Với mỗi sự kiện đều có duy nhất một tập hợp \[{\Omega _A}\] là tập hợp các kết quả thuận lợi cho sự kiện hay nói cách khác làm cho sự kiện xảy ra. Ta đồng nhất với . Khi đó chính là tập hợp các kết quả thuận lợi cho . Ta thấy là một tập con của không gian mẫu , và ta gọi là một biến cố. Như vậy mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. Ta thường dùng các chữ cái in hoa để ký hiệu biến cố.
Ví dụ
Gieo con xúc sắc một lần, đây là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu , trong đó là kết quả: “Xuất hiện mặt chấm”. Xét sự kiện : “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn”. Ta thấy rằng việc xảy ra hay không xảy ra sự kiện tùy thuộc vào kết quả của phép thử. Sự kiện xảy ra khi và chỉ khi kết quả của phép thử là 2, hoặc 4, hoặc 6. Các kết quả này được gọi là các kết quả thuận lợi cho . Gọi là tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho , khi đó , đó là một tập con của .
Mỗi biến cố được đồng nhất với tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho là . Do đó ta có thể viết
2] Các loại biến cố
Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:
Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên, biến cố này trùng với không gian mẫu .
Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “Con xúc
xắc xuất hiện mặt có số chấm ” thì là biến cố chắc chắn.
Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên. Biến cố không thể được ký hiệu là .
Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “ Xuất hiện mặt 7 chấm” thì là biến cố không thể.
3] Quan hệ giữa các biến cố
a] Quan hệ kéo theo
Biến cố được gọi là kéo theo biến cố và ký hiệu hoặc nếu xảy ra thì xảy ra.
Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”, là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”. Ta thấy nếu xảy ra thì cũng xảy ra. Do đó biến cố kéo theo biến cố .
b] Biến cố đối
Biến cố đối của biến cố được kí hiệu là và được xác định như sau: xảy ra khi và chỉ khi không xảy ra.
Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc. Gọi là biến cố: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”, là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”. Rõ ràng và là hai biến cố đối nhau.
c] Tổng của các biến cố
Tổng của hai biến cố và là biến cố được ký hiệu . Biến cố xảy ra khi ít nhất có một trong hai biến cố và xảy ra.
Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên từ hai lớp 10A, 10B mỗi lớp một học sinh. Gọi là biến cố: “Bạn chọn từ lớp 10A là nam” , là biến cố: “Bạn chọn từ lớp 10B là nam” và C là biến cố: “Chọn được học sinh nam”. Rõ ràng biến cố xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố và xảy ra. Vậy .
Nếu là các biến cố thì tổng của chúng là biến cố xảy ra nếu ít nhất có một biến cố nào đó trong các biến cố xảy ra. Ta kí hiệu tổng của là hoặc .
d] Tích của các biến cố
Tích của hai biến cố và là biến cố xảy ra nếu cả hai biến cố và đều xảy ra. Ta kí hiệu tích của hai biến cố và là .
Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”, là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ” và là biến cố: “Xuất hiện mặt 4 chấm”. Ta thấy rằng biến cố xảy ra khi và chỉ khi hai biến cố và đều xảy ra. Do đó .
Tích của các biến cố là một biến cố xảy ra nếu tất cả các biến cố đều xảy ra. Ta kí hiệu tích của là hoặc .
e] Hai biến cố tương đương
Hai biến cố và gọi là tương đương nếu và . Khi đó ta kí hiệu .
Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “Xuất hiện mặt 5 chấm”, là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm lớn hơn 3”. Ta thấy nếu xảy ra thì cũng xảy ra và ngược lại nếu xảy ra thì cũng xảy ra. Vậy .
f] Biến cố xung khắc
Hai biến cố và được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra, nghĩa là là biến cố không thể, .
Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”, là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”. Ta thấy hai biến cố và không cùng xảy ra, do đó và là hai biến cố xung khắc.
4] Một số tính chất quan trọng trong quan hệ giữa các biến cố
Tính giao hoán:
Tính kết hợp:
Tính phân phối: