Trong toán học và xử lý tín hiệu, biến đổi Z chuyển đổi một tín hiệu thời gian rời rạc, là một chuỗi số thực hoặc số phức, thành một đại diện trong miền tần số phức.
Nó có thể được coi là một tương đương thời gian rời rạc của biến đổi Laplace. Sự giống nhau này được khám phá trong lý thuyết giải tích theo trục thời gian.
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Ý tưởng cơ bản hiện nay được biết đến như là biến đổi Z là nhờ công của Laplace, và được giới thiệu lại vào năm 1947 bởi W. Hurewicz như một cách dễ dàng làm để giải các phương trình vi phân tuyến tính, hệ số không đổi.[1] Nó sau đó được gọi là "biến đổi z" bởi Ragazzini và Zadeh trong nhóm điều khiển dữ liệu lấy mẫu tại Đại học Columbia vào năm 1952.[2][2]
Biến đổi z nâng cao hoặc cải tiến sau đó được phát triển và phổ biến bởi E. I. Jury.[2][2]
Ý tưởng chứa bên trong phép biến đổi Z cũng được biết đến trong các tài liệu toán học như là phương pháp tạo hàm mà có thể truy trở lại sớm nhất là vào năm 1730 khi nó được giới thiệu bởi de Moivre trong sự kết hợp với lý thuyết xác suất.[2] Từ quan điểm toán học phép biến đổi Z cũng có thể được xem như là một chuỗi Laurent nơi ta xem các dãy số được xem xét như là mở rộng [Laurent] của một hàm giải tích.
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Biến đổi Z, giống như nhiều biến đổi tích phân khác, có thể được định nghĩa là biến đổi một mặt hoặc hai mặt.
Biến đổi Z song phương[sửa | sửa mã nguồn]
Biến đổi Z song phương hoặc hai mặt của một tín hiệu thời gian rời rạc x[n] là chuỗi hàm mũ X[z] được định nghĩa bằng
trong đó n là một số nguyên và z nói chung là một số phức:
Trong đó A là biên độ của z, j là đơn vị ảo, và ɸ là argument phức [cũng được gọi là góc hoặc pha] theo radian.
Biến đổi Z đơn phương[sửa | sửa mã nguồn]
Ngoài ra, trong trường hợp x[n] được xác định chỉ với n ≥ 0, biến đổi Z một mặt hoặc đơn phương được định nghĩa là
Trong xử lý tín hiệu, định nghĩa này có thể được sử dụng để đánh giá biến đổi Z-của các đáp ứng xung đơn vị của một hệ thống nhân quả thời gian rời rạc.
Một ví dụ quan trọng của biến đổi z đơn phương là hàm tạo xác suất, trong đó thành phần x[n] là xác suất mà một biến ngẫu nhiên rời rạc có giá trị n, và hàm X[z] thường được viết là X[s], với s = z−1. Các tính chất của biến đôi Z [dưới đây] có cách diễn giải rất hữu ích trong bối cảnh của lý thuyết xác suất.
Định nghĩa địa vật lý[sửa | sửa mã nguồn]
Trong địa vật lý, định nghĩa thông thường cho biến đổi Z là một chuỗi hàm mũ của z trái ngược với z−1. Qui ước này được sử dụng, ví dụ, bởi Robinson và Treitel[2] và bởi Kanasewich.[1] Định nghĩa địa vật lý là:
Hai định nghĩa này là tương đương; Tuy nhiên, sự khác biệt kết quả có một số thay đổi. Ví dụ, với vị trí của Zero và cực di chuyển từ bên trong vòng tròn đơn vị sử dụng một định nghĩa, tới bên ngoài vòng tròn đơn vị sử dụng định nghĩa khác.[1][2] Do đó, cần phải chú ý định nghĩa nào đang được sử dụng bởi một tác giả cụ thể.
Biến đổi Z nghịch đảo[sửa | sửa mã nguồn]
Biến đổi Z nghịch đảo là
trong đó C là một đường bao kín ngược chiều kim đồng hồ bao xung quanh điểm gốc và toàn bộ vùng hội tụ [ROC]. Trong trường hợp ROC là nhân quả [xem ví dụ 2], điều này có nghĩa là đường C phải bao vây tất cả các cực của X[z].
Một trường hợp đặc biệt, tích phân đường viền này xảy ra khi C là vòng tròn đơn vị [và có thể được sử dụng khi ROC bao gồm vòng tròn đơn vị, điều này sẽ luôn luôn được đảm bảo khi X[z] ổn định, tức là tất cả các cực nằm trong vòng tròn đơn vị]. Biến đổi Z nghịch đảo đơn giản hoá đến biến đổi Fourier thời gian rời rạc nghịch đảo:
Biến đổi Z với một phạm vi hữu hạn của n và một số hữu hạn các giá trị z cách đều nhau có thể được tính toán hiệu quả thông qua thuật toán FFT của Bluestein. Biến đổi Fourier thời gian rời rạc [DTFT]-Đừng nhầm lẫn với biến đổi Fourier rời rạc [DFT]-là một trường hợp đặc biệt của một biến đổi Z như vậy thu được bằng cách giới hạn z nằm trên hình tròn đơn vị.
Vùng hội tụ[sửa | sửa mã nguồn]
Vùng hội tụ [ROC] là tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức mà biến đổi Z tổng hội tụ.
Ví dụ 1 [không có ROC][sửa | sửa mã nguồn]
Cho x[n] = [0.5]n. Mở rộng x[n] trên khoảng [−∞, ∞], ta có
Nhìn vào tổng
Do đó, không có giá trị nào của z đáp ứng được điều kiện này.
Ví dụ 2 [ROC nhân quả][sửa | sửa mã nguồn]
Cho [trong đó u là hàm bước Heaviside]. Triển khai x[n] trong khoảng [−∞, ∞] nó sẽ thành
Nhìn vào tổng
Phương trình cuối phát sinh từ chuỗi hình học vô hạn và sự phương trình đó chỉ giữ được nếu |0.5z−1| < 1, có thể được viết lại theo z với |z| > 0.5. Do đó, ROC là |z| > 0.5.Trong trường hợp ROC là mặt phẳng phức với một dĩa có bán kính 0.5 tại gốc đâm.
Ví dụ 3 [ROC phi nhân quả][sửa | sửa mã nguồn]
Cho [trong đó u là hàm bước Heaviside]. Triển khai x[n] trong khoảng [−∞, ∞] nó trở thành
Nhìn vào tổng
Sử dụng chuỗi hình học vô tận, một lần nữa, cân bằng chỉ được giữ nếu |0.5−1z| < 1, điều này có thể viết lại theo z khi |z| < 0.5. Do đó, ROC là |z| < 0.5. Trong trường hợp này ROC là một dĩa hội tụ tại gốc và có bán kính là 0.5.
Những gì phân biệt ví dụ này với ví dụ trước đó chỉ là ROC. Điều này cố ý để chứng minh rằng kết quả biến đổi một mình nó là không đủ.
Kết luận từ các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]
Ví dụ 2 & 3 chứng minh rõ ràng rằng biến đổi Z X[z] của x[n] là duy nhất khi và chỉ khi xác định ROC. Tạo ra biểu đồ cực-zero cho các trường hợp quan hệ nhân quả và phi nhân quả Hiển chỉ ra rằng ROC cho cả hai trường hợp không bao gồm cực tại 0.5. Điều này mở rộng cho các trường hợp có nhiều cực: ROC sẽ không bao giờ chứa các cực.
Trong ví dụ 2, hệ thống nhân quả đạt được một ROC bao gồm |z| = ∞ trong khi hệ thống phi nhân quả trong ví dụ 3 đạt được một ROC bao gồm |z| = 0.
Nếu bạn đang cung cấp một biến đổi Z của một hệ thống mà không có một ROC [tức là, một x[n] không xác định] bạn có thể xác định một x[n] duy nhất cung cấp cho bạn điều muốn biết sau đây:
- Tính ổn định
- Tính nhân quả
Nếu bạn cần sự ổn định thì ROC phải chứa vòng tròn đơn vị. Nếu bạn cần một hệ thống nhân quả thì ROC phải chứa vô tận và hàm hệ thống sẽ là một dãy bên phải. Nếu bạn cần một hệ thống phi nhân quả thì ROC phải chứa điểm gốc và hàm hệ thống sẽ là một dãy bên trái. Nếu bạn cần cả hai, sự ổn định và quan hệ nhân quả, tất cả các cực của hàm hệ thống phải được nằm bên trong vòng tròn đơn vị.
x[n] duy nhất sau đó có thể tìm thấy.
Các tính chất[sửa | sửa mã nguồn]
ROC2 Tương quan chéo
Các tính chất của biến đổi Z| Contains ROC1 ∩ ROC2 | |||
r: integer | |||
| ohio-state.edu or ee.ic.ac.uk | |||
| ROC, except z = 0 if k > 0 and z = ∞ if k < 0 | |||
| Contains ROC1 ∩ | |||
| Contains the intersection of ROC of and | |||
| Contains the intersection of ROC of X1[z] and z ≠ 0 | |||
| At least |- |
Định lý Parseval
Định lý giá trị ban đầu: nếu x[n] là quan hệ nhân quả [nghĩa là x[n]=0 với mọi n