1. Biểu diễn tuyến tính
- Cho hệ $m$ véctơ $n$ chiều ${{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}}.$ Véctơ $X\in {{\mathbb{R}}^{n}}$ được biểu diễn tuyến tính qua $m$ véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}}$ nếu tồn tại $m$ số thực ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{m}}$ sao cho $X={{\alpha }_{1}}{{X}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{X}_{2}}+...+{{\alpha }_{m}}{{X}_{m}}.$
- Đẳng thức trên tương đương với: ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{m}}$ là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm $n$ phương trình và $m$ ẩn ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{m}}$ có ma trận hệ số mở rộng $\overline{A}=\left[ {{X}_{1}}\text{ }{{X}_{2}}...{{X}_{m}}\text{ }X \right]$ trong đó các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}},X$ được viết dưới dạng cột:
2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của một hệ véctơ
- Cho $m$ véctơ $n$ chiều ${{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}}.$ Xét đẳng thức: ${{\alpha }_{1}}{{X}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{X}_{2}}+...+{{\alpha }_{m}}{{X}_{m}}={{O}_{n}}[*].$ Đẳng thức này tương đương với hệ tuyến tính tổng quát gồm $n$ phương trình và $m$ ẩn ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{m}}$ có ma trận hệ số là $A=\left[ {{X}_{1}}\text{ }{{X}_{2}}\text{ }{{X}_{m}} \right],$ trong đó các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}}$ viết dưới dạng cột.
- Hệ gồm $m$ véctơ $n$ chiều ${{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}}$ được gọi là độc lập tuyến tính nếu [*] chỉ xảy ra khi ${{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}}=...={{\alpha }_{m}}=0,$ tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số $A$ có nghiệm tầm thường duy nhất, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số $A$ kết thúc dưới dạng tam giác.
- Hệ gồm $m$ véctơ $n$ chiều ${{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}}$ được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại $m$ số thực ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{m}}$ không đồng thời bằng 0 sao cho đẳng thức [*] xảy ra, tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số $A$ có vô số nghiệm, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số $A$ kết thúc dưới dạng hình thang.
Ví dụ 4.Cho $P=\left\{ A,B,C \right\},Q=\left\{ A,B,A+2C \right\}.$ Chứng minh rằng $P$ độc lập tuyến tính thì $Q$ độc lập tuyến tính.
Giải.Giả sử ngược $Q=\left\{ A,B,A+2C \right\}$ phụ thuộc tuyến tính khi đó tồn tại 3 số thực ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}}$ khôngđồng thời bằng 0 sao cho $\begin{array}{l} {\alpha _1}A + {\alpha _2}B + {\alpha _3}[A + 2C] = O \Leftrightarrow [{\alpha _1} + {\alpha _3}]A + {\alpha _2}B + 2{\alpha _3}C = O\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + {\alpha _3} = 0\\ {\alpha _2} = 0\\ 2{\alpha _3} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow {\alpha _1} = {\alpha _2} = {\alpha _3} = 0. \end{array}$[vô lí].
Vậy $Q=\left\{ A,B,A+2C \right\}$ độc lập tuyến tính.
3. Các định lí về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định lí 1:Một hệ véctơ $n$ chiều có số véctơ lớn hơn hoặc bằng hai. Hệ véctơ đó phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véctơ trong hệ được biểu diễn tuyến qua các véctơ còn lại.
Hệ quả: Hệ gồm hai véctơ $X,Y$ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi $X,Y$ tỷ lệ và ngược lại $X,Y$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi $X,Y$ không tỷ lệ.
Định lí 2:Cho hai hệ véctơ $n$ chiều $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}$ và $\left\{ {{Y}_{1}},{{Y}_{2}},...,{{Y}_{k}} \right\}.$
Nếu $m>k$ và mọi véctơ ${{X}_{i}}[i=1,2,...,m]$ được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ {{Y}_{1}},{{Y}_{2}},...,{{Y}_{k}} \right\}$ thì hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}$ phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả:Mọi hệ véctơ $n$ chiều có số véctơ lớn hơn số chiều [lớn hơn $n$] thì hệ véctơ đó phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}\subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ $X\in {{\mathbb{R}}^{n}}$ không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}$ thì $m\le n-1.$
Giải. Giả sử $m>n-1$ suy ra hệ véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}},X$ có số véctơ là $m+1>n$ lớn hơn số chiều của ${{\mathbb{R}}^{n}}$ nên phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy tồn tại $m+1$ số thực ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{m}},\alpha $ không đồng thời bằng 0 sao cho
${{\alpha }_{1}}{{X}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{X}_{2}}+...+{{\alpha }_{m}}{{X}_{m}}+\alpha X={{O}_{n}}.$
Do $X$khôngbiểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}$ nên $\alpha =0.$
Vậy ${{\alpha }_{1}}{{X}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{X}_{2}}+...+{{\alpha }_{m}}{{X}_{m}}={{O}_{n}}\Leftrightarrow {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}}=...={{\alpha }_{m}}=0$ [do hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},...,{{X}_{m}} \right\}\subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ độc lập tuyến tính]. Vậy ${{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}}=...={{\alpha }_{m}}=\alpha =0$ [mâu thuẫn với $m+1$ số thực ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{m}},\alpha $ không đồng thời bằng 0]. Vậy ta có điều phải chứng minh.
XEM TRỰC TUYẾN
Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:
Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...