Trong trường hợp bạn không biết Sê-ri Fourier là gì, thì về cơ bản, nó là một cách xấp xỉ hoặc biểu diễn một hàm tuần hoàn bằng một loạt các hàm điều hòa đơn giản [sin và cos]
Bạn có thể xem wikipedia để biết thêm thông tin về nó. https. // vi. wikipedia. org/wiki/Fourier_series
Đối với dạng sóng
f[x] với chu kỳ 2L=2π/k, ta có k=2π/2L=π/L và nkx =nπx/L , Khi đó ta có
[email protected]] #For more useful toolboxes and tutorials on Python visit: //www.bragitoff.com/category/compu-geek/python/ def fourier[li, lf, n, f]: l = [lf-li]/2 # Constant term a0=1/l*integrate.quad[lambda x: f[x], li, lf][0] # Cosine coefficents A = np.zeros[[n]] # Sine coefficents B = np.zeros[[n]] for i in range[1,n+1]: A[i-1]=1/l*integrate.quad[lambda x: f[x]*np.cos[i*np.pi*x/l], li, lf][0] B[i-1]=1/l* integrate.quad[lambda x: f[x]*np.sin[i*np.pi*x/l], li, lf][0] return [a0/2.0, A, B]
Bây giờ, chúng ta hãy xem một số ví dụ thực tế. Chương trình sau đây có thể được sử dụng để tính gần đúng 4 hàm tuần hoàn phổ biến bằng cách sử dụng chuỗi Fourier. Chỉ cần sao chép và dán nó để tự chạy và chơi với nó
# Author: Manas Sharma
# Website: www.bragitoff.com
# Email: [email protected]
# License: MIT
import numpy as np
import scipy.integrate as integrate
# Non-periodic sawtooth function defined for a range [-l,l]
def sawtooth[x]:
return x
# Non-periodic square wave function defined for a range [-l,l]
def square[x]:
if x>0:
return np.pi
else:
return -np.pi
# Non-periodic triangle wave function defined for a range [-l,l]
def triangle[x]:
if x>0:
return x
else:
return -x
# Non-periodic cycloid wave function defined for a range [-l,l]
def cycloid[x]:
return np.sqrt[np.pi**2-x**2]
#Fourier Series Coefficients
#The following function returns the fourier coefficients,'a0/2', 'An' & 'Bn'
#
#User needs to provide the following arguments:
#
#l=periodicity of the function f which is to be approximated by Fourier Series
#n=no. of Fourier Coefficients you want to calculate
#f=function which is to be approximated by Fourier Series
#
#*Some necessary guidelines for defining f:
#*The program integrates the function f from -l to l so make sure you define the function f correctly in the interval -l to l.
#
#for more information on Fourier Series visit: //en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
#
#Written by: Manas Sharma[[email protected]]
#For more useful tutorials on Python visit: //www.bragitoff.com/category/compu-geek/python/
def fourier[li, lf, n, f]:
l = [lf-li]/2
# Constant term
a0=1/l*integrate.quad[lambda x: f[x], li, lf][0]
# Cosine coefficents
A = np.zeros[[n]]
# Sine coefficents
B = np.zeros[[n]]
for i in range[1,n+1]:
A[i-1]=1/l*integrate.quad[lambda x: f[x]*np.cos[i*np.pi*x/l], li, lf][0]
B[i-1]=1/l* integrate.quad[lambda x: f[x]*np.sin[i*np.pi*x/l], li, lf][0]
return [a0/2.0, A, B]
if __name__ == "__main__":
# Limits for the functions
li = -np.pi
lf = np.pi
# Number of harmonic terms
n = 3
# Fourier coeffficients for various functions
coeffs = fourier[li,lf,n,sawtooth]
print['Fourier coefficients for the Sawtooth wave\n']
print['a0 ='+str[coeffs[0]]]
print['an ='+str[coeffs[1]]]
print['bn ='+str[coeffs[2]]]
print['-----------------------\n\n']
coeffs = fourier[li,lf,n,square]
print['Fourier coefficients for the Square wave\n']
print['a0 ='+str[coeffs[0]]]
print['an ='+str[coeffs[1]]]
print['bn ='+str[coeffs[2]]]
print['-----------------------\n\n']
coeffs = fourier[li,lf,n,triangle]
print['Fourier coefficients for the Triangular wave\n']
print['a0 ='+str[coeffs[0]]]
print['an ='+str[coeffs[1]]]
print['bn ='+str[coeffs[2]]]
print['-----------------------\n\n']
coeffs = fourier[li,lf,n,cycloid]
print['Fourier coefficients for the Cycloid wave\n']
print['a0 ='+str[coeffs[0]]]
print['an ='+str[coeffs[1]]]
print['bn ='+str[coeffs[2]]]
print['-----------------------\n\n']
ĐẦU RA
>> python3 fourier.py Fourier coefficients for the Sawtooth wave a0 =0.0 an =[0. 0. 0.] bn =[ 2. -1. 0.66666667] ----------------------- Fourier coefficients for the Square wave a0 =0.0 an =[0. 0. 0.] bn =[4.00000000e+00 3.11674695e-16 1.33333333e+00] ----------------------- Fourier coefficients for the Triangular wave a0 =1.5707963267948966 an =[-1.27323954e+00 4.99600361e-16 -1.41471061e-01] bn =[0. 0. 0.] ----------------------- Fourier coefficients for the Cycloid wave a0 =2.4674011002723417 an =[ 0.89414547 -0.3336097 0.1850662 ] bn =[0. 0. 0.] -----------------------
Rõ ràng là hệ số của các số hạng sin bằng 0 nếu hàm chẵn [sóng tam giác, cycloid] và hệ số của các số hạng cosin bằng 0 nếu hàm lẻ [sóng vuông, sóng răng cưa]
Bây giờ, chúng ta hãy thử trực quan hóa những kết quả này với sự trợ giúp của một hoạt ảnh được tạo bằng mã Python sau
MÃ HOẠT HÌNH
# Author: Manas Sharma
# Website: www.bragitoff.com
# Email: [email protected]
# License: MIT
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pyplot import *
import scipy.integrate as integrate
fig = figure[figsize=[7, 7], dpi=120]
# Function that will convert any given function 'f' defined in a given range '[li,lf]' to a periodic function of period 'lf-li'
def periodicf[li,lf,f,x]:
if x>=li and xlf:
x_new=x-[lf-li]
return periodicf[li,lf,f,x_new]
elif x0:
return np.pi
else:
return -np.pi
# The periodic version of triangle function
def triangleP[li,lf,x]:
return periodicf[li,lf,triangle,x]
# Non-periodic triangle wave function defined for a range [-l,l]
def triangle[x]:
if x>0:
return x
else:
return -x
# The periodic version of cycloid function
def cycloidP[li,lf,x]:
return periodicf[li,lf,cycloid,x]
# Non-periodic cycloid wave function defined for a range [-l,l]
def cycloid[x]:
return np.sqrt[np.pi**2-x**2]
#Fourier Series Coefficients
#The following function returns the fourier coefficients,'a0/2', 'An' & 'Bn'
#
#User needs to provide the following arguments:
#
#li,lf = Range over which the original function f which is to be approximated by Fourier Series is defined. Period is assumed to be lf-li
#n=no. of Fourier Coefficients you want to calculate
#f=function which is to be approximated by Fourier Series
#
#*Some necessary guidelines for defining f:
#*The program integrates the function f from li to lf so make sure you define the function f correctly in the interval li to lf.
#
#for more information on Fourier Series visit: //en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
#
#Written by: Manas Sharma[[email protected]]
#For more useful toolboxes and tutorials on Python visit: //www.bragitoff.com/category/compu-geek/python/
def fourierCoeffs[li, lf, n, f]:
l = [lf-li]/2
# Constant term
a0=1/l*integrate.quad[lambda x: f[x], li, lf][0]
# Cosine coefficents
A = np.zeros[[n]]
# Sine coefficents
B = np.zeros[[n]]
for i in range[1,n+1]:
A[i-1]=1/l*integrate.quad[lambda x: f[x]*np.cos[i*np.pi*x/l], li, lf][0]
B[i-1]=1/l*integrate.quad[lambda x: f[x]*np.sin[i*np.pi*x/l], li, lf][0]
return [a0/2.0, A, B]
# This functions returns the value of the Fourier series for a given value of x given the already calculated Fourier coefficients
def fourierSeries[coeffs,x,l,n]:
value = coeffs[0]
for i in range[1,n+1]:
value = value + coeffs[1][i-1]*np.cos[i*np.pi*x/l] + coeffs[2][i-1]*np.sin[i*np.pi*x/l]
return value
if __name__ == "__main__":
# plt.style.use['dark_background']
plt.style.use['seaborn']
# Limits for the functions
li = -np.pi
lf = np.pi
l = [lf-li]/2.0
# Number of harmonic terms
n = 1
for n in range[1,10]:
plt.title['Fourier Series Approximation\nSawtooth Wave\n n = '+str[n]]
# plt.title['Fourier Series Approximation\nSquare Wave\n n = '+str[n]]
# plt.title['Fourier Series Approximation\nTriangular Wave\n n = '+str[n]]
# plt.title['Fourier Series Approximation\nCycloid\n n = '+str[n]]
# Fourier coeffficients for various functions
coeffsSawtooth = fourierCoeffs[li,lf,n,sawtooth]
coeffsTriangle = fourierCoeffs[li,lf,n,triangle]
coeffsSquare = fourierCoeffs[li,lf,n,square]
coeffsCycloid = fourierCoeffs[li,lf,n,cycloid]
# Step size for plotting
step_size = 0.05
# Limits for plotting
x_l = -np.pi*2
x_u = np.pi*2
# Sample values of x for plotting
x = np.arange[x_l,x_u,step_size]
y1 = [sawtoothP[li,lf,xi] for xi in x]
y1_fourier = [fourierSeries[coeffsSawtooth,xi,l,n] for xi in x]
y2 = [squareP[li,lf,xi] for xi in x]
y2_fourier = [fourierSeries[coeffsSquare,xi,l,n] for xi in x]
y3 = [triangleP[li,lf,xi] for xi in x]
y3_fourier = [fourierSeries[coeffsTriangle,xi,l,n] for xi in x]
y4 = [cycloidP[li,lf,xi] for xi in x]
y4_fourier = [fourierSeries[coeffsCycloid,xi,l,n] for xi in x]
x_plot =[]
# Sawtooth
y_plot1 = []
y_plot1_fourier = []
# Square
y_plot2 = []
y_plot2_fourier = []
# Triangle
y_plot3 = []
y_plot3_fourier = []
# Cycloid
y_plot4 = []
y_plot4_fourier = []
x_l_plot = x_l - 13
x_u_plot = x_l_plot + 14
plt.xlim[x_l_plot,x_u_plot]
plt.ylim[-6,7]
for i in range[x.size]:
x_plot.append[x[i]]
# Actual function values
y_plot1.append[y1[i]]
y_plot2.append[y2[i]]
y_plot3.append[y3[i]]
y_plot4.append[y4[i]]
# Values from fourier series
y_plot1_fourier.append[y1_fourier[i]]
y_plot2_fourier.append[y2_fourier[i]]
y_plot3_fourier.append[y3_fourier[i]]
y_plot4_fourier.append[y4_fourier[i]]
#Sawtooth
plt.plot[x_plot,y_plot1,c='darkkhaki',label='Sawtooth Wave']
plt.plot[x_plot,y_plot1_fourier,c='forestgreen',label='Fourier Approximation']
#Square
#plt.plot[x_plot,y_plot2,c='tomato',label='Square Wave']
#plt.plot[x_plot,y_plot2_fourier,c='maroon',label='Fourier Approximation']
#Triangular
#plt.plot[x_plot,y_plot3,c='orange',label = 'Triangular Wave']
#plt.plot[x_plot,y_plot3_fourier,c='darkgoldenrod',label='Fourier Approximation']
#Cycloid
# plt.plot[x_plot,y_plot4,c='slateblue',label='Cycloid']
# plt.plot[x_plot,y_plot4_fourier,c='teal',label='Fourier Approximation']
x_l_plot = x_l_plot + step_size
x_u_plot = x_u_plot + step_size
plt.xlim[x_l_plot,x_u_plot]
plt.pause[0.001]
if i==0:
plt.legend[]
plt.clf[]
plt.show[]
GHI CHÚ. Bạn sẽ phải bình luận và bỏ bình luận một số phần để hình dung các chức năng khác nhau
HÌNH DUNG
Đó là nó. Tôi hy vọng nó không quá khó hiểu. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào tôi sẽ vui lòng trả lời chúng
Manas Sharma
Nhà nghiên cứu tiến sĩ tại Đại học Friedrich-Schiller Jena, Đức. Tôi là một nhà vật lý chuyên về khoa học vật liệu tính toán. Tôi viết mã hiệu quả để mô phỏng các tương tác vật chất ánh sáng ở quy mô nguyên tử. Thỉnh thoảng tôi thích phát triển các ứng dụng và phần mềm liên quan đến Vật lý, DFT và Học máy. Có thể viết mã bằng hầu hết các ngôn ngữ phổ biến. Thích chia sẻ kiến thức của tôi về Vật lý và các ứng dụng bằng Blog này và kênh YouTube