Cách tìm trực tâm tam giác trong Oxyz nhanh

Ở bộ môn toán trung học cơ sở, chắc hẳn các bạn đã học qua khái niệm trực tâm của tam giác. Vậy tọa độ trực tâm là gì trong hình học không gian và có ứng dụng thế nào trong bản vẽ thiết kế. Hãy cùng BVU tìm hiểu khái niệm và một số bài tập ví dụ về trực tâm tam giác qua bài viết dưới đây nhé.

Tọa độ trực tâm là gì? Xác định tọa độ trực tâm như thế nào?

Trực tâm của tam giác theo chương trình toán THCS được hiểu như sau: “Trong một tam giác có ba đường cao. Ba đường này cùng giao nhau tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác”.

Giả sử cho tam giác ABC có 3 đường cao tương ứng: AI, BK, CE. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao trên thì H chính là trực tâm của tam giác ABC.Tuy nhiên, để xác định trực tâm trong tam giác, bạn không cần thiết phải vẽ đủ 3 đường cao. Thay vào đó, bạn xác định trực tâm bằng cách kẻ hai đường cao trong tam giác là được

Tìm tọa độ trực tâm thế nào?

Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác đó. Tuy nhiên để tìm tọa độ trực tâm trong tam giác, bạn không nhất thiết phải vẽ ba đường cao, giao điểm của hai đường cao cũng được xác định là trực tâm tam giác.

Giao điểm của hai đường cao cũng được xác định là trực tâm tam giác

Từ hai đỉnh khác nhau của tam giác, vẽ hai đường cao tương ứng tới hai cạnh đối diện. Trực tâm của tam giác chính là điểm giao nhau của hai đường cao đó. Đồng thời, đường cao thứ 3 chắc chắn sẽ đi qua điểm trực tâm của tam giác.

Tuy nhiên đối với tam giác vuông thì việc xác định trực tâm không giống như tam giác thường. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đồng thời là hai đường cao của tam giác. Chính vì vậy trực tâm của tam giác vuông trùng chính là giao điểm của 2 cạnh vuông.

• Tam giác nhọn : Trực tâm của tam giác nhọn nằm ở miền trong tam giác đó.
• Tam giác vuông : Trực tâm của tam giác vuông chính là đỉnh góc vuông.
• Tam giác tù : Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Những tính chất của trực tâm của tam giác

Để giải được các dạng bài tập về tọa độ trực tâm là gì, bạn cần phải nắm rõ khái niệm cũng như các tính chất của trực tâm tam giác. Hãy đọc kỹ những tính chất dưới đây để có thể linh hoạt vận dụng trong toán hình không gian.

• Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực tương ứng cạnh đáy sẽ đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, và đường cao của tam giác đó.
• Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.
• Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.
• Tính chất 4: Trong tam giác nhọn ABC, điểm trực tâm sẽ trùng với tâm của đường tròn nội tiếp có 3 đỉnh là chân của 3 đường cao đến các cạnh đối diện tương ứng
• Tính chất 5: Nếu đường cao của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tại hai điểm phân biệt, thì điểm thứ hai sẽ đối xứng với trực tâm qua cạnh tương ứng.
• Từ những tính chất trên, ta rút ra hệ quả: Trong tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, điểm điểm nằm trong tam giác, điểm cách đều ba đỉnh, cách đều ba cạnh là 4 điểm trùng nhau và cùng là một điểm.

Một số bài tập áp dụng

Trực tâm của tam giác xuất hiện nhiều trong hình học không gian dưới dạng câu hỏi “tọa độ trực tâm là gì?”. Dưới đây là một số dạng bài tập để bạn học tham khảo.

Một số dạng bài tập tìm trực tâm tam giác

• Bài 1: Cho tọa độ A B C của 1 tam giác. biết trước các x y của mỗi điểm. Tìm trực tâm G. Cho tam giác ABC có tọa độ tương ứng A[-2;6], B[-2;9], C[-4,7]. Trong không gian oxyz thì toạ độ trực tâm là gì?
• Bài 2: Tìm tọa độ trực tâm H biết tam giác ABC tọa độ có A[-1; 1], B[3; 1], C[2; 4]. Hãy tìm trực tâm H của tam giác trong không gian oxyz.
• Bài 3: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A[5 ;4] B[2 ;7] và C[–2 ;–1] Tìm trọng tâm G tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và xác định tọa độ trực tâm là gì.
• Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A[–1;–3] B[2;5]  và C[4;0]. Bạn hãy xác định trực tâm H của tam giác này.
• Bài 5: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của tam giác này. Tìm các đường cao của tam giác mới HBC. Từ đó hãy chỉ ta tọa độ trực tâm là gì.
• Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng trung điểm ba cạnh, chân ba đường cao và trung điểm các đoạn HA, HB, HC cùng nằm trên một đường tròn.
• Bài 7: Cho đường tròn [O, R] , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là gì?

Hy vọng với những kiến thức được tập hợp ở trên, bạn đã hiểu được khái niệm tọa độ trực tâm là gì, các tính chất cũng như các dạng bài tập liên quan.

Trong đời sống ngày nay, hình học không gian được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Bao gồm: Đồ họa máy tính, đo đạc địa chính, khảo sát địa hình… Nếu bạn thực sự quan tâm và muốn tìm hiểu những vấn đề này, hãy liên lạc ngay với BVU để được tư vấn tận tình.

Nếu bài viết hữu ích, bạn hay chia sẻ nhé.

Bài viết được tài trở bởi: Công ty TNHH Hợp Nhất Bách Việt

Chuyên đo đạc địa chính, dịch vụ trắc địa.

• Website: //dovenhanh.com/
• Trụ sở chính: 369 Lò Lu, Phường Trường Thạnh,TP. Thủ Đức, Hồ Chí Minh.
• Hotline: 028 35356895 hoặc 0907621115
• Email:

Xem thêm:

Hệ tọa độ và hệ quy chiếu bản đồ ở Việt Nam

Các hệ tọa độ trong trắc địa?

Những điều cần biết về hệ tọa độ WGS84 là gì

Hệ tọa độ Descartes là gì?

Trong mp Oxyz cho tam giác abc có A[2;3;1] B[2;1;-2] C[3;3;-1] Tìm H là trực tâm tam giác ABC? ***chú ý chỉ dùng hê tọa đô, kô dùng pt mặt phẳng

Giải Cách tổng quát cho 1 tam giác bất kì

[laTEX]H [ x,y,z] \\ \\ \begin{cases} \vec{AH}. \vec{BC} = 0 \\ \vec{BH}.\vec{AC} = 0 \\ [\vec{AB},\vec{AC}]. \vec{AH} = 0 \end{cases}[/laTEX]

Lời giải của GV Vungoi.vn

\[H\]  là trực tâm của $\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right.$

Ta giả sử $H\left[ {x,y,z} \right]$, ta có

\[\overrightarrow {BC}  = [0, - 3, - 4]\]

\[\overrightarrow {AC}  = [ - 2,0, - 4]\]

\[\overrightarrow {AH}  = [x - 2,y,z]\]

\[\overrightarrow {BH}  = [x,y - 3,z]\]

\[\overrightarrow {AB}  = [ - 2,3,0]\].

Điều kiện \[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\]

Điều kiện \[\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\]

Ta tính \[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = [ - 12, - 8,6]\].

Điều kiện \[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH}  = 0 \Leftrightarrow  - 12[x - 2] - 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow  - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\]

Giải hệ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3y + 4z = 0}&{}\\{x + 2z = 0}&{}\\{ - 6x - 4y + 3z + 12 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{72}}{{61}}}&{}\\{y = \dfrac{{48}}{{61}}}&{}\\{z = \dfrac{{ - 36}}{{61}}}&{}\end{array}} \right.\]

Suy ra \[H[\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}}]\]

Suy ra \[\overrightarrow {OH}  = [\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}}]\]  là vecto chỉ phương của $OH$.

Chọn \[\vec u = [6,4, - 3]\]  là vecto chỉ phương của $OH$ và $OH$ qua $O\left[ {0,0,0} \right]$ nên phương trình tham số là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6t}&{}\\{y = 4t}&{}\\{z =  - 3t}&{}\end{array}} \right.\]

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 1:

CÁCH XÁC ĐỊNH NHANH TOẠ ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Bài viết này Vted trình bày cho các em một công thức xác định nhanh toạ độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác trong bài toán Hình giải tích không gian Oxyz.

Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây:

\[BC.\overrightarrow {IA} + CA.\overrightarrow {IB} + AB.\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \]

Chuyển qua toạ độ trong không gian Oxyz, ta có thể xác định được nhanh toạ độ điểm I như sau:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với toạ độ các đỉnh $A[1;1;1],B[4;1;1],C[1;1;5].$ Tìm toạ độ điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$

A. $I[-2;-1;-2].$

B. $I[2;-1;2].$

C. $I[2;1;2].$

D. $I[1;2;2].$ .

Lời giải. Ta có $BC=5, CA=4, AB=3$.Do đó

Vậy $\boxed{I[2;1;2]{\text{ [C]}}}.$

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A[2;2;1],B\left[ -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right].$ Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AOB$ và vuông góc với mặt phẳng $[AOB]$ có phương trình là

A. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{2}.$

C. $\frac{x+\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{5}{3}}{-2}=\frac{z-\frac{11}{6}}{2}.$

B. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-8}{-2}=\frac{z-4}{2}.$

D. $\frac{x+\frac{2}{9}}{1}=\frac{y-\frac{2}{9}}{-2}=\frac{z+\frac{5}{9}}{2}.$ .

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 2

XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Ta đã biết công thức từ chương trình hệ thức lượng Hình học Toán 10 như sau:

Ta biết được rằng \[R=\frac{abc}{4S},\]

trong đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $S$ là diện tích tam giác.

Áp dụng trong hình toạ độ không gian $Oxyz,$ ta được

\[R=\frac{AB.BC.CA}{2\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|}.\]

trong đó tất cả các phép toán có trong công thức trên hoàn toàn bấm trực tiếp bằng máy tính.

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A[2;0;-1],B[1;-2;3],C[0;1;2].$ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

A. $\frac{7\sqrt{11}}{10}.$

B. $\frac{7\sqrt{11}}{5}.$

C. $\frac{11\sqrt{7}}{10}.$

D. $\frac{11\sqrt{7}}{5}.$

Giải.

Ta có $AB=\sqrt{21},BC=\sqrt{11},CA=\sqrt{14},{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=5\sqrt{\frac{3}{2}}.$

Vì vậy \[R=\frac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}=\frac{\sqrt{21}.\sqrt{11}.\sqrt{14}}{4.5\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{7\sqrt{11}}{10}.\]

Chọn đáp án A.

*Chú ý. Thao tác tất cả bằng máy tính, kết quả $R\approx 2,3216375$ lẻ sau đó Bình phương kết quả ta được ${{R}^{2}}=\frac{539}{100}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{11}}{10}.$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 3

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN CÁC TRỤC TOẠ ĐỘ, MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

• Xét điểm $M[{{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}]$ khi đó toạ độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên các trục toạ độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là $A[{{x}_{0}};0;0],B[0;{{y}_{0}};0],C[0;0;{{z}_{0}}].$

• Xét điểm $M[{{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}]$ khi đó toạ độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên các mặt phẳng toạ độ $[Oxy],[Oyz],[Ozx]$ lần lượt là $A[{{x}_{0}};{{y}_{0}};0],B[0;{{y}_{0}};{{z}_{0}}],C[{{x}_{0}};0;{{z}_{0}}].$

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M[3;2;6]$ trên các trục toạ độ $Ox,Oy,Oz.$

Giải. Ta có $A[3;0;0],B[0;2;0],C[0;0;6]\Rightarrow [ABC]:\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1.$

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M[1;2;3]$ trên các mặt phẳng toạ độ $[Oxy],[Oyz],[Ozx].$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 4

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

• Xét điểm $M[{{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}]$ và mặt phẳng $[P]:ax+by+cz+d=0.$

Điểm $N[x;y;z]$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $[P]$ có toạ độ là nghiệm của hệ

*Chú ý. Trong hệ phương trình trên hoặc a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 thì tương ứng x =x0 hoặc y =y0 hoặc z =z0.

• Toạ độ điểm $N[x;y;z]$ là hình chiếu vuông góc của điểm

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $[P]:2x-3y+5z-4=0$ và kí hiệu $[Q]$ là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng $[P]$ qua mặt phẳng $[Oxz].$ Hỏi phương trình của mặt phẳng $[Q]$ là ?

A. $[Q]:2x+3y+5z-4=0.$

C. $[Q]:2x+3y+5z+4=0.$

B. $[Q]:2x-3y+5z+4=0.$

D. $[Q]:2x-3y+5z-4=0.$

Giải. Xét điểm $M[{{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}]\in [P],N[x;y;z]$ là điểm đối xứng của $M$ qua $[Oxz],$ ta có

Thay vào phương trình của $[P],$ ta được: $2x-3[-y]+5z-4=0\Rightarrow [Q]:2x+3y+5z-4=0.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $[P]:x+2y+3z+4=0.$ Biết $M,N$ là hai điểm đối xứng với nhau qua mặt phẳng $[P]$ và $M$ thuộc mặt cầu $[T]:{{x}^{2}}+{{[y+4]}^{2}}+{{z}^{2}}=5.$ Hỏi điểm $N$ thuộc mặt cầu nào dưới đây ?

A. $[S]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

B. $[S]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

C. $[S]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

D. $[S]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 5

 MẶT PHẲNG PHÂN GIÁC CỦA HAI MẶT PHẲNG GIAO NHAU

Xét hai mặt phẳng $[\alpha ]:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0,[\beta ]:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0.$

Khi đó phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi $[\alpha ],[\beta ]$ là

\[\frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}=\pm \frac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}.\]

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 6

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG VÀ NGOÀI CỦA TAM GIÁC

Xét tam giác $ABC,$ khi đó đường phân giác trong góc $A$ có véctơ chỉ phương là

\[\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.\]

Ngược lại, đường phân giác ngoài góc $A$ có véctơ chỉ phương là

\[\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.\]

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với $A[1;-2;1],B[-2;2;1],C[1;-2;2].$ Hỏi đường phân giác trong của góc $A$ của tam giác $ABC$ cắt mặt phẳng $[Oyz]$ tại điểm nào sau đây ?

A. $\left[ 0;-\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right].$

B. $\left[ 0;-\frac{2}{3};\frac{4}{3} \right].$

C. $\left[ 0;-\frac{2}{3};\frac{8}{3} \right].$

D. $\left[ 0;\frac{2}{3};-\frac{8}{3} \right].$

Giải.

Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc $A$ là x

Chọn đáp án C.

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 7

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

Hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt nhau tại điểm $A[{{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}]$ và có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}[{{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}}],\overrightarrow{{{u}_{2}}}[{{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}}].$

Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có véctơ chỉ phương được xác định theo công thức

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}\pm \frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}\left[ {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right]\pm \frac{1}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\left[ {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right].$

Chi tiết có hai phân giác:

Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng.

Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng.
>>Lời giải chi tiết: Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $A[1;1;-1].$

Có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}[1;-2;2],\overrightarrow{{{u}_{2}}}[3;-4;0]\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=3+8=9>0.$

Nên véctơ chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng là

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{3}\left[ 1;-2;2 \right]+\frac{1}{5}\left[ 3;-4;0 \right]=\left[ \frac{14}{15};-\frac{22}{15};\frac{2}{3} \right]//[7;-11;5].$

Vậy đường thẳng cần tìm là $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.$

Chọn đáp án A.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng d:

Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A[1;1;1]$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}[-2;1;2].$ Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi $d$ và $\Delta $ có phương trình là
Lời giải chi tiết. Có $A[1;1;1]=d\cap \Delta .$ Đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}[3;4;0].$ Đường thẳng $\Delta $ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}[-2;1;2].$ Có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=-6+4=-2{{90}^{0}}.$

Do đó phân giác của góc nhọn $d$ và $\Delta $ sẽ đi qua $A$ và có véctơ chỉ phương \[\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{5}\left[ 3;4;0 \right]-\frac{1}{3}\left[ -2;1;2 \right]=\left[ \frac{19}{15};\frac{7}{15};-\frac{2}{3} \right]//[19;7;-10].\]

Đối chiếu các đáp án chọn D.

Bài viết gợi ý: