Với Các dạng bài tập Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau chọn lọc Toán lớp 9 tổng hợp các dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
Cách xác định hai đường thẳng song song, cắt nhau, vuông góc
Cho hai đường thẳng:
[d1 ]: y = ax + b [a ≠ 0]
[d2 ]: y = a'x + b' [a' ≠ 0]
+ [d1 ] // [d2 ] ⇔ a = a'; b ≠ b'
+ [d1 ] ≡ [d2 ] ⇔ a = a'; b = b'
+ [d1 ] cắt [d2 ] ⇔ a ≠ a'
+ d1 ⊥ d2 ⇔ a.a' = -1.
Ví dụ 1: Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song và vuông góc trong các đường thẳng sau:
d1: y = 2x + 3
d4: y = 0,5x - 3
d5: y = 5 + 2x
d6: 7 - 2x
Hướng dẫn:
Hai cặp đường thẳng song song là:
d1 // d5 vì a = a' = 2; b ≠ b' [3 ≠ 5]
d2 // d4 vì a = a' = 0,5; b ≠ b' [2 ≠ -3]
Bốn cặp đường thẳng vuông góc với nhau là: d1 ⊥ d3; d2 ⊥ d6; d3 ⊥ d5; d4 ⊥ d6 vì đều có a.a' = -1.
Ví dụ 2: Chứng tỏ rẳng hai đường thẳng sau luôn cắt nhau với mọi giá trị của m
a] [d1 ]: y = [m2 - 4m + 5]x + 1 và [d1 ]: y = [-x + m]/2
b] [d3 ]: y = [m2 + 1]x + 2018 và [d4 ]: y = -mx + 2012
Hướng dẫn:
a] Xét [d1 ] có a = m2 - 4m + 5 = [m - 2]2 + 1 > 0
[d2 ] có a' = [-1]/2 < 0
⇒ a ≠ a' với mọi m nên [d1 ] luôn cắt [d2 ]
b] Xét [d3 ] có a = m2 + 1
[d4 ] có a' = -m
Ta có: a - a' = m2 + 1 + m = [m + 1/2]2 + 3/4 > 0 ∀m
⇒ a ≠ a' với mọi m nên [d3 ] luôn cắt [d4 ]
Bài 1: Tìm ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường thẳng sau:
a] y = √3x - 1 [1] b] y = 2 - x [2]
c] y = -0,3x [3] d] y = -0,3x - 1 [4]
e] y = 3 + √3x [5] f] y = -x + 3 [6]
Bài 2: Cho hai hàm số bậc nhất y = 2x + 3k và y = [2m + 1]x + 2k - 3
Tìm điều kiện đối với m và k để đồ thị của hai hàm số là:
a] Hai đường thẳng cắt nhau
b] Hai đường thẳng song song
c] Hai đường thẳng trùng nhau.
Hướng dẫn:
Bài 1:
Các cặp đường thẳng cắt nhau là: [1] và [2]; [1] và [3]; [1] và [4]
Các cặp đường thẳng song song là: 1] và [5]; [2] và [6]; [3] và [4]
Bài 2:
y = 2x + 3k và y = [2m + 1]x + 2k - 3
a] Hai đường thẳng trên cắt nhau
⇔ 2m + 1 ≠ 2 ⇔ m ≠ 1/2
b] Hai đường thẳng trên song song với nhau
c] Hai đường thẳng trên trùng nhau
Cách Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax + b.
+ Sử dụng điều kiện hai đường thẳng song song với nhau để xác định hệ số a.
+ Với a tìm được, sử dụng điều kiện còn lại để xác định tung độ gốc b.
Ví dụ 1:: Cho 2 đường thẳng [d1 ]: y = [2 - m2 ]x - m - 5
[d2 ]: y = -2x + 2m + 1
Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau
Hướng dẫn:
[d1] // [d2]
Vậy với m = 2 thì hai đường thẳng trên song song với nhau.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng [d]: 2x + y – 3 = 0 và điểm M [-1; 1]. Viết phương trình đường thẳng [d’] đi qua điểm M và song song với [d].
Hướng dẫn:
Gọi phương trình đường thẳng [d’] là y = ax + b
Ta có: [d]: 2x + y – 3 = 0 hay y = -2x + 3.
Vì [d] // [d’] nên a = -2 và b ≠ 3.
Mặt khác, [d’] đi qua điểm M [-1; 1] nên 1 = a.[-1] + b ⇔ -a + b = 1
⇔ -[-2] + b = 1 ⇔ b = -1 [≠ 3].
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = -2x - 1.
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm [-3; 4] và song song với đường thẳng [d']: y = 2x – 1
Bài 2: Cho M [0; 2], N[1; 0], P[-1; -1] lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng AB.
Hướng dẫn:
Bài 1:
Gọi phương trình đường thẳng [d] là y = ax + b
Do [d] // [d’] nên a = 2; b ≠ -1.
[d] đi qua điểm [-3; 4] nên: 4 = -3.a + b ⇔ 4 = -3.2 + b ⇔ b = 10.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2x + 10.
Bài 2:
Gọi phương trình đường thẳng MN là: y = ax + b. Ta có:
N[1; 0] ∈ MN ⇒ 0 = a.1 + b ⇔ a = -b
M[0; 2] ∈ MN ⇒ 2 = a.0 + b ⇔ b = 2 ⇒ a = -2.
Vậy phương trình đường thẳng MN là y = - 2x + 2.
Vì M, N lần lượt là trung điểm của CB và CA nên MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ MN // AB
Vì AB // MN nên phương trình đường thẳng AB có dạng: y = -2x + b’ [b’ ≠ 2]
Vì P [-1; -1] là trung điểm của đoạn thẳng AB nên đường thẳng AB đi qua P.
⇒ -1 = -2.[-1] + b' ⇒ b' = -3 [thỏa mãn]
Vậy phương trình đường thẳng AB là y = -2x - 3.
1. Đường thẳng có hệ số góc .
+ .
+ .
Với ∝ là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với chiều dương trục hoành Ox nằm trên trục hoành.
* Các đường thẳng có cùng hệ số [ là hệ số của ] thì tạo với trục các góc bằng nhau.
2. Xét hai đường thẳng
Ta có: và .
cắt .
trùng với và .
Ví dụ 1: Cho hàm số . Hãy xác định hệ số nếu:
a] Đồ thị hàm số song song với đường thẳng .
b] Khi thì hàm số có giá trị bằng .
Bài giải:
a] Vì đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số nên . Khi đó ta có hàm số
b] Hàm số có giá trị bằng tức là .
Với , thay vào phương trình , ta được:
Vậy .
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng [d]: và [d’]: .
Bài giải:
Ta có:
Vậy .
.
Bài 1: Cho điểm và đường thẳng [d]: .
Viết phương trình của đường thẳng [d’] song song với [d] và qua M.
Bài giải:
[d’] // [d] nên phương trình [d’] có dạng: ,
Vậy phương trình của đường thẳng [d’] là: .
Bài 2: Cho hai đường thẳng [d1]: và [d2]: .
Tìm k và m để [d1] và [d2] trùng nhau.
Bài giải:
[d1] trùng [d2] kí hiệu là .
Bài 1: Cho ba đường thẳng ; và .
Tìm m để ba đường thẳng đồng quy.
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của [d1] và [d2] là:
Thay x = 1 vào phương trình đường thẳng [d1] ta được:
Suy ra tọa độ giao điểm của [d1] và [d2] là
.
Bài 2: Cho hai đường thẳng và .
a] Tìm tọa độ giao điểm A của và
b] Viết phương trình đường thẳng [d] qua A và song song với đường thẳng .
Bài giải:
a] Phương trình hoành độ giao điểm của [d1] và [d2] là:
Thay vào phương trình của [d1] ta được:
b] ] nên phương trình [d] có dạng: [ m khác -1].
[thỏa mãn]
Vậy phương trình của [d3] là: .
Xem thêm: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b [a khác 0]
Trên đây là các kiến thức cần nhớ và các bài tập ví dụ minh họa về nội dung của bài học Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau – toán cơ bản lớp 9.
Chúc các em học tập hiệu quả!