Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
270 BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO LỚP 9 CÓ ĐÁP ÁN
PHẦN I: ĐỀ BÀI
1. Chứng minh 7 l{ số vô tỉ.
2. a] Chứng minh: [ac + bd]2 + [ad – bc]2 = [a2 + b2][c2 + d2]
b] Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: [ac + bd] 2 ≤ [a2 + b2][c2 + d2]
3. Cho x + y = 2. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x 2 + y2.
ab
4. a] Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:
ab .
2
bc ca ab
b] Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
abc
a
b
c
c] Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm gi| trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.
7. Cho a, b, c l{ c|c số dương. Chứng minh: a 3 + b3 + abc ≥ ab[a + b + c]
8. Tìm liên hệ giữa c|c số a v{ b biết rằng: a b a b
9. a] Chứng minh bất đẳng thức [a + 1]2 ≥ 4a
b] Cho a, b, c > 0 v{ abc = 1. Chứng minh: [a + 1][b + 1][c + 1] ≥ 8
10. Chứng minh c|c bất đẳng thức:
a] [a + b]2 ≤ 2[a2 + b2]
b] [a + b + c]2 ≤ 3[a2 + b2 + c2]
11. Tìm c|c gi| trị của x sao cho:
a] | 2x – 3 | = | 1 – x |
2 – 4x ≤ 5
b] x
c] 2x[2x – 1] ≤ 2x – 1.
12. Tìm c|c số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a[b + c + d]
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với gi| trị n{o của a v{ b thì M đạt
gi| trị nhỏ nhất ? Tìm gi| trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3[x + y] + 3. CMR gi| trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Chứng minh rằng không có gi| trị n{o của x, y, z thỏa m~n đẳng thức sau:
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
1
16. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: A 2
x 4x 9
17. So s|nh c|c số thực sau [không dùng m|y tính]:
a] 7 15 và 7
b] 17 5 1 và 45
23 2 19
và 27
d] 3 2 và 2 3
3
18. H~y viết một số hữu tỉ v{ một số vô tỉ lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn
c]
3
19. Giải phương trình: 3x 2 6x 7 5x 2 10x 21 5 2x x 2 .
20. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với c|c điều kiện x, y > 0 v{ 2x + xy = 4.
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 1
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
21. Cho S
1
1
1
1
. Hãy so sánh S và
....
...
1.1998
2.1997
k[1998 k 1]
1998 1
1998
.
1999
22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải l{ số chính phương thì
tỉ.
23. Cho c|c số x v{ y cùng dấu. Chứng minh rằng:
x y
a] 2
y x
x 2 y2 x y
b] 2 2 0
x y x
y
2.
a l{ số vô
x 4 y4 x 2 y2 x y
c] 4 4 2 2 2 .
x y
x y x
y
24. Chứng minh rằng c|c số sau l{ số vô tỉ:
a]
1 2
3
với m, n l{ c|c số hữu tỉ, n ≠ 0.
n
25. Có hai số vô tỉ dương n{o m{ tổng l{ số hữu tỉ không ?
x y
x 2 y2
26. Cho c|c số x v{ y kh|c 0. Chứng minh rằng: 2 2 4 3 .
y
x
y x
b] m
x 2 y2 z 2 x y z
.
y2 z 2 x 2 y z x
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ l{ một số vô tỉ.
29. Chứng minh c|c bất đẳng thức:
a] [a + b]2 ≤ 2[a2 + b2]
b] [a + b + c]2 ≤ 3[a2 + b2 + c2]
c] [a1 + a2 + ….. + an]2 ≤ n[a12 + a22 + ….. + an2].
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
31. Chứng minh rằng: x y x y .
27. Cho c|c số x, y, z dương. Chứng minh rằng:
32. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: A
1
.
x 6x 17
2
x y z
với x, y, z > 0.
y z x
34. Tìm gi| trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm gi| trị lớn nhất của: A = xyz[x + y][y + z][z + x] với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem c|c số a v{ b có thể l{ số vô tỉ không nếu:
a
a] ab và l{ số vô tỉ.
b
a
b] a + b và l{ số hữu tỉ [a + b ≠ 0]
b
2 và b2 l{ số hữu tỉ [a + b ≠ 0]
c] a + b, a
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab[a + b + c]
33. Tìm gi| trị nhỏ nhất của: A
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 2
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
a
b
c
d
2
bc cd da a b
39. Chứng minh rằng 2x bằng 2 x hoặc 2 x 1
40. Cho số nguyên dương a. Xét c|c số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n.
Chứng minh rằng trong c|c số đó, tồn tại hai số m{ hai chữ số đầu tiên l{ 96.
41. Tìm các gi| trị của x để c|c biểu thức sau có nghĩa:
1
1
1
2
A= x 2 3 B
C
D
E x 2x
x
x 2 4x 5
1 x2 3
x 2x 1
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:
G 3x 1 5x 3 x 2 x 1
42. a] Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi n{o ?
b] Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức sau: M x 2 4x 4 x 2 6x 9 .
c] Giải phương trình:
4x 2 20x 25 x 2 8x 16 x 2 18x 81
43. Giải phương trình: 2x 2 8x 3 x 2 4x 5 12 .
44. Tìm c|c gi| trị của x để c|c biểu thức sau có nghĩa:
1
1
A x2 x 2
B
C 2 1 9x 2
D
2
1 3x
x 5x 6
1
x
E
G 2
x2
H x 2 2x 3 3 1 x 2
x 4
2x 1 x
x 2 3x
45. Giải phương trình:
0
x 3
46. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x .
47. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: B 3 x x
3 1
48. So sánh: a] a 2 3 và b=
b] 5 13 4 3 và
2
c] n 2 n 1 và n+1 n [n l{ số nguyên dương]
49. Với gi| trị n{o của x, biểu thức sau đạt gi| trị nhỏ nhất:
3 1
A 1 1 6x 9x 2 [3x 1]2 .
50. Tính: a]
42 3
b]
11 6 2
d] A m2 8m 16 m2 8m 16
51. Rút gọn biểu thức: M
c]
27 10 2
e] B n 2 n 1 n 2 n 1 [n ≥ 1]
8 41
45 4 41 45 4 41
.
52. Tìm c|c số x, y, z thỏa m~n đẳng thức: [2x y]2 [y 2]2 [x y z] 2 0
53. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: P 25x 2 20x 4 25x 2 30x 9 .
54. Giải c|c phương trình sau:
a] x 2 x 2 x 2 0
d] x x 4 2x 2 1 1
b] x 2 1 1 x 2
e] x 2 4x 4 x 4 0
h] x 2 2x 1 x 2 6x 9 1
W: www.hoc247.net
c] x 2 x x 2 x 2 0
g] x 2 x 3 5
i] x 5 2 x x 2 25
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 3
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
k] x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
l] 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2
x 2 y2
55. Cho hai số thực x v{ y thỏa m~n c|c điều kiện: xy = 1 v{ x > y. CMR:
2 2.
xy
56. Rút gọn c|c biểu thức:
a] 13 30 2 9 4 2
b] m 2 m 1 m 2 m 1
c] 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3
57. Chứng minh rằng
2 3
58. Rút gọn c|c biểu thức:
a] C
62
d] 227 30 2 123 22 2
6
2
.
2
2
6 3 2 62
6 3 2
2
.
96 2 6
3
59. So sánh:
b] D
a]
6 20 và 1+ 6
b]
17 12 2 và 2 1
c]
28 16 3 và 3 2
60. Cho biểu thức: A x x 2 4x 4
a] Tìm tập x|c định của biểu thức A.
b] Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn c|c biểu thức sau:
a]
11 2 10
b]
9 2 14
c]
3 11 6 2 5 2 6
2 6 2 5 7 2 10
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức:
63. Giải bất phương trình:
1 1 1
1 1 1
2 2
2
a
b c
a b c
x 2 16x 60 x 6 .
64. Tìm x sao cho: x 2 3 3 x 2 .
65. Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng:
x2[x2 + 2y2 – 3] + [y2 – 2]2 = 1 [1]
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:
a] A
1
x 2x 1
W: www.hoc247.net
b] B
16 x 2
x 2 8x 8 .
2x 1
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 4
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
67. Cho biểu thức: A
x x 2 2x
x x 2 2x
.
x x 2x x x 2x
a] Tìm gi| trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b] Rút gọn biểu thức A. c] Tìm gi| trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập ph}n đầu tiên của số: 0,9999....9 [20 chữ số 9]
2
2
69. Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn nhất của: A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm gi| trị nhỏ nhất của A = x 4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số: n n 2 và 2 n+1 [n l{ số nguyên dương], số n{o lớn hơn ?
72. Cho biểu thức A 7 4 3 7 4 3 . Tính gi| trị của A theo hai c|ch.
73. Tính: [ 2 3 5][ 2 3 5][ 2 3 5][ 2 3 5]
74. Chứng minh c|c số sau l{ số vô tỉ:
3 5 ;
3 2 ; 2 2 3
75. H~y so s|nh hai số: a 3 3 3 và b=2 2 1 ;
76. So sánh
2 5 và
5 1
2
4 7 4 7 2 v{ số 0.
2 3 6 84
.
2 3 4
77. Rút gọn biểu thức: Q
78. Cho P 14 40 56 140 . H~y biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc
hai
79. Tính gi| trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng: x 1 y2 y 1 x 2 1 .
80. Tìm gi| trị nhỏ nhất v{ lớn nhất của: A 1 x 1 x .
81. Tìm gi| trị lớn nhất của: M
a b
2
với a, b > 0 v{ a + b ≤ 1.
82. CMR trong c|c số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd có ít
nhất hai số dương [a, b, c, d > 0].
83. Rút gọn biểu thức: N 4 6 8 3 4 2 18 .
84. Cho x y z xy yz zx , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: [1 + a1][1 + a2]…[1 + an] ≥ 2n.
86. Chứng minh:
a b
2
2 2[a b] ab [a, b ≥ 0].
87. Chứng minh rằng nếu c|c đoạn thẳng có độ d{i a, b, c lập được th{nh một tam gi|c
thì c|c đoạn thẳng có độ d{i a , b , c cũng lập được th{nh một tam gi|c.
88. Rút gọn:
ab b2
a
a] A
b
b
[x 2]2 8x
b] B
.
2
x
x
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có:
a2 2
a2 1
2 . Khi n{o có đẳng thức ?
90. Tính: A 3 5 3 5 bằng hai c|ch.
91. So sánh:
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 5