Cách xác định mặt phẳng trong không gian. Có $4$ cách xác định mặt phẳng trong không gian
|
Qua hai đường thẳng cắt nhau |
Qua ba điểm không thẳng hàng |
|
Qua hai đường thẳng song song |
Qua một đường thẳng và một điểm |
[nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán]
Đối tượng cơ bản của hình học không gian là: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
Điểm được ký hiệu A, B, C, …
Đường thẳng được ký hiệu a, b, c, d, …
Mặt phẳng được ký hiệu [P], [Q], [R], … hay \[[\alpha], [\beta], [\gamma]\]…
Quan hệ cơ bản của hình học không gian:
Thuộc: ký hiệu \[\in\]. Ví dụ: A \[\in\] A; M \[\in [\alpha]\].
Chứa trong, nằm trong: ký hiệu \[\subset\]. Ví dụ: a \[\subset\] [P], b \[\subset [\beta]\].
Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Qui tắc:
Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng.
Hai đường thẳng song song [hoặc cắt nhau] được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song [hoặc cắt nhau].
Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song và bằng nhau.
Dùng nét vẽ liền [__] để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn [- – -] để biểu diễn cho những đường bị khuất.
Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Định nghĩa: Đường thẳng chung của hai mặt phẳng được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
*Định lý:
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian cho đường thẳng a và mặt phẳng [P]. Có ba vị trí tương đối giữa a và [P].
- a song song với [P] \[\iff\] a và [P] không có điểm chung. Kí hiệu: a // [P] [hình 1].
- a cắt [P] \[\iff\] a và [P] có một điểm chung duy nhất, [hình 2].
- a chứa trong [P] \[\iff\] a và [P] có hai đểm chung phân biệt.
Kí hiệu: a \[\subset\] [P], khi đó thì mọi điểm thuộc a đều thuộc [P]. [hình 3].
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian, cho hai mặt phẳng [P] và [Q].
Có ba vị trí tương đối giữa [P] và [Q].
- [P] song song với [Q] \[\iff\] [P] và [Q] không có đường thẳng chung. Khi đó thì [P] và [Q] cũng không có điểm chung. Kí hiệu [P] // [Q]. [hình 4]
- [P], [Q] cắt nhau \[\iff\] [P] và [Q] có một đường thẳng chung duy nhất. Đường thẳng chung đó gọi là giao tuyến của [P] và [Q]. [hình 5].
- [P], [Q] trùng nhau \[\iff\] [P] và [Q] có hai đường thẳng chung [hình 6].
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian cho hai đường thẳng a, b. Có bốn vị trí tương đối giữa a và b.
- a // b \[\iff\] a và b cùng nằm trên một mặt phẳng và không có điểm chung.
- a cắt b \[\iff\] a và b có một điểm chung duy nhất.
- a = b \[\iff\] a và b có hai điểm chung phân biệt.
- a và b chéo nhau \[\iff\] a và b không cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào. Khi đó a và b cũng không có điểm chung.
Chú ý:
- Hai đường thẳng cùng chứa trong một mặt phẳng gọi là hai đường thẳng đồng phẳng
- Hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song là hai đường thẳng đồng phẳng
- Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng và chúng không có điểm chung
Định lí: Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một và ba giao tuyến của chúng không trùng nhau thì ba giao tuyến đó hoặc song song hoặc đồng quy.
Điều kiện xác định mặt phẳng
1. Ba điểm A,B,C không thẳng hàng xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp[ABC].
2. Một đường thẳng d và một điểm A \[\in\] d xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp[A,d].
3. Hai đường thẳng cắt nhau a,b xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp[a,b].
4. Hai đường thẳng song song xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp[a,b].
Hình chóp và hình tứ diện
Hình chóp
Cho đa giác A1A2…An,nằm trong mặt phẳng \[[\alpha]\] và điểm S \[\notin [\alpha]\]. Nối S với các đỉnh A1A2 ta được n tam giác SA1A2, SA2A3,…, SAnA1. Hình tạo bởi n tam giác đó và đa giác A1A2…An được gọi là hình chóp. Ký hiệu là S.A1A2…An.
Tứ diện
Hình tạo bởi bốn tam giác ABC, ACD, ADB và BCD được gọi là hình tứ diện.
Các điểm A, B, C, D gọi là đỉnh.
Các đoạn AB, AC, AD, BC, CD và DA gọi là cạnh của tứ diện.
Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện.
Các tam giác ABC, ACD, ADB, ABC gọi là các mặt của tứ diện.
Tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là tứ diện đều.
Câu trả lời đúng nhất: Mặt phẳnglà một mặt hai chiều phẳng kéo dài vô hạn.Một mặt phẳng làmô hình hai chiềutương tự như mộtđiểm[không chiều], mộtđường thẳng[một chiều] vàkhông gian ba chiều.Các mặt phẳngcó thể xuất hiện như là không gian con của một không gian cóchiều caohơn, như là những bức tường của một căn phòng dài ra vô hạn, hoặc chúng có thể có quyền tồn tại độc lập
Có 4 cách xác định một mặt phẳng:
- Qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất.
- Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất.
- Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó xác định một mặt phẳng duy nhất.
- Qua 2 đường thẳng song song xác định một mặt phẳng duy nhất.
Cùng Top lời giải tìm hiểu về mặt phẳng nhé!
1. Khái niệm mặt phẳng:
Mặt phẳnglà một mặt hai chiều phẳng kéo dài vô hạn.Một mặt phẳng làmô hình hai chiềutương tự như mộtđiểm[không chiều], mộtđường thẳng[một chiều] vàkhông gian ba chiều.Các mặt phẳngcó thể xuất hiện như là không gian con của một không gian cóchiều caohơn, như là những bức tường của một căn phòng dài ra vô hạn, hoặc chúng có thể có quyền tồn tại độc lập.
Tiên đề 1:Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng đã cho trước
Tiên đề 2:Có ít nhất bốn điểm trong không gian sẽ không nằm trên một mặt phẳng
Tiên đề 3:Nếu có một đường thẳng và một mặt phẳng có hai điểm chung thì đường thẳng này nằm trọn vẹn trong mặt phẳng trên.
Tiên đề 4:Nếu có hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa [tất cả các điểm chung này tạo thành đường thẳng gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng].
Tiên đề 5:Trên một mặt phẳng tùy ý trong không gian các định lý về hình học sơ cấp đều đúng.
Tiên đề 6:Mỗi đoạn thẳng trong một không gian đều có độ dài chính xác [ bảo toàn về độ dài, số đo góc và các tính chất liên quan đã biết trong hình học phẳng].
2. Có bao nhiêu cách xác định một mặt phẳng?
Có 4 cách xác định một mặt phẳng:
- Qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất.
- Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất.
- Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó xác định một mặt phẳng duy nhất.
- Qua 2 đường thẳng song song xác định một mặt phẳng duy nhất.
Lưu ý:Cách xác định 2 đường thẳng a và b chéo nhau [tức là a, b không đồng phẳng].
- Xác định mp[]: b ⊂ []
- Khi đó, ta có: a ∩ [] = A
- Nếu: A ∉ b thì a, b chéo nhau
Ví dụ:
– Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất. Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàngA,B,Cđược kí hiệu là mp[ABC]hay[ABC].
– Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó xác định một mặt phẳng duy nhất. Mặt phẳng đi quaAvà đường thẳngdkhông chứaAđược kí hiệu làmp[A;d]mp[A;d]
– Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất. Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt nhaua,bđược kí hiệu làmp[a;b]
>>> Xem thêm: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và bài tập tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
3. Bài tập
Bài tập 1:Cho điểm A không nằm trong mặt phẳng [α] chứa tam giác BCD. Lấy E và F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC.
a] Chứng minh rằng đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng [ABC].
b] Giả sử EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng [BCD] và [DEF].
Hướng dẫn giải:
a] Ta có: E ∈ AB mà AB ⊂ [ABC]
⇒ E ∈ [ABC]
⇒ F ∈ AC mà AC ⊂ [ABC]
⇒ F ∈ [ABC]
b] Đường thẳng EF có hai điểm E, F cùng thuộc mp[ABC] nên theo tiên đề 3 thì EF ⊂ [ABC].
Ta có: I ∈ BC mà BC ⊂ [BCD] nên I ∈ [BCD] [1]
I ∈ EF mà EF ⊂ [DEF] ⇒ I ∈ [DEF] [2]
Từ [1] và [2] ⇒ I là điểm chung của hai mặt phẳng [BCD] và [DEF].
Bài tập 2:Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng [α]. Chứng minh rằng M là điểm chung của [α] với bất kỳ mặt phẳng nào chứa đường thẳng d.
Hướng dẫn giải:
Giả sử có một mặt phẳng [β] bất kỳ chứa đường thẳng d.
Ta có: M là điểm chung của d và [α] nên: M ∈ [α] [1]
Ta lại có: M ∈ d, mà d ⊂ [β] ⇒ M ∈ [β] [2].
Từ [1] và [2] ⇒M là điểm chung của hai mặt phẳng [α] và [β].
Bài tập 3:Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Hướng dẫn giải:
Gọi I = d1 ∩ d2 và [P] là mặt phẳng chứa [d1] và [d2].
Gọi d3 ∩ d1 = M; d3 ∩ d2 = N. Ta có:
+ M ∈ d1, mà d1 ⊂ [P] ⇒ M ∈ [P]
+ N ∈ d2, mà d2 ⊂ [P] ⇒ N ∈ [P].
Nếu M ≠ N ⇒ d3 có hai điểm M, N cùng thuộc [P]
⇒ d3 ⊂ [P]
⇒ d1; d2; d3 đồng phẳng [trái với giả thiết].
⇒ M ≡ N
⇒ M ≡ N ≡ I
Vậy ba đường thẳng d1; d2; d3 đồng quy.
---------------------------------
Trên đây Top lời giải đã cùng các bạn tìm hiểu về cách xác định một mặt phẳng. Chúng tôi hi vọng các bạn đã có kiến thức hữu ích khi đọc bài viết này, chúc các bạn học tốt.