Khi đó: =  Hàm số không có điểm cực trị ⇔ = ⩽ 0  Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ = >  Gọi x 1 , x 2 là hai điểm cực trị của hàm số. Theo Viet ta có:  Với chính là hoành độ của điểm uốn.

1 Hệ số a

1 Hệ số d

1 Hệ số c

2 Hệ số b

Dựa vào số điểm cực trị của hàm số

2 Hệ số c

Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung [Oy].

3. Đồ thị hàm số y = [ với ad – bc ≠ 0, c ≠ 0]

Đạo hàm y′ = Tiệm cận đứng x= [d = 0 tiệm cận đứng là trục Oy: x = 0 ] Tiệm cận ngang: y= [a = 0 tiệm cận ngang là trục Ox : y = 0] Giao Ox => x= với a ≠ 0. Nếu a = 0 thì không cắt Ox Giao Oy => y= Với bài hàm số với các tham số là các giá trị cụ thể. Các tiêu chí để nhận dạng:

 Dựa vào tiệm cận đứng + tiệm cận ngang  Dựa vào giao Ox,Oy  Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến Với hàm số có chứa các tham sốNhận biết dấu của 6 cặp tích số:

 ab: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox: x=  ac: Dựa vào vị trí đường tiệm cận ngang y=  bd : Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy: y=  cd : Dựa vào vị trí đường tiệm cận đứng y=  ad : Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ HOẶC dựa vào vị trí đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.  bc : Dựa vào vị trí giao Ox và tiệm cận ngang HOẶC dựa vào vị trí giao Oy với tiệm cận đứng  4 tích số này học sinh có thể ghi nhớ bằng cách hiểu bản chất của các yếu tố: Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, giao Ox, giao Oy, tính đồng biến, nghịch biến.

1. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

4 Từ đồ thị hàm số f[x] suy ra đồ thị hàm số |f[x]|

Thần chú: Trên giữ nguyên, dưới lấy đối xứng lên trên

Nghĩa là: Toàn bộ đồ thị nằm phía trên Ox của f[x] được giữ nguyên.

Toàn bộ đồ thị nằm phía dưới Ox của f[x] được lấy đối xứng lên trên.

1. Từ đồ thị hàm số f[x] suy ra đồ thị hàm số f[|x|]

Thần chú: Phải giữ nguyên, lấy đối xứng sang trái.

Nghĩa là: Toàn bộ đồ thị nằm phía bên phải Oy của f[x] được giữ nguyên, phần bên trái Oy của f[x] bỏ đi.

Lấy đối xứng phần bên phải sang trái.

1. Từ đồ thị hàm số f[x] suy ra đồ thị hàm số |x – a|g[x] với [x – a]g[x] = f[x]

Thần chú: Phải a giữ nguyên, trái a lấy đối xứng qua Ox.

Nghĩa là: Toàn bộ đồ thị ứng với x > a của f[x] [Nằm phía bên phải đường thẳng x = a ] được giữ nguyên.

Toàn bộ đồ thị ứng với x < a của f[x] [Nằm phía bên trái đường thẳng x = a ] lấy đối xứng qua Ox.

1. Đồ thị hàm số f&

   039;[x]

2. Số giao điểm với trục hoành => số lần đổi dấu của f&

   039;[x] => số điểm cực trị

Nằm trên hay dưới trục hoành => f'[x] > 0 hoặc f'[x] < 0 trên 1 miền => Tính đơn điệu của hàm số.

Tài liệu gồm 57 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Bá Bảo [trường THPT Đặng Huy Trứ & Admin CLB Giáo Viên Trẻ TP Huế], bao gồm lý thuyết cần nắm, các dạng bài tập tự luận và trắc nghiệm chủ đề nhận dạng đồ thị hàm số thuộc chuyên đề khảo sát hàm số môn Toán 12.

1. Tóm tắt lý thuyết. 1 – Sơ đồ khảo sát hàm số. 2 – Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức. II. Kỹ năng nhận biết đồ thị và bảng biến thiên. III. Một số bài toán liên quan. IV. Đáp án và lời giải chi tiết.

• Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

Trong chương trình bậc THPT, tri thức toán có nhắc đến ba loại hàm số: hàm số bậc 3, hàm số bậc 4 trùng phương, hàm phân thức bậc nhất. Ở chủ đề này, ta sẽ cùng nhau khảo sát cả ba hàm số trên và các dạng đồ thị hàm số tương ứng của chúng. Kĩ năng khảo sát hàm số là một kĩ năng cần được rèn luyện thường xuyên vì đây chính là công cụ hỗ trợ giải các bài toán ở mức vận dụng, vận dụng cao.

1. Tổng hợp các dạng đồ thị hàm số

1.1. Khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số bậc 3

Hàm số bậc ba có dạng: y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0]

• Tập xác định: D = R

• Đạo hàm: y ' = f '[x] = 3ax2 + 2bx + c

• Điểm đối xứng

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là [0; d].

• Hoành độ điểm uốn [trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị].

y'' = 0 ⇔ x =

• Đồ thị

∗ Trường hợp 1: a > 0

Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt [Điều kiện: > 0]

• Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.

• Đồng biến trên các khoảng [-∞;xCĐ]; [xCT;+∞]

• Nghịch biến trên [xCĐ; xCT]

Phương trình y' = 0 có nghiệm kép [Điều kiện: = 0]

• Không có cực trị

• Luôn đồng biến trên R

Phương trình y' = 0 vô nghiệm [Điều kiện: < 0]

• Không có cực trị

• Luôn đồng biến trên

∗ Trường hợp 2: a < 0

Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt [Điều kiện: > 0]

• Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.

• Nghịch biến trên các khoảng [-∞;xCT]; [xCĐ;+∞]

• Đồng biến trên [xCT; xCĐ]

Phương trình y' = 0 có nghiệm kép [Điều kiện: = 0]

• Không có cực trị

• Luôn nghịch biến trên R

Phương trình y' = 0 vô nghiệm [Điều kiện: < 0]

• Không có cực trị

• Luôn nghịch biến trên R

1.2. Khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y = f[x] = ax4 + bx2 + c [a ≠ 0]

• Tập xác định: D = R

• Đạo hàm: y ' = f '[x] = 4ax3 + 2bx

• Trục đối xứng x = 0 [ trục tung]

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là [0; c]

• Đồ thị

∗ Trường hợp 1: a > 0

y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị a.b < 0

y' = 0 có duy nhất một nghiệm x = 0 ⇔ hàm số có một cực trị a.b ≥ 0

∗ Trường hợp 2: a < 0

y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị a.b < 0

y' = 0 có duy nhất một nghiệm x = 0 ⇔ hàm số có một cực trị a.b ≥ 0

1.3. Khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất

Hàm số phân thức bậc nhất có dạng: y = f[x] =

• Tập xác định: D =

• Đạo hàm: y ' = f '[x] =

• Tiệm cận đứng ; tiệm cận ngang

• Hàm số không có cực trị

• Điểm đối xứng

• Giao với trục Ox [nếu có] tại điểm A

• Giao với trục Oy tại điểm: B

∗ Trường hợp 1: ad - bc > 0

Luôn đồng biến trên các khoảng

∗ Trường hợp 2: ad - bc < 0

Luôn nghịch biến trên các khoảng

2. Cách nhận biết các dạng đồ thị hàm số

Hàm số bậc 3

Hàm số bậc ba có dạng: y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0]

- Nhánh cuối có hướng đi lên ⇒ a > 0, nhánh cuối có hướng đi xuống ⇒ a < 0

- Giao điểm với trục tung suy ra dấu của d.

- Các cực trị, hoành độ tâm đối xứng suy ra dấu của b và c

Hàm số bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y = f[x] = ax4 + bx2 + c [a ≠ 0]

- Nhánh cuối có hướng đi lên ⇒ a > 0, nhánh cuối có hướng đi xuống ⇒ a < 0

- Giao điểm với trục tung suy ra dấu của c.

- Các cực trị suy ra dấu của b.

3. Bài tập về các dạng đồ thị hàm số lớp 12 cơ bản - nâng cao

Bài 1: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:

- ⇒ a > 0 nên loại C.

- Hàm số có 3 điểm cực trị, ta có: a.b < 0 nên loại A, D.

→ Chọn câu B.

Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Dựa vào đồ thị, ta thấy đây là dạng đồ thị của hàm bậc ba với hệ số a < 0, nên loại phương án C, D.

Khi x = 0 thì y = 2 nên loại phương án A, chọn phương án B.

→ Chọn câu B.

Bài 3: Đồ thị hàm số y = x4 - 4x2 + 3 là hình nào trong số các hình vẽ dưới đây?

A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Tập xác định D = R.

y ' = 4x3 - 8x, y ' = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hình A.

→ Chọn câu A.

Bài 4: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

1. a + b + c = 2

1. a - b + c = 0

1. a + b + c = 0

1. abc = -2

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Ta có tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là ⇒ a = 2b và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là ⇒ c = -b .

Suy ra hàm số mà điểm A[0; 1] thuộc đồ thị hàm số nên nên a = 2; c = -1. Vậy a + b + c = 2.

→ Chọn câu C.

Bài 5: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d [a, b, c, d ∈ R] có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ?

1. 4

1. 2

1. 3

1. 1

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Từ đồ thị hàm số đã cho ta có:

a < 0

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d < 0.

Hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình y ' [x] = 3ax2 + 2bx + c các giá trị này đều dương nên ta có:

⇔

Như vậy trong bốn số a, b, c, d chỉ có một số dương là số b.

→ Chọn câu D.

Bài 6: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

1. x3 - 3x

1. -x3 + 3x

1. x3 + 3x

1. -x3 - 3x

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Ta thấy khoảng ngoài cùng bên tay phải của đồ thị đi lên ⇒ a > 0. Loại đáp án B,D.

Và đồ thị có 2 điểm cực trị nên loại đáp án C.

→ Chọn câu A.

Bài 7: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

.jpg]

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Với đồ thị hàm số phân thức dạng bậc nhất dựa vào hình dáng đồ thị, tiệm cận của đồ thị hàm và giao điểm với hai trục tọa độ.

∗ Cách giải

Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1 và tiệm cận đứng là x = 1 đồng thời đồ thị đi qua điểm [0;-1] nên chọn đáp án D.

→ Chọn câu D.

Như vậy chủ đề hôm nay bao gồm bài tập về các dạng về đồ thị hàm số, mục tiêu của bài học là học sinh biết cách phân biệt các dạng đồ thị hàm số, biết cách từ đồ thị hàm số suy ra dạng hàm số đó. Ngoài ra còn có một số các bài tập ở mức độ thông hiểu yêu cầu xét dấu các hệ số của hàm số. Các bài tập trên chỉ xoay quanh các dạng toán ở mức độ nhận biết và thông hiểu nhưng đây là nền tảng để chúng ta xây dựng lên các hàm số có độ phức tạp cao hơn nhằm giải quyết các dạng toán về hàm ẩn.