Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
a. 2x2 – 5x + 1 = 0 b. 4x2 + 4x + 1 = 0
c. 5x2 – x + 2 = 0 d. -3x2 + 2x + 8 = 0
Lời giải:
a. Phương trình 2x2 – 5x + 1 = 0 có a = 2, b = -5, c = 1
Ta có: Δ = b2 – 4ac = [-5]2 – 4.2.1 = 25 – 8 = 17 > 0
√Δ = √17
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
b. Phương trình 4x2 + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, c = 1
Ta có: Δ = b2 – 4ac = 42 – 4.4.1 = 16 – 16 = 0
Phương trình có nghiệm kép :
c. Phương trình 5x2 – x + 2 = 0 có a = 5, b = -1, c = 1
Ta có: Δ = b2 – 4ac = [-1]2 – 4.5.2 = 1 – 40 = -39 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
d. Phương trình -3x2 + 2x + 8 = 0 có a = -3, b = 2, c = 8
Ta có: Δ = b2 – 4ac = 22 – 4.[-3].8 = 4 + 96 = 100 > 0
√Δ = √100 = 10
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
Lời giải:
a. Phương trình 2x2 – 2√2 x + 1 = 0 có a = 2, b = -2√2 , c = 1
Ta có: Δ = b2 – 4ac = [-2√2 ]2 – 4.2.1 = 8 – 8 = 0
Phương trình có nghiệm kép :
b. Phương trình 2x2 – [1 – 2√2 ]x – 2 = 0 có a = 2, b = -[1 – 2√2 ], c = -2
Ta có: Δ = b2 – 4ac = [-[1 – 2√2 ]]2 – 4.2.[-2 ]
= 1 – 4√2 + 8 + 8√2 = 1 + 4√2 + 8
= 1 + 2.2√2 + [2√2 ]2 = [1 + 2√2 ]2 > 0
Δ = [1 + 2√2 ]2 = 1 + 2√2
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
d. Phương trình 3x2 + 7,9x + 3,36 = 0 có a = 3, b = 7,9, c = 3,36
Ta có: Δ = b2 – 4ac = 7,92 – 4.3.3,36 = 62,41 – 40,32 = 22,09 > 0
√Δ = √22,09 = 4,7
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
Cho phương trình 2x2 + x – 3 = 0.
a. Vẽ các đồ thị của hai hàm số y = 2x2, y = -x + 3 trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b. Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.
c. Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b.
Lời giải:
a. *Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2
| x | -2 | -1 | 0 | 2 | 2 |
| y = 2x2 8 | 2 | 0 | 1 | 8 |
*Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 3
Cho x = 0 thì y = 3 ⇒ [0; 3]
Cho y = 0 thì x = 3 ⇒ [3; 0]
b. Ta có: I[-1,5; 4,5], J[1; 2]
*x = -1,5 là nghiệm của phương trình 2x2 + x – 3 = 0 vì:
2[-1,5]2 + [-1,5] – 3 = 4,5 – 4,5 = 0
*x = 1 là nghiệm của phương trình 2x2 + x – 3 = 0 vì:
2.12 + 1 – 3 = 3 – 3 = 0
c. Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 12 – 4.2.[-3] = 1 + 24 = 25 > 0
√∆ = √25 = 5
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
a. Vẽ các đồ thị của hai hàm sô
b. Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu a.
Lời giải:
a. *Vẽ đồ thị hàm số
| x | -2 | -1 | 0 | 2 | 2 |
| 2 | 1/2 | 0 | 1/2 | 2 |
*Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1
Cho x = 0 thì y = -1 ⇒ [0; -1]
Cho y = 0 thì x = 1/2 ⇒ [1/2 ; 0]
a. mx2– 2[m – 1]x + 2 = 0 b. 3x2 + [m + 1]x + 4 = 0
Lời giải:
a. Phương trình mx2 – 2[m – 1]x + 2 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi m ≠ 0 và Δ = 0
Ta có: Δ = [-2[m – 1]]2 – 4.m.2 = 4[m2 – 2m + 1] – 8m
= 4[m2 – 4m + 1]
Δ = 0 ⇔ 4[m2 – 4m + 1] = 0 ⇔ m2 – 4m + 1 = 0
Giải phương trình m2 – 4m + 1. Ta có:
Δm = [-4]2 – 4.1.1 = 16 – 4 = 12 > 0
Vậy với m = 2 + √3 hoặc m = 2 – √3 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
b. Phương trình 3x2 + [m + 1]x + 4 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi Δ = 0
Ta có : Δ = [m + 1]2 – 4.3.4 = m2 + 2m + 1 – 48 = m2 + 2m – 47
Δ = 0 ⇔ m2 + 2m – 47 = 0
Giải phương trình m2 + 2m – 47. Ta có:
Δm = 22 – 4.1.[-47] = 4 + 188 = 192 > 0
Vậy với m = 4√3 – 1 hoặc m = -1 – 4√3 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
a. mx2 – [2m – 1]x + m + 2 = 0
b. 2x2 – [4m + 3]x + 2m2 – 1 = 0
Lời giải:
a. mx2 – [2m – 1]x + m + 2 = 0 [1]
*Nếu m = 0, ta có [1] ⇔ -x + 2 = 0 ⇔ x = 2
*Nếu m ≠ 0 thì [1] có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0
Ta có : Δ = [2m – 1]2 – 4m[m + 2] = 4m2 – 4m + 1 – 4m2 – 8m
= -12m + 1
Δ ≥ 0 ⇔ -12m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/12
Vậy khi m ≤ 1/12 thì phương trình đã cho có nghiệm.
Giải phương trình [1] theo m :
b. 2x2 – [4m + 3]x + 2m2 – 1 = 0 [2]
Phương trình [2] có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0
Ta có: Δ = [-[4m + 3]]2 – 4.2[2m2 – 1]
= 16m2 + 24m + 9 – 16m2 + 8 = 24m + 17
Δ ≥ 0 ⇔ 24m + 17 ≥ 0 ⇔ m ≥ -17/24
Vậy khi m ≥ -17/24 thì phương trình đã cho có nghiệm.
Giải phương trình [2] theo m:
Áp dụng: Không tính Δ, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:
a. 3x2– x – 8 = 0
b. 2004x2 + 2x – 1185√5 = 0
c. 3√2 x2 + [√3 – √2 ]x + √2 – √3 = 0
d. 2010x2 + 5x – m2 = 0
Lời giải:
Khi a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0, suy ra -4ac > 0
Ta có: Δ = b2 – 4ac, trong đó b2 > 0
Nếu -4ac > 0 thì Δ luôn lớn hơn 0.
Khi Δ > 0 nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng :
a. Phương trình 3x2 – x – 8 = 0 có:
a = 3, c = -8 nên ac < 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b. Phương trình 2004x2 + 2x – 1185√5 = 0 có:
a = 2004, c = -1185√5 nên ac < 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
c. Phương trình 3√2 x2 + [√3 – √2 ]x + √2 – √3 = 0 có:
a = 3√2 , c = √2 – √3 nên ac < 0 [vì √2 < √3 ]
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
d. 2010x2 + 5x – m2 = 0 [1]
*Với m = 0 thì [1] ⇔ 2010x2 + 5x = 0: phương trình có 2 nghiệm.
*Với m ≠ 0 ta có: m2 > 0, suy ra: -m2 < 0
Vì a = 2010 > 0, c = -m2 < 0 nên ac > 0
Vậy phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt.
a]4x2 – 9 = 0
b]5x2 + 20 = 0
c]2x2 – 2 + √3 = 0
d]3x2 – 12 + √145 = 0
Lời giải:
b] 5x2 + 20 = 0 ⇔ 5x2 = – 20
Vế trái 5x2 ≥ 0; vế phải -20 < 0
Không có giá trị nào của x để 5x2 = – 20
Phương trình vô nghiệm.
Δ = 02 – 4.5.20 = – 400 < 0. Phương trình vô nghiệm.
a] 5x2 – 3x = 0
b] 3√5 x2 + 6x = 0
c] 2x2 + 7x = 0
d] 2x2 – √2 x = 0
Lời giải:
Lời giải:
Lời giải: