Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức các bạn được học trong chương trình Toán lớp 9. Nó là một bất đẳng thức quan trọng được sử dụng nhiều nhất trong giải toán về chứng minh bất đẳng thức. Vậy bất đẳng thức Cosi và những bài toán áp dụng là gì?
Bất đẳng thức Cosi lớp 9
Bất đẳng thức Cosi hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm.
BĐT được biểu diễn như sau: [x1 + x2 + x3 + ….+ xn]/n ≥ √x1.x2.x3….xn
Ngoài ra, BĐT Cosi được biểu diễn dưới dạng cụ thể sau: [a + b]/2 ≥ √a.b
Để chứng minh bất đẳng thức Cosi trên, ta có:
[a + b]/2 ≥ √a.b a + b ≥ 2√a.b a – 2√a.b + b ≥ 0 [√a – √b]2 ≥ 0 [1]
Với a và b là những số không âm thì biểu thức [1] luôn luôn đúng
Suy ra điều cần chứng minh.
Nhưng trong giải bài toán áp dụng BĐT Cosi, các bạn được phép áp dụng luôn BĐT mà không cần chứng minh.
Các dạng của bất đẳng thức cosi
Bất đẳng thức cosi là bất đẳng thức nổi tiếng trong toán học. Nó được chia là hai loại: dạng cụ thể và dạng tổng quát.
- Với Bất đẳng thức dạng cụ thể là dạng với trị số n cụ thể. Với n ở đây là những con số được xác định trong bất đẳng thức. Ví dụ như với 2 số thực không âm, ba số thực không âm hay bốn số thực không âm,….
- Với Bất đẳng thức dạng tổng quát thì n là số không được xác định. Trong đó, điều kiện của n phải đáp ứng là n không âm. Với dạng tổng quát này, chúng ta sẽ có bốn dạng tổng quát với x1, x2, x3, …xn không âm. Để nắm vững được các dạng tổng quát này, mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Một số hệ quả của bất đẳng thức cauchy
Hệ quả của bất đẳng thức cosi được áp dụng nhiều trong giải bài toán bất đẳng thức về tìm giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức hay một bất đẳng thức. Các bạn sẽ có hai hệ quả cần ghi nhớ. Đó là:
- Hệ quả 1: Khi tổng của hai số dương không đổi thì tích của hai số này lớn hơn khi hai số đó bằng nhau.
- Hệ quả 2: Khi tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này sẽ nhỏ nhất hai số đó bằng nhau.
Ngoài ra, các bạn còn một số kĩ thuật khi sử dụng bất đẳng thức cosi là
- Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
- Kỹ thuật tách nghịch đảo
- Kỹ thuật chọn điểm rơi
- Kỹ thuật đánh gí từ trung bình nhân [TBN] sang trung bình cộng [TBC]
Những bài toán áp dụng bất đẳng thức Cosi.
Trong bài toán về bất đẳng thức sẽ không chỉ rõ được những dạng thường áp dụng bất dẳng thức nào. Vì một bài toán có thể có nhiều cách làm và áp dụng các bất đẳng thức khác nhau. Trong khi, bất đẳng thức là bài toán rất khó, nó là bài toán phân loại học sinh.
Do đó, để biết cách áp dụng BĐT Cosi vào giải bài toán, các bạn cần luyện bài tập thật nhiều. Ở đây chúng tôi có tổng hợp 50 bài toán điển hình về áp dụng bất đẳng thức Cosi. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Có thể bạn quan tâm: Phương trình bậc nhất ba ẩn ax + by + cz = d
Sưu tầm: Thu Hoài
Bất đẳng thức Cosi là một trong những kiến thức toán học phổ biến, được sử dụng để giải nhiều dạng toán về phương trình và bất phương trình khác nhau cũng như tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Trong bài viết này, Team Marathon Education sẽ giúp các em hiểu rõ hơn những kiến thức về bất đẳng thức Cosi cho 2 số, cho 3 số, dạng tổng quát và hệ quả với một số bài tập vận dụng có đáp án.
>>> Xem thêm: Lý Thuyết Bất Đẳng Thức Đại Số Lớp 10
Bất đẳng thức Cosi là gì?
Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức cổ điển trong toán học, bắt nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân [AM – GM]. BĐT Cosi được chứng minh bởi nhà toán học người pháp Augustin – Louis Cauchy. Ngoài tên Cosi, nhiều người còn gọi là bất đẳng thức Cauchy hay bất đẳng thức AM – GM [viết tắt của của Arithmetic Mean và Geometric Mean].
>>> Xem thêm: Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết
Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Cosi
Bất đẳng thức Côsi có thể được biểu diễn bằng dạng tổng quát hoặc dưới nhiều dạng đặc biệt khác nhau.
Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát
- Với các số thực không âm x1, x2,…, xn ta có thể biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau:
\begin{aligned} &\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{x_!+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\ &\bull \textbf{Dạng 2}: x_1+x_2+...+x_n\ge n. \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\ &\bull \textbf{Dạng 3}:\left[\frac{x_!+x_2+...+x_n}{n} \right]^n\ge x_1.x_2...x_n \end{aligned}
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn
- Với các số thực dương x1, x2,…, xn ta có:
\begin{aligned} &\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}\\ &\bull \textbf{Dạng 2}: [x_1+x_2+...+x_n]\left[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\right] \ge n^2 \end{aligned}
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn
Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai - Lý Thuyết Toán 10
Dạng đặc biệt của bất đặng thức Cauchy
Một số dạng biểu diễn đặc biệt khác của bất đẳng thức Côsi:
Từ công thức tổng quát và các dạng đặc biệt, ta có 2 hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy mà các em cần ghi nhớ dưới đây. Các hệ quả này thường được áp dụng nhiều trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
- Hệ quả 1: Nếu tổng của 2 số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
- Hệ quả 2: Nếu tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Chứng minh bất đẳng thức Cosi
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm
Với 2 số thực không âm a và b, ta thấy khi a và b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn đúng. Lúc này, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn đúng với 2 số a, b dương.
Cách chứng minh như sau:
\begin{aligned} &\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\\ &\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}\\ &\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\\ &\Leftrightarrow [\sqrt{a}-\sqrt{b}]^2 \ge0\text{ [luôn đúng }\forall a,b\ge0] \end{aligned}
Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn đúng với 2 số thực không âm.
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực không âm
- Với a, b, c đều bằng 0, bất đẳng thức Cosi luôn đúng
- Với a, b, c dương, ta chứng minh BĐT Cosi như sau:
\begin{aligned} &\text{Đặt }x=\sqrt[3]a, \ y=\sqrt[3]b,\ z=\sqrt[3]c\\ &\Rightarrow x,y,z\ge0\Rightarrow x+y+z\ge0 \end{aligned}
Lúc này, ta quay về dạng chứng minh bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương
\begin{aligned} &[x+y]^3-3xy[x+y]+z^3-3xyz \ge0\\ &\Leftrightarrow [x+y+z][[x+y]^2-[x+y]z+z^2]-3xy[x+y+z]\ge 0\\ &\Leftrightarrow [x+y+z][x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz]-3xy[x+y+z]\ge 0\\ &\Leftrightarrow [x+y+z][x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz]\ge 0\\ &\Leftrightarrow 2[x+y+z][x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz]\ge 0\\ &\Leftrightarrow [x+y+z][2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz]\ge 0\\ &\Leftrightarrow [x+y+z][[x-y]^2+[y-z]^2+[x-z]^2]\ge 0\text{ [luôn đúng }\forall x,y,z\ge0]\\ \end{aligned}
Khi đó, dấu bằng xảy ra khi x = y = z hay a = b = c
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm
Theo chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, với n = 2 [2 số thực không âm] thì BĐT Cosi luôn đúng.
Do đó, để chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Cách chứng minh như sau:
x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}+n\sqrt[n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}\ge 2n\sqrt[2n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}
Theo tính chất quy nạp thì bất đẳng thức này đúng với n là một lũy thừa của 2.
Top 33+ Các Kí Hiệu Trong Toán Học Đầy Đủ Và Chi Tiết
Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta chứng minh được nó luôn đúng với n-1 số như sau:
\begin{aligned} &x_1+x_2+...x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\\ &x_n=\frac{s}{n-1} \text{ với }s=x_1+x_2+...+x_n\\ &\Rightarrow s \ge [n-1]\sqrt[n-1]{x_1x_2...x_{n-1}} \end{aligned}
BĐT Cosi với 2n số và [n – 1] số luôn đúng, từ đó ta có thể kết luận rằng BĐT Cosi với n số thực không âm luôn đúng.
Bài tập vận dụng
Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp
Cho 3 số dương a, b, c, hãy chứng minh:
\left[a+\frac1b\right]\left[b+\frac1c\right]\left[c+\frac1a\right]\ge 8
Hướng dẫn giải:
Áp dụng BĐT Cosi, ta có:
\begin{aligned} &a+\frac1b \ge 2\sqrt{\frac{a}{b}}\ ;\ b+\frac1c \ge 2\sqrt{\frac{b}{c}}\ ;\ c+\frac1a \ge 2\sqrt{\frac{c}{a}}\\ &\Leftrightarrow \left[a+\frac1b\right]\left[b+\frac1c\right]\left[c+\frac1a\right]\ge 8\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{a}}=8\text{ [điều phải chứng minh]} \end{aligned}
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Dạng 2: Biến đổi nhân chia, thêm, bớt một biểu thức
Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:
\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
\begin{aligned} &\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\ [1]\\ &\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\ [2]\\ &\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2a\ [3]\\ &[1]+[2]+[3] \Leftrightarrow2\left[\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right]\ge 2[a+b+c]\\ &\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\text{ [điều phải chứng minh]} \end{aligned}
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education
Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.
Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.
Tích Phân Từng Phần Là Gì? Công Thức Và Cách Giải Các Dạng Bài Tập
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Các khóa học online tại Marathon Education
Qua bài viết trên đây, Team Marathon Education đã chia sẻ đến các em toàn bộ nội dung liên quan đến bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao gồm định nghĩa, hệ quả, cách chứng minh cùng với những dạng bài tập thường gặp có đáp án chi tiết. Hy vọng với những kiến thức này, các em có thể giải tốt các bài tập liên quan đến bất đẳng thức Côsi trong các bài kiểm tra toán sắp tới. Chúc các em học tập thật hiệu quả!