song với mặt phẳng uốn, quan hệ b - h thường là h = [1,2 - 1,5]b.

 Việc xác định sơ bộ tiết diện cần thiết cho việc giải nội lực kết cấu, tiết diện được xác định sơ bộ như sau:

A = k Rb

N [6]

Trong đó: N : là lực dọc tính toán, xác định sơ bộ bằng cách cộng tổng tải trọng của tất cả các tầng [sẽ được nói rỏ hơn trong môn bêtông chuyên ngành]. k : hệ số xét đến ảnh hưởng của moment, lấy bằng [0,9 – 1,1] cho cấu kiện chịu nén đúng tâm, bằng [1,2 - 1,5] đối với cấu kiện chịu nén lệch tâm. Rb : cường độ chịu nén của bêtông.  Khi chọn kích thước tiết diện cần chú ý đến điều kiện ổn định, có liên quan đến độ mảnh  ,  được hạn chế như sau :

o Đối với tiết diện bất kỳ : r = Lo/r ≤ gh [6] o Đối với tiết diện chữ nhật có cạnh nhỏ là b : b = Lo/b ≤ ob [6]

Trong đó : Lo: là chiều cao tính toán của cấu kiện, lấy như hình 6. r: bán kính quán tính nhỏ nhất của tiết diện. gh : độ mảnh giới hạn, lấy như sau : - Đối với cột nhà gh = 120, ob =31; - Đối với cấu kiện khác gh = 200, ob = 52.

H

Lo = 0,5H Lo = 0,7H [cäüt nhaìnhiãöu táöng]

Lo = H Lo = 2H

Hình 6. xác định Lo, với H là chiều cao cấu kiện 6.1. Cấu tạo cốt thép:  Cốt dọc thường dùng nhóm AII hoặc CII, công trình cao tầng có thể dùng AIII hoặc CIII, đường kính thép từ 12 – 40 m, nếu cạnh tiết diện ≥ 250 nên chọn ≥ 16.

 Trong cấu kiện chịu nén đúng tâm thép thường được bố trí theo chu vi [đối xứng theo các cạnh], xem hình 6.3.

 Trong cấu kiện chịu nén lệch tâm thép có thể được bố trí đối xứng [theo phương chịu lực] hoặc không đối xứng, xem hình 6.3, c.

o Bố trí đối xứng khi cột có moment đổi dấu. o Bố trí không đối xứng khi cột có moment 2 hướng khác nhau.

h

b

h

b b

h

Ast 







Hình 6. Bố trí thép trong cột a]. Cột chịu nén đúng tâm, bố trí thép theo chu vi; b]. Cột chịu nén lệch tâm bố trí thép đối xứng; c]. Cột chịu nén lệch tâm bố trí thép không đối xứng

a]. b]. c].

1. Tính toán cấu kiện chịu nén đúng tâm:

 Sơ đồ ứng suất như hình 6, khi cấu kiện chịu nén đúng tâm, toàn bộ tiết diện bêtông chịu nén, cấu kiện phá hoại khi ứng suất trong bêtông và thép đều đạt đến giá trị giới hạn là Rb và Rsc.

 Lập phương trình cân bằng hình chiếu theo phương đứng, ta có:

N ≤ φ[bRbAb + RscAst] [6]

Trong đó: N : là lực dọc do tải trọng tính toán gây ra,

Ab:diện tích tiết diện ngang của bêtông [bxh], Rb : cường độ chịu nén tính toán của bêtông, cần chú ý đến hệ số điều kiện làm việc bi , lấy như trong

bảng 6 [trích bảng 15 - [3]]:

Bảng 6: hệ số điều kiện làm việc

Điều kiện làm việc bi

1. Đổ bêtông theo phương đứng, mỗi lớp dày trên 1,5m
2. Cột có h < 30cm.
3. Giống [1], [2] nhưng dưởng hộ bằng cách chưng hấp

0,

0,

0,

Hình 6. a]. Cốt đai không được tăng cường tốt, cột bị phá huỷ khi lực nén lớn. b]. Tăng cường cốt đai tại vị trí nối thép.

a]. b].

Hình 6. Sơ đồ tính cấu kiện chịu nén đúng tâm

b

h

RscAst Ast

Rb

N

Rsc: cường độ chịu nén tính toán của thép, cho trong phụ lục 2, cần chú ý nếu Rsc > 400 MPa thì chỉ lấy = 400 MPa. φ : hệ số xét đến ảnh hưởng của uốn dọc, phụ thuộc vào độ mảnh , lấy như sau:  Khi r < 28 hoặc b < 8 thì bỏ qua uốn dọc, lấy φ =1.  Khi 28 ≤ r < 120 và 8 ≤ b < 31 thì tính bằng công thức thực nghiệm sau: φ = 1,028 – 0,0000288 2 – 0,0016 [6]  Dựa vào công thức [6], ta có bài toán thiết kế như sau: o Chọn sơ bộ tiết diện theo [6], tính Lo tuỳ theo sơ đồ kết cấu. o Kiểm tra độ mảnh  theo công thức [6] hoặc [6]. o Tính φ theo  bằng công thức [6].

o Từ [6]  Ast = sc

b b b R

N   RA

[6]

o Kiểm tra  = bxh Ast. 100 %

 Nếu min ≤  ≤ max = 3%  thỏa. [min lấy như bảng 6]  Nếu  > max  Tính lại Ast với Ab = [bxh] - Ast.

1. Tính toán cấu kiện chịu nén lệch tâm:

6.3. Các thông số tính toán: a]. Độ lệch tâm: Độ lệch tâm tổng quát được tính như sau: eo = max[e 1 ; ea] – cho kết cấu siêu tĩnh eo = e 1 + ea – cho kết cấu tĩnh định Trong đó: e 1 : là độ lệch tâm thông thường [độ lệch tâm tĩnh học] e 1 = M/N, ea : là độ lệch tâm ngẫu nhiên do sai lệch về kích thước hình học, do đặt cốt thép không đúng vị trí, do bêtông không đồng chất, ea lấy như sau: ea ≥ h/30 và H/ với H - chiều cao cấu kiện. h - chiều cao tiết diện.

[6]

φl ≥ 1 – là hệ số kể đến ảnh hưởng của tác dụng dài hạn của tải trọng.

M N y

M l Nly l . 1. 

     ≤ 1 +  [6]

Ml, Nl : Moment và lực dọc do tải trọng dài hạn [gồm tải trọng thường xuyên và tải trọng tạm thời dài hạn] gây ra, nếu Ml và M trái dấu thì lấy Ml mang dấu âm [-]. M, N : Moment và lực dọc toàn phần. y - Khoảng cách từ trọng tâm của tiết diện đến mép chịu kéo hoặc chịu nén nhỏ [đối với tiết diện chữ nhật y = h/2].

 : là hệ số phụ thuộc vào loại bêtông, bêtông nặng lấy bằng 1, các loại

bêtông khác lấy theo bảng 29 - [3]. Nếu tính ra φl < 1 thì lấy bằng 1, có thể lấy φl = 2 để tính khi không tách riêng phần dài hạn và ngắn hạn khi giải nội lực.

6.3. Tính toán cấu kiện có tiết diện chữ nhật: 6.3.2. Phân biệt hai trường hợp lệch tâm:  Trường hợp lệch tâm lớn [LTL]: xảy ra khi moment khá lớn, tức là e 1 khá lớn, lúc này cấu kiện bị uốn cong nhiều và hình thành 2 vùng kéo - nén rõ rệt, sự phá hoại thường xảy ra từ vùng kéo, việc tính toán tiến hành như cấu kiện chịu uốn, nếu gọi x là chiều cao vùng bêtông chịu nén thì trường hợp LTL xảy ra khi x ≤ ξRho [ξR – tra phụ lục 5 theo cấp độ bền bêtông và thép sử dụng].

 Trường hợp lệch tâm bé [LTB]: xảy ra khi N tương đối lớn mà M tương đối nhỏ, cấu kiện có thể bị nén trên toàn bộ tiết diện hoặc có 1 phần nhỏ tiết diện chịu kéo, sự phá hoại thường xảy ra từ vùng nén, trường hợp này ứng với x > ξRho.

 Trong tính toán ban đầu nếu chưa biết x, có thể phân biệt 2 trường hợp lệch tâm như sau:

o Lệch tâm lớn khi : ηeo ≥ ep. o Lệch tâm bé khi : ηeo < ep. Với : ep = 0,4[1,25h - ξR ho] [6] 6.3.2. Tính toán trường hợp lệch tâm lớn [LTL] a]. Giả thiết tính toán : Sơ đồ tính toán như hình 6, chấp nhận các giả thiết tính toán sau đây :

1. Bỏ qua sự làm việc của bêtông vùng kéo.
2. Ứng suất trong cốt thép As đạt tới Rs.
3. Ứng suất trong bêtông vùng nén phân bố đều và đạt giá trị chịu nén tính toán Rb, hợp lực của bêtông vùng nén là Rbbx.
4. Ứng suất trong cốt thép A’s là ’s đạt đến giá trị cường độ tính toán Rsc khi thoả mãn điều kiện x≥2a’, nếu x < 2a’ thì chưa đạt đến Rsc. b]. Lập công thức cơ bản: Sơ đồ ứng suất như hình 6, ta có: e = .eo + 0,5h - a [6] e’ = .eo - 0 + a’ [6]  Lập phương trình cân bằng, ta có:

 M / As=0  N=bRbbx[ho-0,5x]+RscA’s[ho-a’] [6]

Y = 0  N = bRbbx + Rsc A’s - RsAs [6]

 Điều kiện hạn chế: 2a’ ≤ x ≤ ξRho hay ξ ≤ ξR.  Thay x = ξho vào [6] và [6], ta có: [6]  N. e = mbRbbho2 + RscA’s[ho - a’] [6] [6]  N = ξ bRbbho + Rsc A’s - RsAs [6]

Với m = ξ [1- 0,5ξ] và ξ =1 - 1  2 m]; các công thức

[6]  [6] là các công thức cơ bản để tính cấu kiện chịu nén lệch tâm lớn.

c]. Các dạng bài toán: i]. Bài toán 1: Tính As và A’s không đối xứng, thực hiện theo các bước sau: 1. Chọn cấp độ bền bêtông và nhóm thép  biết được Rs, Rsc, Rb, Es, Eb, ξR, 2. Chọn tiết diện b, h theo công thức [6] với N, M biết trước. 3. Tính và kiểm tra độ mảnh cấu kiện theo [6] hoặc [6]; kiểm tra thêm điều kiện h ≤ 8 và r ≤ 28, nếu thoả thì không cần tính η, nếu không thoả thì ta tính η theo công thức [6]. 4. Cần giả thiết gt trong khoảng 1,2 – 2,0% để tính Is  η [với các số liệu đã có] 5. Tính e 1 , tính ea  eo  e, e’ từ [6], [6]. 6. Để tận dụng hết khả năng chịu nén của A’s ta có thể chọn m = R tức là ξ=ξR để tính, từ công thức [6] ta có:

[ ' ] '. 2 R h a A Ne Rbh sc o s R b b o 

   [6]

Từ [6]  s s

sc s s R b b o A R

R R A   Rbh N ' [6]

Hình 6. Sơ đồ ứng suất để tính cấu kiện chịu nén lệch tâm lớn

b h h

As

o

A's

a

Rb RscA's

a'

e e'

 o N

RsAs x

với Rbbx = N, ta có thể viết lại:

[ ' ] ' .[ 0. 5 ] 0

0 R h a A A N e h x sc s s 

    [6]

o Nếu x < 2a’ thì tính As = A’s theo [6]. o Nếu x > ξRho thì xảy ra trường hợp lêch tâm bé.  Kiểm tra hàm lượng cốt thép và tính tại vòng lập như trên. 6.3.2. Tính toán trường hợp lệch tâm bé [LTB]: a]. Giả thiết tính toán: Cũng giống như trường hợp LTL nhưng ở giả thiết 2, ứng suất trong cốt thép As chưa đạt đến Rs mà

chỉ là giá trị s nào đó thôi, ứng suất này có thể kéo [hình 6] hoặc nén [hình 6].

Theo hình 6 ta cũng thấy rằng khi x < ho thì As chịu kéo, x > ho thì As chịu nén và nếu x = ho thì As không có ứng suất, tức là ta chỉ cần đặt thép theo cấu tạo.

Nếu thoả điều kiện [6] dưới đây thì ta không cần tính thép mà chỉ đặt theo cấu tạo - tức là bêtông đủ chịu lực [khi không thể giảm tiết diện hơn nữa do điều kiện kiến trúc]:

N ≤ Nb = Rbb [h - 2ηeo] [6] b]. Lập công thức cơ bản:  Lập phương trình cân bằng, ta có:

 M / As= 0  N = bRbbx [ho - 0,5x] + RscA’s[ho - a’] [6]

Công thức [6] giống công thức [6 7 ] như ở đây x > ξRho.

 M / A's= 0  N’ = bRbbx [0,5x - a’] ± s As[ho - a’] [6]

Công thức [6] có dấu cộng [+] khi As chịu nén [x > ho], có dấu trừ [-] khi chịu kéo [x < ho].

 Điều kiện áp dụng: x > ξRho.

Hình 6. Sơ đồ ứng suất để tính cấu kiện chịu nén lệch tâm bé

a]. b].

c]. Các dạng bài toán: i]. Bài toán 1: Tính As và A’s không đối xứng  Trước hết cũng thực hiện các bước từ 1  5 như trên.  Chọn As theo yêu cầu cấu tạo.  Tính x’ theo các biểu thức thực nghiệm sau:

x’ = 























 

  

 

  2 1 50

1

h

eo

 R R .ho [6]

 Tính A’s theo công thức [6] với x= x’ vừa tính ra.  Khi ηeo < 0,15ho thì cốt thép As chịu nén với ứng suất đáng kể và phải được tính toán theo công thức:

[6]  [ ']

.' ...[ 0. 5 '] h a A Ne R bx x a s o s b b     

 [6]

Trong đó s được tính bằng công thức thực nghiệm, phụ thuộc vào mức độ lệch tâm và nó sẽ đạt đến một giá trị nào đó của cường độ Rs:

s Ro R s

h

x

























 

  1 1

2 2   [6]

với giá trị x=x’ tính theo công thức [6]  Kiểm tra hàm lượng cốt thép và tính tại vòng lập như trên. ii]. Bài toán 2: Tính As và A’s đối xứng  Trước hết cũng thực hiện các bước từ 1  5 như trên.  Khi tính x’ theo các công thức [6] rồi tính As = A’s theo [6] với x=x’  Kiểm tra hàm lượng cốt thép và tính tại vòng lập như trên.

Ví dụ:Tính và bố trí thép cho một đoạn cột nhà nhiều tầng [bố trí đối xứng] với các

thông số sau: M=5T, N=100T, bỏ qua thành phần dài hạn của tải trọng [lấy l =2], chiều cao cột H=5m, tiết diện bxh=25x35cm, lớp bảo vệ a=a’=4cm, giả thuyết gt=2,75% [chấp nhận độ sai lệch giữa tt và gt là ≤ 2%], bêtông B20 [hệ số điều kiện

làm việc của bêtông b= 0,85], thép nhóm AII. Các số liệu khác có thể giả thuyết nếu cần.

 Tính  =

N cr 1  N

1 =

669 1 100

1 

\= 1,

 Tính e = eo+ 0,5h – a’ = 1,1765 + 0,535 – 4 = 19,4cm

 Kiểm tra trường hợp lệch tâm:

Vì là bố trí cốt thép đối xứng, nên : x = Rb

N  b b

\=

0 , 85 * 115 * 25

1. 000 = 40,92cm

x = 40,93 > Rho = 0,623*31 = 19  trường hợp lệch tâm bé

 Tính lại x’ =  









 











  1 50 [ ] 2

1

h

eo  R R ho = 





















  ] 2 35 1 50 [ 5

0 , 623 1 0 , 623 *31 = 25,1 cm

 Tính As=As’= [ ']

'[ 0 , 5 '] R h a

Ne Rbx h x sc o

b b o 

   =

\=

2800 [ 31 4 ]

1. 000 * 19 , 4 0 , 85 * 115 * 25 * 25 , 1 [ 31 0 , 5 * 25 , 1 ] 

  = 10,7cm 2.

 Kiểm tra hàm lượng : * 100 % *

2 o tt s b h

  A = * 100 %

25 * 31

2 * 10 , 7 = 2,76%

Sai khác so với gt < 2%  thoả.

 Chọn thép : 322 [As = 11,4 cm 2 ] bố trí như hình vẽ dưới

LƯU ĐỒ TÍNH TOÁN CỘT CHỊU NÉN LỆCH TÂM TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT

[Trường hợp đặt cốt thép đối xứng As=A’s] Các số liệu : Cấp BT [chọn] => Rs, R, Eb; Thép [chọn] => Rs, Rsc, Es ; Nội lực: M, N, Ml, Nl ; Tiết diện: chọn b, h; chọn a=a’ => ho ; Chiều cao tính toán: Lo = 0,7H [cột nhà nhiều tầng]