CASIO FX-580VN X HỖ TRỢ BÀI TOÁN BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC X
Bài toán 11 [trang 8 Sách giáo khoa Toán 8 học kỳ 1]: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
$[x-5][2x+3]-2x[x-3]+x+7$
Hướng dẫn:
Học trò sẽ gặp khó khăn trong quá trình hiểu yêu cầu bài toán. “Giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến” nghĩa là gì? Thì với máy tính khoa học có hỗ trợ phím bấm CALC, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thực hiện tính toán nhanh, cụ thể để giúp học sinh hiểu rõ hơn yêu cầu của đề bài.
Bước 1: Nhập biểu thức vào máy tính:
w1[[p5][2[+3]p2[[[p3]+[+7
Bước 2: CALC tại một vài giá trị x cụ thể:
CALC tại $x=1,2345$ thu được: r1.2345=
CALC tại $x=2,2345$ thu được: r2.23456=
Bước 3: Học sinh có thể thử thêm một vài giá trị khác.
Bước 4: Học sinh kết luận: Giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến có nghĩa là khi thay bất kỳ giá trị x nào vào biểu thức đó, ta luôn thu được một giá trị không đổi.
Bước 5: Giáo viên nhận xét và kết luận.
Xem thêm về phím CALC trên CASIO fx-580VN X tại đây
Bài Viết Tương Tự
Kiểm tra số nguyên tố trên máy tính CASIO 570VN PLUS
1] PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ HÓA BIẾN
- Bước 1 : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc của đề bài chọn giá trị thích hợp cho biến
- Bước 2 : Tính các giá trị liên quan đến biến rồi gắn vào A, B, C nếu các giá trị tính được lẻ
- Bước 3 : Quan sát 4 đáp án và chọn đáp án chính xác
2] VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa THPT Quốc gia 2017] Đặt $a = {\log _2}3,\,\,b = {\log _5}3.$Hãy biểu diễn ${\log _6}45$ theo a và b A. ${\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}$ B. ${\log _6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab}}$ C. ${\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}$
D. ${\log _6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab + b}}$
GIẢI
Tính giá trị của $a = {\log _2}3$. Vì giá trị của a ra một số lẻ vậy ta lưu a vào A
Bình luận
- Cách tự luận trong dạng bài này chủ yếu để kiểm tra công thức đổi cơ số : công thức 1 : ${\log _a}x = \frac{1}{{{{\log }_x}a}}$ [với $a \ne 1$] và công thức 2 : ${\log _a}x = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_a}x}}$ [với $b > 0;b \ne 1$]
- Cách Casio có vẻ nhiều thao tác nhưng dễ thực hiện và độ chính xác 100%. Nếu tự tin cao thì làm tự luận, nếu tự tin thấp thì nên làm Casio vì làm tự luận mà biến đổi sai 1 lần thôi rồi làm lại thì thời gian còn tốn hơn cả làm theo Casio
VD2-[THPT Yên Thế – Bắc Giang 2017] Cho ${9^x} + {9^{ – x}} = 23$. Khi đó biểu thức $P = \frac{{5 + {3^x} + {3^{ – x}}}}{{1 – {3^x} – {3^{ – x}}}}$ có giá trị bằng? A. 2 B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{1}{2}$
D. $ – \frac{5}{2}$
GIẢI
Từ phương trình điều kiện ${9^x} + {9^{ – x}} = 23$ ta có thể dò được nghiệm bằng chức năng SHIFT SOLVE
Bình luận
- Một bài toán hay thể hiện sức mạnh của Casio
- Nếu trong một phương trình có cụm ${a^x} + {a^{ – x}}$ thì ta đặt ẩn phụ là cụm này, khi đó ta có thể biểu diễn ${a^{2x}} + {a^{ – 2x}} = {t^2} – 2$ và ${a^{3x}} – {a^{ – 3x}} = {t^3} – 3t$
VD3-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Cho ${\log _9}x = {\log _{12}}y = {\log _{16}}\left[ {x + y} \right]$ Giá trị của tỉ số $\frac{x}{y}$ là ? A. $\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}$ B. $\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}$ C. 1
D. 2
GIẢI
Từ đẳng thức ${\log _9}x = {\log _{12}}y$$ \Rightarrow y = {12^{{{\log }_9}x}}$ . Thay vào hệ thức ${\log _9}x = {\log _{16}}\left[ {x + y} \right]$ ta được : ${\log _9}x – {\log _{16}}\left[ {x + {{12}^{{{\log }_9}x}}} \right] = 0$ Ta có thể dò được nghiệm phương trình ${\log _9}x – {\log _{16}}\left[ {x + {{12}^{{{\log }_9}x}}} \right] = 0$ bằng chức năng SHIFT SOLVE
Cách tham khảo : Tự luận
Đặt ${\log _9}x = {\log _{12}}y = {\log _{16}}\left[ {x + y} \right] = t$ vậy $x = {9^t};y = {12^t};x + y = {16^t}$
- Ta thiết lập phương trình $\frac{x}{y} = \frac{{{3^x}}}{{{4^x}}} = {\left[ {\frac{3}{4}} \right]^x}$ và $\frac{x}{y} + 1 = \frac{{x + y}}{y} = \frac{{{{16}^x}}}{{{{12}^x}}} = {\left[ {\frac{4}{3}} \right]^x}$
- Vậy $\frac{x}{y}\left[ {\frac{x}{y} + 1} \right] = 1 \Leftrightarrow {\left[ {\frac{x}{y}} \right]^2} + \frac{x}{y} – 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{y}$
Vì $\frac{x}{y} > 0$ nên $\frac{x}{y} = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}$
Bình luận • Một bài toán cực khó nếu tính theo tự luận
• Nhưng nếu xử lý bằng Casio thì cũng tương đối dễ dàng và độ chính xác là 100%
VD4-[THPT Nguyễn Trãi – HN 2017] Cho$K = {\left[ {{x^{\frac{1}{2}}} – {y^{\frac{1}{2}}}} \right]^2}{\left[ {1 – 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right]^{ – 1}}$ với x>0; y>0]. Biểu thức rút gọn của K là ? A. x B. 2x C. x+1
D. x-1
GIẢI
Ta hiểu nếu đáp án A đúng thì K=x hay hiệu ${\left[ {{x^{\frac{1}{2}}} – {y^{\frac{1}{2}}}} \right]^2}{\left[ {1 – 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right]^{ – 1}} – x$ bằng 0 với mọi giá trị x;y thỏa mãn điều kiện x>0; y>0 Nhập hiệu trên vào máy tính Casio
Cách tham khảo : Tự luận
Rút gọn ${\left[ {{x^{\frac{1}{2}}} – {y^{\frac{1}{2}}}} \right]^2} = {\left[ {\sqrt x – \sqrt y } \right]^2}$ Rút gọn ${\left[ {1 – 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right]^{ – 1}} = {\left[ {{{\left[ {\sqrt {\frac{y}{x}} – 1} \right]}^2}} \right]^{ – 1}} = {\left[ {\frac{{\sqrt y – \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right]^{ – 2}} = {\left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt y – \sqrt x }}} \right]^2}$ Vậy $K = {\left[ {\sqrt x – \sqrt y } \right]^2}{\left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt y – \sqrt x }}} \right]^2} = x$ Bình luận• Chúng ta cần nhớ nếu 1 khẳng định [ 1 hệ thức đúng ] thì nó sẽ đúng với mọi giá trị x,y thỏa mãn điều kiện đề bài . Vậy ta chỉ cần chọn các giá trị X,Y>0 để thử và ưu tiên các giá trị này hơi lẻ, tránh số tránh [có khả năng xảy ra trường hợp đặc biệt]
VD5-[Thi thử Báo Toán Học Tuổi Trẻ 2017] Cho hàm số $f\left[ x \right] = {2^{{x^2} + 1}}$ Tính giá trị của biểu thức $T = {2^{ – {x^2} – 1}}.f’\left[ x \right] – 2x\ln 2 + 2$ A. -2 B. 2 C. 3
D. 1
GIẢI
Vì đề bài không nói rõ x thỏa mãn điều kiện ràng buộc gì nên ta có thể chọn một giá trị bất kì của x để tính giá trị biểu thức T . Ví dụ ta chọn x=2 Khi đó $T = {2^{ – 4 – 1}}f’\left[ 2 \right] – 4\ln 2 + 2$
• Chú ý công thức đạo hàm $\left[ {{a^u}} \right]’ = {a^u}.\ln a.u’$ học sinh rất hay nhầm
VD6-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ 2017] Rút gọn biểu thức $\frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}}.{a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left[ {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right]}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ [với a>0] được kết quả : A. ${a^4}$ B. a C. ${a^5}$
D. ${a^3}$
GIẢI
Ta phải hiểu nếu đáp A đúng thì hiệu $\frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}}.{a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left[ {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right]}^{\sqrt 2 + 2}}}} – {a^4}$ phải =0 với mọi giá trị của a Nhập hiệu trên vào máy tính Casio
Cách tham khảo : Tự luận
Ta rút gọn tử số ${a^{\sqrt 3 + 1}}.{a^{2 – \sqrt 3 }} = {a^{\sqrt 3 + 1 + \left[ {2 – \sqrt 3 } \right]}} = {a^3}$ Tiếp tục rút gọn mẫu số ${\left[ {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right]^{\sqrt 2 + 2}} = {a^{\left[ {\sqrt 2 – 2} \right]\left[ {\sqrt 2 + 2} \right]}} = {a^{2 – 4}} = {a^{ – 2}}$ Vậy phân thức trở thành $\frac{{{a^3}}}{{{a^{ – 2}}}} = {a^{3 – \left[ { – 2} \right]}} = {a^5}$ Bình luận• Nhắc lại một số công thức hàm số mũ cơ bản xuất hiện trong ví dụ : ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$, ${\left[ {{a^m}} \right]^n} = {a^{m.n}}$ , $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}$
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Cho ${\log _2}\left[ {{{\log }_8}x} \right] = {\log _8}\left[ {{{\log }_2}x} \right]$ thì ${\left[ {{{\log }_2}x} \right]^2}$ bằng ? A. 3 B. $3\sqrt 3 $ C. 27
D. $\frac{1}{3}$
Bài 2-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] Nếu ${\log _{12}}6 = a,{\log _{12}}7 = b$ thì : A. ${\log _2}7 = \frac{a}{{1 – b}}$ B. ${\log _2}7 = \frac{b}{{1 – a}}$ C. ${\log _2}7 = \frac{a}{{1 + b}}$
D. ${\log _2}7 = \frac{b}{{1 + a}}$
Bài 3-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ 2017] Rút gọn biểu thức $\frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}}.{a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left[ {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right]}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ [với a>0] được kết quả : A. ${a^4}$ B. a C. ${a^5}$
D. ${a^3}$
Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Biến đổi $\sqrt[3]{{{x^5}\sqrt[4]{x}}}\left[ {x > 0} \right]$ thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta được : A. ${x^{\frac{{20}}{{21}}}}$ B. ${x^{\frac{{21}}{{12}}}}$ C. ${x^{\frac{{20}}{5}}}$
D. ${x^{\frac{{12}}{5}}}$
Bài 5-[Thi thử Chuyên Sư Phạm lần 1 năm 2017] Tìm x biết ${\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b$ : A. $x = {a^3}{b^7}$ B. $x = {a^4}{b^7}$ C. $x = {a^4}{b^6}$
D. $x = {a^3}{b^6}$
Bài 6-[THPT Kim Liên – HN 2017] Cho hàm số $y = 2016.{e^{x.\ln \frac{1}{8}}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. $y’ + 2y\ln 2 = 0$ B. $y’ + 3y\ln 2 = 0$ C. $y’ – 8h\ln 2 = 0$
D. $y’ + 8y\ln 2 = 0$
Bài 7-[THPT Nguyễn Trãi – HN 2017] Cho $K = {\left[ {{x^{\frac{1}{2}}} – {y^{\frac{1}{2}}}} \right]^2}{\left[ {1 – 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right]^{ – 1}}$ với x>0, y>0. Biểu thức rút gọn của K là ? A. x B. 2x C. x+1
D. x-1
Bài 8-[THPT Phạm Hồng Thái – HN 2017] Cho $a,b > 0;{a^2} + {b^2} = 1598ab$ Mệnh đề đúng là ; A. $\log \frac{{a + b}}{{40}} = \frac{1}{2}\left[ {\log a + \log b} \right]$ B. $\log \frac{{a + b}}{{40}} = \log a + \log b$ C. $\log \frac{{a + b}}{{40}} = \frac{1}{4}\left[ {\log a + \log b} \right]$
D. $\log \frac{{a + b}}{{40}} = 2\left[ {\log a + \log b} \right]$
Bài 9-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Cho các số a>0, b>0, c>0 thỏa mãn ${4^a} = {6^b} = {9^c}$ . Tính giá trị biểu thức $T = \frac{b}{a} + \frac{b}{c}$ A. 1 B. $\frac{3}{2}$ C. 2
D. $\frac{5}{2}$
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Cho ${\log _2}\left[ {{{\log }_8}x} \right] = {\log _8}\left[ {{{\log }_2}x} \right]$ thì ${\left[ {{{\log }_2}x} \right]^2}$ bằng ? A. 3 B. $3\sqrt 3 $ C. 27
D. $\frac{1}{3}$
GIẢI
Phương trình điều kiện $ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {{{\log }_8}x} \right] – {\log _8}\left[ {{{\log }_2}x} \right] = 0$ . Dò nghiệm phương trình, lưu vào A
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Bài 2-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] Nếu ${\log _{12}}6 = a,{\log _{12}}7 = b$ thì :A. ${\log _2}7 = \frac{a}{{1 – b}}$ B. ${\log _2}7 = \frac{b}{{1 – a}}$ C. ${\log _2}7 = \frac{a}{{1 + b}}$
D. ${\log _2}7 = \frac{b}{{1 + a}}$
GIẢI
Tính ${\log _{11}}6$ rồi lưu vào A
Bài 3-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ 2017] Rút gọn biểu thức $\frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}}.{a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left[ {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right]}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ [với a>0] được kết quả : A. ${a^4}$ B. a C. ${a^5}$
D. ${a^3}$
GIẢI
Chọn a>0 ví dụ như a=1.25 chẳng hạn. Tính giá trị $\frac{{{{1.25}^{\sqrt 3 + 1}}{{.1.25}^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left[ {{{1.25}^{\sqrt 2 – 2}}} \right]}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ rồi lưu vào A
Ta thấy $\frac{{3125}}{{1024}} = {\left[ {1.25} \right]^5} = {a^5}$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Biến đổi $\sqrt[3]{{{x^5}\sqrt[4]{x}}}\left[ {x > 0} \right]$ thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta được : A. ${x^{\frac{{20}}{{21}}}}$ B. ${x^{\frac{{21}}{{12}}}}$ C. ${x^{\frac{{20}}{5}}}$
D. ${x^{\frac{{12}}{5}}}$
GIẢI
Chọn a>0 ví dụ như a=1.25 chẳng hạn. Tính giá trị $\sqrt[3]{{{{1.25}^5}\sqrt[4]{{1.25}}}}$ rồi lưu vào A
Ta thấy $A = {\left[ {1.25} \right]^{\frac{{21}}{{12}}}} = {a^{\frac{{21}}{{12}}}}$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
Bài 5-[Thi thử Chuyên Sư Phạm lần 1 năm 2017] Tìm x biết ${\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b$ : A. $x = {a^3}{b^7}$ B. $x = {a^4}{b^7}$ C. $x = {a^4}{b^6}$
D. $x = {a^3}{b^6}$
GIẢI
Theo điều kiện tồn tại của hàm logarit thì ta chọn a,b>0 . Ví dụ ta chọn a=1.25 và b=2.175 Khi đó ${\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b \Leftrightarrow x = {3^{4{{\log }_3}a + 7{{\log }_3}b}}$ .
Bài 6-[THPT Kim Liên – HN 2017] Cho hàm số $y = 2016.{e^{x.\ln \frac{1}{8}}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. $y’ + 2y\ln 2 = 0$ B. $y’ + 3y\ln 2 = 0$ C. $y’ – 8h\ln 2 = 0$
D. $y’ + 8y\ln 2 = 0$
GIẢI
Chọn x=1.25 tính $y = 2016.{e^{1.25\ln \frac{1}{8}}}$ rồi lưu vào A
Rõ ràng $B + 3\ln 2.A = 0$ → Đáp số chính xác là B
Bài 7-[THPT Nguyễn Trãi – HN 2017] Cho $K = {\left[ {{x^{\frac{1}{2}}} – {y^{\frac{1}{2}}}} \right]^2}{\left[ {1 – 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right]^{ – 1}}$ với x>0, y>0. Biểu thức rút gọn của K là ? A. x B. 2x C. x+1
D. x-1
GIẢI
Chọn x=1.125 và y=2.175 rồi tính giá trị biểu thức K
Rõ ràng $K = \frac{9}{8} = 1.125 = x$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Bài 8-[THPT Phạm Hồng Thái – HN 2017] Cho $a,b > 0;{a^2} + {b^2} = 1598ab$ Mệnh đề đúng là ; A. $\log \frac{{a + b}}{{40}} = \frac{1}{2}\left[ {\log a + \log b} \right]$ B. $\log \frac{{a + b}}{{40}} = \log a + \log b$ C. $\log \frac{{a + b}}{{40}} = \frac{1}{4}\left[ {\log a + \log b} \right]$
D. $\log \frac{{a + b}}{{40}} = 2\left[ {\log a + \log b} \right]$
GIẢI
Chọn a=2 $ \Rightarrow $ Hệ thức trở thành $4 + {b^2} = 3196b$ $ \Leftrightarrow {b^2} – 3196b + 4 = 0$ . Dò nghiệm và lưu vào B
Rõ ràng giá trị $\log a + \log b$ gấp 2 lần giá trị $\log \frac{{a + b}}{{40}}$ $ \Rightarrow $ Đáp số A là chính xác
Bài 9-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Cho các số a>0, b>0, c>0 thỏa mãn ${4^a} = {6^b} = {9^c}$ . Tính giá trị biểu thức $T = \frac{b}{a} + \frac{b}{c}$ A. 1 B. $\frac{3}{2}$ C. 2
D. $\frac{5}{2}$
GIẢI
Chọn a=2 Từ hệ thức ta có ${4^2} = {6^b} \Leftrightarrow {6^b} – {4^2} = 0$ . Dò nghiệm và lưu vào B