Hàm số \[y = \sin x\] có tập xác định là:
Tập giá trị của hàm số \[y = \sin x\] là:
Hàm số \[y = \cos x\] nghịch biến trên mỗi khoảng:
Đồ thị hàm số \[y = \tan x\] luôn đi qua điểm nào dưới đây?
Hàm số nào sau đây không là hàm số lẻ?
Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?
Đường cong trong hình có thể là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
Hàm số \[y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}\] xác định trên:
Tìm chu kì của hàm số \[y = f\left[ x \right] = \tan 2x\].
Tìm chu kì của các hàm số sau \[f\left[ x \right] = \sin 2x + \sin x\]
Tìm chu kì của các hàm số sau \[y = \tan x.\tan 3x\].
Tìm chu kì của các hàm số sau \[y = \sin \sqrt x \]
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ?
Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị nhận \[Oy\] làm trục đối xứng ?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x\] là
Cho hàm số lượng giác \[f[x] = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\].
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 1 PHƯƠNG PHÁP 1. Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho hàm số y f x xác định trên miền D R . a. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu 0 0 , , f x M x D x D f x M b. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu 0 0 m, , f x x D x D f x m 2. Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này a] Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn : 2 2 1 sin 1 0 sin 1 1 cos 1 0 cos 1 x x x x b] Bảng biến thiên của hàm số lượng giác. c] Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay. MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đồ thị hàm số 3 sin y x Lời giải Tập xác định D . Ta có: 1 sin 1 x x 1 sin 1 x x 3 1 3 sin 3 1 x x 4 2 y x Ta có: 4 y khi sin 1 x và 2 y khi sin 1 x Vậy min 2 y và max 4 y . Bài 2. Tìm tập giá trị T của hàm số 3cos 2 5 y x TẬP GIÁ TRỊ VÀ MAX - MIN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 2 Lời giải Tập xác định D . Ta có: 1 cos 2 1 3 3cos 2 3 3 5 3cos 2 5 3 5 8 2 x x x y Vậy tập giá trị của hàm số 3cos 2 5 y x là 8; 2 T Bài 3. Tìm tập giá trị T của hàm số 2 2 sin 2cos 1 y x x trên khoảng Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 sin 2cos 1 sin 2 1 sin 1 3 sin y x x x x x Với x thì 2 2 0 sin 1 0 sin 1 x x 2 3 3 sin 3 1 2 x Vậy tập giá trị của hàm số 2 2 sin 2cos 1 y x x trên là 2 ; 3 T Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 1 cos 1 y x Lời giải ĐKXĐ: co s x - 1 x k 2 . TXĐ: / 2 D k Ta có: 1 1 : 1 cos 1 0 1 cos 2 1 cos 2 x D x x x Ta có: 1 2 y khi c os x 1 . Vậy, 1 mi n 2 y . Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2sin 1 3 P x Lời giải Ta có: sin 1 2sin 2 2sin 1 1 3 3 3 x x x Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi sin 1 3 x . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1 . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10 2017 cos8 2016 2017 y x A. min 1; maxy 4033 y B. min 1; maxy 4033 y C. min 1; maxy 4022 y D. min 1; max 4022 y y Lời giải Chọn B Hàm số xác định trên Ta có 10 1 cos8 1, 2017 x x 10 2017 2016 2017 cos8 2016 2017 2016, 2017 x x . 10 1 2017 cos8 2016 4033, 2017 x x Ta có 1 y khi 10 cos8 1 2017 x ; 4033 y khi 10 cos8 1 2017 x . Vậy min 1; maxy 4033 y . Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 4 cos y x là: A. 0 và 4. B. 4 và 4. C. 0 và 1. D. 1 và 1. Lời giải Chọn B Tập xác định: 0 ; D . Ta có: 1 cos 1, 0 ; x x 4 4co 4 ; s , 0 x x Ta có 4 y khi cos 1 x và 4 y khi cos 1 x . Vậy min 4 ; max 4 y y Câu 3. Cho hàm số sin . 4 y x Giá trị lớn nhất của hàm số là: A. 1 . B. 0 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn C Ta có: 1 sin 1 4 x . Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số sin 4 y x là 1. Câu 4. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2 1 cos 2 y x là: A. 0 và 2 1 . B. 1 và 2 1 . C. 2 và 1 D. 1 và 1 Lời giải NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 4 Chọn C Ta có 2 2 1 cos 2 sin 2 sin 2 y x x x Mặt khác 0 sin 1 2 sin 2 1 x x 2 1 y Ta có: 2 y khi sin 0 x và 1 y khi sin 1 x Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là 2 và 1 . Câu 5. Cho hàm số 2sin 2 3 y x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 4 , y x B. 4 , y x C. 0 , y x D. 2 , y x Lời giải Chọn C Ta có 1 sin 1, 3 x x 2 2sin 2 , 3 x x 4 2sin 2 0 , 3 x x Ta có: 4 y khi sin 1 3 x và 0 y khi sin 0 3 x Suy ra chọn đáp án C. MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10 2017 cos 8 2016 2017 y x . Lời giải Cách 1: Hàm số xác định trên . Ta có : 10 1 cos 8 1 2017 x , x 10 2017 2017 cos 8 2017 2017 x , x 10 1 2017 cos 8 2016 4033 2017 x , x Ta có 1 y khi 10 cos 8 1 2017 x ; 4033 y khi 10 cos 8 1 2017 x . Vậy min 1; maxy 4033 y . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2cos sin 2 5 y x x . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 5 Lời giải Ta có 2 2cos sin 2 5 y x x cos 2 sin 2 6 x x 2 cos 2 6 4 x . Do 2 2 cos 2 2 4 x nên 2 6 2 cos 2 6 2 6 4 x . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2cos sin 2 5 y x x là 6 2 . Bài 3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos y x x . Tính P M m . Lời giải Ta có in cos 2 si 4 s n x x x y . Mà 2 1 sin 1 2 sin 2 2 2 4 4 2 2 M x x P m . Vậy 2 2 P . Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 1 cos 2 x y x . Lời giải Cách 1 : cos 2 0 x , x . Vậy sin 1 sin 1 cos 2 cos 2 x y x y x x sin cos 1 2 0 x y x y . Ta có 2 2 2 2 2 2 4 1 1 2 1 4 4 1 3 4 0 0 3 y y y y y y y y . Vậy min 0 y min. Cách 2 : Ta có sin 1 0 0 min 0 sin 1 cos 2 0 x y y x x . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 cos 2 3 sin cos 1 y x x x . Lời giải Cách 1: 2 2 cos 2 3 sin cos 1 y x x x 2 2cos 1 3 sin 2 2 x x cos 2 3 sin 2 2 x x 1 3 2 cos 2 sin 2 2 2 2 x x 2cos 2 2 3 x . Mặt khác 0 2cos 2 2 4 3 x , x 0 4 y , x . Cách 2: 2 2 cos 2 3 sin cos 1 y x x x 2 2cos 1 3 sin 2 2 x x cos 2 3 sin 2 2 x x * Ta có 1 3 2 1 3 2 y 0 4 y . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 6 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 sin 2cos y x x . A. 2 M , 0 m . B. 2 M , 1 m . C. 3 M , 1 m . D. 3 M , 0. m Lời giải Chọn B Ta có: 2 2 2 2 2 2 sin 2cos sin cos cos 1 cos y x x x x x x . Do 2 2 1 cosx 1 0 cos x 1 1 cos x 2 . Suy ra 2 1 M m . Câu 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 8sin 3cos2 y x x . Tính Tính 2 2 P M m . A. 1 P . B. 2 P . C. 112 . D. 130 P . Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 2 2 8sin 3cos 2 8sin 3 1 2sin 2sin 3 y x x x x x . Mà 1 sinx 1 2 2 0 sin 1 3 2sin 3 5 x x 3 5 y . Suy ra: 5 3 M m . Do đó: 2 2 1 P M m . Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3sin 4cos 1 y x x . A. max 8 y , min 6 y . B. max 4 y , min 6 y . C. max 6 y , min 8 y . D. max 6 y , min 4 y . Lời giải Chọn B Ta có 3sin 4cos 1 3sin 4cos 1 y x x x x y * Ta coi * như là phương trình cổ điển với 3 a , 4 b , 1 c y . Phương trình * có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2 2 9 16 1 6 4 a b c y y . Vậy max 4 y , min 6 y . Chú ý: Ta có thể áp dụng bất đẳng thức BCS như sau: 2 2 2 2 1 3sin 4cos 3 4 sin cos 5 y x x x x . Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 2 sin sin 2 y x x . A. 7 min ;max 4 4 y y . B. 7 min ;max 2 4 y y . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 7 C. min 1; max 1 y y . D. 1 min ;max 2 2 y y . Lời giải Chọn A Đặt sin x u ; 1;1 u . Xét hàm số: 2 2 y u u trên 1 ;1 . Ta có: 1 1;1 2 2 b a . Từ đây có bảng biến thiên Ta kết luận: 1;1 7 min 4 f u và 1;1 max 4 1 y u . Hay 7 1 min sin 4 2 y x và max 4 sin 1 y x . Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin 2cos 3 2 cos x x y x A. 2 min 3 y ; max 2 y B. 2 min 3 y ; max 2 y . B. 1 min 2 y ; 3 max 2 y . D. 1 min 2 y ; 3 max 2 y . Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos 2 0 x , x . sin 2cos 3 2 cos x x y x sin 2cos 3 2 cos x x y y x sin 2 cos 3 2 0 x y x y . Ta có: 2 2 2 1 2 3 2 y y 2 2 4 12 9 4 4 1 0 y y y y 2 3 8 4 0 y y 2 2 3 y . Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: sin x 2cos x 3 2 2 cos x thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp 3 max 2 . Lúc này chỉ còn A và B. Thử với 2 min y 3 thì không có nghiệm. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 8 MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: 3cos 2 3 y x Lời giải Vì 1 cos 1 3 x nên 3 3cos 3 3 2 3 2 1 5 2 x y y . Vậy tập gái trị của hàm số là 1;5 . Bài 2. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: 3 2sin 2 y x . Lời giải Ta có: 1 sin 2 1 2 2sin 2 2 1 3 2sin 2 5 1 3 2sin 2 5 x x x x . Vậy tập giá trị của hàm số là 1; 5 . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 4sin cos 1 y x x . Lời giải Ta có 2sin 2 1 y x . Do 1 sin 2 1 2 2sin 2 2 1 2sin 2 1 3 x x x 1 3 y . * 1 sin 2 1 2 2 2 4 y x x k x k . * 3 sin 2 1 4 y x x k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, đạt được khi 4 x k . giá trị nhỏ nhất bằng 1 , đạt được khi 4 x k . Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 2 4 3sin 2 y x . Lời giải Ta có: 2 2 0 sin 1 1 4 3sin 4 x x . * 2 1 sin 1 cos 0 2 y x x x k . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 9 * 2 4 sin 0 y x x k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , đạt được khi x k . giá trị nhỏ nhất bằng 1, đạt được khi 2 x k . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2sin 3 y x . Lời giải Ta có 1 2sin 3 5 1 5 x y . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng max 5 y , đạt được khi sin 1 2 2 x x k . Giá trị nhỏ nhất bằng min 1 y , đạt được khi 1 2 2 x x k . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm tập giá trị hàm số sau 1 3sin 2 4 y x . A. 2;4 . B. 2;2 . C. 1;4 . D. 2;3 . Lời giải Chọn A Ta có: 1 sin 2 1 3 3sin 2 3 2 1 3sin 2 4 4 4 4 x x x . 2 4 y . Vậy tập giá trị của hàm số là 2;4 . Câu 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2cos 3 3 3 y x A. min 2 y , max 5 y . B. min 1 y , max 4 y . C. min 1 y , max 5 y . D. min 1 y , max 3 y . Lời giải Chọn C Ta có: 1 cos 3 1 2 2cos 3 2 1 2cos 3 3 5 1 5 3 3 3 x x x y . min 1 y đạt được khi 4 2 9 3 x k . max 5 y đạt được khi 2 9 3 x k . Câu 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 1 2cos 1 y x A. max 1 y , min 1 3 y . B. max 3 y , min 1 3 y . C. max 2 y , min 1 3 y . D. max 0 y , min 1 3 y . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 10 Lời giải Chọn D Ta có 2 1 2cos 1 3 1 3 0 x y . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max 0 y , đạt được khi 2 x k . Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min 1 3 y , đạt được khi x k . Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 1 3sin 2 4 y x . A. min 2 y , max 4 y . B. min 2 y , max 4 y . C. min 2 y , max 3 y . D. min 1 y , max 4 y . Lời giải Chọn A Ta có: 1 sin 2 1 2 4 4 x y 2 sin 2 1 4 8 y x x k min 2 y 3 4 sin 2 1 4 8 y x x k max 4 y Câu 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 3 2cos 3 y x A. min 1 y , max 2 y . B. min 1 y , max 3 y . C. min 2 y , max 3 y . D. min 1 y , max 3 y . Lời giải Chọn C Ta có: 2 0 cos 3 1 1 3 x y . 2 1 cos 3 1 3 k y x x min 1 y . 2 3 cos 3 0 6 3 k y x x max 3 y . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 11 MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 3sin 4 12 y x Lời giải Ta có 2 2 2 sin 1 3sin 3 3sin 4 7 12 12 12 x x x . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7 . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2sin sin 2 10 f x x x . Lời giải Ta có 2 2sin sin 2 10 f x x x 11 sin 2 cos 2 x x 11 2 sin 2 4 x . Do 1 sin 2 1 4 x 2 2 sin 2 2 4 x nên 11 2 sin 2 11 2 4 x . Dấu " '' xảy ra khi 3 sin 2 1 4 8 x x k , k . Vậy max 11 2 f x . Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2cos sin 2 5 y x x . Lời giải Ta có 2 2cos sin 2 5 y x x cos 2 sin 2 6 x x 2 cos 2 6 4 x . Do 2 2 cos 2 2 4 x nên 2 6 2 cos 2 6 2 6 4 x . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2cos sin 2 5 y x x là 6 2 . Bài 4. Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 sin cos y x x . Tính M m . Lời giải Ta có: 2 2 2 3 1 2 3 sin cos 2 3 1 x x . Vậy 0 M m . Bài 5. Cho hàm số 12 7 4sin y x có giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn 5 ; 6 6 . Tìm , M m . Lời giải Ta có: 5 6 6 x 1 sin 1 2 x 1 1 sin 2 x 4 4sin 2 x 3 7 4sin 9 x 4 12 4 3 7 4sin x . Hay 4 4 3 y . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 12 Vậy 4 M , 4 3 m . Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin y x trên đoạn 5 ; 6 6 . Lời giải 2cos 0 2 y x x k , k . Với 5 ; 6 6 x suy ra: 2 x . 1 6 y , 2 2 y , 5 1 6 y . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ 2 Câu 1. Tìm tập giá trị của hàm số 3sin cos 2 y x x . A. 2; 3 . B. 3 3; 3 1 . C. 4;0 . D. 2;0 . Lời giải Chọn C Xét 3sin cos 2 y x x 2 sin .cos cos .sin 2 6 6 x x 2sin 2 6 x . Ta có 1 sin 1 6 x 4 2sin 2 0 6 x 4 0 y với mọi x . Vậy tập giá trị của hàm số là 4;0 . Câu 2. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sin 2cos 1 sin cos 2 x x y x x là A. 1 2 m ; 1 M . B. 1 m ; 2 M . C. 2 m ; 1 M . D. 1 m ; 2 M . Lời giải Chọn C Ta có sin 2cos 1 1 sin 2 cos 1 2 sin cos 2 x x y y x y x y x x * . Phương trình * có nghiệm 2 2 2 2 1 2 1 2 2 0 2 1 y y y y y y . Vậy 2 m ; 1 M . Câu 3. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 12 7 4sin y x trên đoạn 5 ; 6 6 là NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 13 A. 12 5 M ; 4 3 m . B. 4 M ; 4 3 m . C. 12 5 M ; 12 7 m . D. 4 M ; 12 11 m . Lời giải Chọn B Do 5 1 12 ; sin ;1 0 6 6 2 7 4sin x x y x ; 12 7 12 1 4 7 4 sin 12 sin ;1 ;4 7 4sin 4 2 3 y y y y x x y x y . Do đó 1 ;1 2 max 1 4 M f t f và 1 ;1 2 1 4 min 2 3 m f t f . Câu 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sin y x trên đoạn ; 2 3 lần lượt là A. 1 2 ; 3 2 . B. 3 2 ; 1 . C. 3 2 ; 2 . D. 2 2 ; 3 2 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 3 x sin sin sin 2 3 x 3 1 sin 2 x . Vậy ; 2 3 3 max sin 3 2 y ; ; 2 3 min sin 1 2 y . Câu 5. Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2cos 1 cos 2 x y x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 9 0 M m . B. 9 0 M m . C. 9 0 M m . D. 0 M m . Lời giải Chọn C Ta có 2cos 1 5 2 cos 2 cos 2 x y x x . Mà 1 cos 1 x 3 cos 2 1 x 5 5 5 3 cos 2 x 1 5 2 3 3 cos 2 x 1 3 3 y . Vậy 1 3 M và 1 cos 1 x 9 0 M m . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 14 MỨC ĐỘ 3 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10 2020cos 8 2021 2019 y x . Lời giải Ta có 10 1 cos 8 1, 2019 x x . Nên 10 2020 2020cos 8 2020 2019 x 10 1 2020cos 8 2021 4041 2019 x . Vậy min 1 y đạt được khi 10 cos 8 1 2019 x , max 4041 y đạt được khi 10 cos 8 1 2019 x . Bài 2. Tìm GTNN của hàm số 2 cos 2 cos y x x . Lời giải Ta có cos 1 x , dấu “ ” xảy ra khi cos 1 x . [1] Mặt khác 2 2 2 0 cos 1 1 cos 0 1 2 cos 2 x x x . 2 2 cos 1 x , dấu “ ” xảy ra khi cos 1 x . [2] Từ [1] và [2] ta có 2 cos 2 cos 0 x x . Suy ra min 0 y , đạt được khi cos 1 2 x x k k . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: cos 2 3 sin 2 2 y x x . Lời giải Ta có 1 3 cos 2 3 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 2 y x x x x 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2cos 2 2 3 3 3 x x x . Mặt khác 1 cos 2 1 2 2cos 2 2 0 2cos 2 2 4 3 3 3 x x x . Vậy min 0 y đạt được khi cos 2 1 3 x , max 4 y đạt được khi cos 2 1 3 x . Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 cos 2 3 sin .cos 1 y x x x trên đoạn 7 0; 12 . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 15 Lời giải Ta có cos 2 3 sin 2 2 2cos 2 2 3 y x x x . Đặt 2 3 t x . Theo giả thiết 7 3 0; ; 12 3 2 x t . Ta lập BBT của hàm số 2cos 2 f t t trên 3 ; 3 2 . Từ bảng biến thiên ta có 7 3 0; ; 12 3 2 min min 0 y f t , đạt được khi 3 t x 7 3 0; ; 12 3 2 max max 3 y f t , đạt được khi 0 3 t x Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 2 cos cos 2 y x x . Lời giải Đặt cos x t ; 1;1 t Xét hàm số bậc hai: 2 2 f t t t trên 1;1 . Ta có: 1 1;1 2 2 b a . Từ đây có bảng biến thiên Ta kết luận: 1;1 7 min min 4 y f t , đạt được khi 1 cos 2 x ; 1;1 max max 4 y f t , đạt được khi cos 1 x . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 16 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 2 2sin cos 2 y x x . A. max 4 y , 3 min 4 y . B. max 3 y , min 2 y . C. max 4 y , min 2 y . D. max 3 y , 3 min 4 y . Lời giải Chọn D Đặt 2 sin , 0 1 cos 2 1 2 t x t x t . 2 2 2 1 3 2 1 2 4 2 1 2 2 4 y t t t t t . Cách 1: Do 2 1 1 3 1 9 0 1 2 0 2 2 2 2 2 4 t t t 3 3 4 y . Cách 2: Có ' 8 2 y t 1 0 0;1 4 y t . Ta có: 0 1 y ; 1 3 4 4 y ; 1 3 y . Vậy max 3 y đạt được khi 2 x k . 3 min 4 y đạt được khi 2 1 1 cos 2 1 sin 4 2 4 x x . 1 cos 2 2 2 2 3 6 x x k x k . Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 2 tan cot 3 tan cot 1 y x x x x . A. min 2 y . B. min 4 y . C. min 5 y . D. min 1 y . Lời giải Chọn C Ta có: 2 tan cot 3 tan cot 3 y x x x x . Đặt 2 tan cot 2 sin 2 t x x t x . Suy ra 2 3 3 y t t f t . Bảng biến thiên Vậy min 5 y đạt được khi 4 x k . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 17 Câu 3. Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 sin 2 sin y x x là M , m . Tính M m . A. 3. B. 4 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có 1 sin 0 , y x x và 2 2 2 2sin 2 sin y x x . Mà 2 2 2 2 sin 2 sin sin 2 sin 2 x x x x . Suy ra 2 0 4 0 2 y y . Vậy min 0 y đạt được khi 2 2 x k . max 2 y đạt được khi 2 2 x k . Vậy 2, 0 M m hay 2 M m . Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin 2cos 3 2 cos x x y x . A. 2 min ; max 2 3 y y . B. 2 min ; max 2 3 y y . C. 1 3 min ; max 2 2 y y . D. 1 3 min ; max 2 2 y y . Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos 2 0 x , x . sin 2cos 3 2 cos x x y x sin 2cos 3 2 cos x x y y x sin 2 cos 2 3 x y x y Ta có 2 2 2 2 2 2 2 3 sin 2 cos 1 2 sin cos 5 4 y x y x y x x y y 2 2 4 12 9 4 5 0 y y y y 2 3 8 4 0 y y 2 2 3 y Cách 2: [dùng sau khi học xong bài phương trình bậc nhất theo sin và cos]. Ta có cos 2 0 x , x . sin 2cos 3 2 cos x x y x sin 2cos 3 2 cos x x y y x sin 2 cos 3 2 0 x y x y Ta có 2 2 2 1 2 3 2 y y 2 2 4 12 9 4 4 1 0 y y y y 2 3 8 4 0 y y 2 2 3 y . Cách 3: sử dụng máy tính cầm tay. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 18 Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: sin 2cos 3 2 2 cos x x x thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp 3 max 2 . Lúc này chỉ còn A và B Thử với 2 min 3 y thì không có nghiệm. Từ đây chọn B. Câu 5. Cho hàm số 4 4 sin cos 2 sin .cos h x x x m x x . Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x [trên toàn trục số] là A. 1 1 2 2 m . B. 1 0 2 m . C. 1 0 2 m . D. 1 2 m . Lời giải Chọn A Xét hàm số 2 2 2 2 sin cos sin 2 g x x x m x 2 2 2 2 2 sin cos 2sin cos sin 2 x x x x m x 2 1 1 sin 2 sin 2 2 x m x . Đặt sin 2 t x 1;1 t . Hàm số h x xác định với mọi x 0, g x x 2 1 1 0, 1;1 2 t mt t 2 2 2 0, 1;1 t mt t . Đặt 2 2 2 f t t mt trên 1;1 . Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên. Ta thấy 1;1 max 1 f t f hoặc 1;1 max 1 f t f . Ycbt 2 2 2 0 f t t mt , 1;1 t 1;1 max 0 f t 1 0 1 0 f f 1 2 0 1 2 0 m m 1 1 2 2 m . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 19 MỨC ĐỘ 4 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos cos sin y x x x x . Lời giải Điều kiện xác định: sin 0 cos 0 x x . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm sin cos x x và cos sin x x ta có : sin cos cos sin 2 sin cos sin cos x x x x x x x x 1 1 2 sin 2 sin 2 0 2 2 y x x . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2 0 2 , , 2 k x x k k x k . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sinx 2cos 3 2 cos x y x . Lời giải Ta có: cos 2 0, x x R . Khi đó: sinx 2cos 3 2 cos x y x s inx 2 cos 3 2 cos x y y x sinx 2 cos 3 2 0 * y x y Phương trình * có nghiệm 2 2 2 1 2 3 2 y y 2 2 4 12 9 4 4 1 0 y y y y 2 3 8 4 0 y y 2 2 3 y . Vậy 2 min ;max 2 3 y y . Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 2 2 cot cot 2 tan .tan 2 P a b a b . Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot cot 2cot .cot 2 tan .tan 2 cot cot 2 cot .cot tan .tan 2 6 cot cot 2 cot .cot tan .tan 2cot .cotb.tan .tan 6 cot cot 2 cot .cot tan .tan 6 6 P a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b Vậy min 6 y , đạt được khi 2 2 2 2 cot 1 cot cot cot .cot tan .tan cot 1 a a b a b a b b ,[ ] 4 2 k a b k . Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 1 1 1 os 5 2sin 2 2 y c x x . Lời giải NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 20 Ta có 2 2 2 2 1 1 1 5 1 1 os 5 2sin 1 os sin 2 2 2 4 2 y c x x y c x x Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 2 1 1 os 2 c x ; 2 5 1 sin 4 2 x ta có: 2 2 2 2 2 2 1 5 1 1 5 1 9 1 22 1. 1 os 1. sin 1 1 . 1 os sin 2. 2 4 2 2 4 2 4 2.1 2 c x x c x x . Vậy 22 min 2 y , xảy ra khi 2 2 1 5 1 1 os sin , 2 4 2 6 c x x x k k . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 4 4 sin cos sin cos y x x x x . Lời giải Ta có 4 4 sin cos sin cos y x x x x 2 2 1 2sin cos sin cos y x x x x 2 1 1 1 sin 2 sin 2 2 2 y x x 2 2 1 1 1 9 1 1 9 1 sin 2 sin 2 2 2 4 8 2 2 8 y x y x . Vậy 9 max 8 y , đạt được khi 1 sin 2 2 x . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho , , 0 x y z và 2 x y z . Tìm giá trị lớn nhất của 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan y x y y z z x A. max 1 2 2 y . B. max 3 3 y . C. max 4 y . D. max 2 3 y . Lời giải Chọn D Ta có tan tan 2 2 2 x y z x y z x y z tan tan 1 1 tan .tan tan x y x y z tan .tan tan .tan 1 tan .tan x z y z x y tan .tan tan .tan tan .tan 1 x z y z x y Ta thấy tan .tan ; tan .tan ; tan .tan x z y z x y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề bài cho. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có: 1. 1 tan .tan 1. 1 tan .tan 1. 1 tan .tan x y y z z x 2 2 2 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .ta 1 1 1 . n x z y z x y tan .tan tan .tan tan .ta 2 n 3 3 3 x z y z x y . Vậy max 2 3 y . Câu 2: Hàm số 2 2 3 1 tan 3cot 2 tan x y x x đạt giá trị nhỏ nhất là A. 1 . B. 3 2 3 . C. 2 2 2 . D. 0 . Lời giải Chọn A Ta có 2 1 tan cot 2 2 tan x x x . Từ đó suy ra 2 2 2 2 3 1 tan 3cot 2 3cot 2 2 3 cot 2 2 tan x y x x x x NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 21 2 3 cot 2 1 1 1, x x . Vậy 1 min 1 cot 2 3 y x . Câu 3: Hàm số 2cos sin 4 y x x đạt giá trị lớn nhất là A. 5 2 2 . B. 5 2 2 . C. 5 2 2 . D. 5 2 2 . Lời giải Chọn C Ta có: 1 2cos sin 2cos 2 sin 4 4 2 y x x x x 1 2cos sin cos 2 x x x 1 1 2 cos sin 2 2 x x . Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: 2 2 2 2 1 1 2 5 2 2 2 2 y y . Do đó 5 2 2 5 2 2 y . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2 . Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số sin 1 cos 2 m x y x nhỏ hơn 2 . A. 3. B. 5. C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn B Ta có: sin 1 cos 2 sin 1 sin cos 2 1 cos 2 m x y y x y m x m x y x y x * * có nghiệm khi 2 2 2 2 2 2 1 3 4 1 0 m y y y y m 2 2 2 1 3 2 1 3 3 3 m m y 2 2 2 max 2 1 3 2 1 3 4 5 3 m y m m . Do m 2; 1;0;2;1 m . Vậy có 5 giá trị của m thỏa ycbt. Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2020 được cho bởi một hàm số 4sin 60 10 178 y t , với t Z và 0 366 t . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ?. A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Lời giải Chọn A Vì sin 60 1 4sin 60 10 14 178 178 t y t . Khi đó, ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất là NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 22 14 sin 60 1 60 2 149 356 178 178 2 y t t k t k . Mà 149 217 0 366 0 149 356 366 356 356 t k k . Vì k nên 0 k . Với 0 149 k t tức rơi vào ngày 28 tháng 5 [vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2020 là năm nhuận nên tháng 2 có 29 ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 366 t thì ta biết năm này tháng 2 có 29 ngày]. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: //www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 23