Có bao nhiêu số nguyên dương m nhỏ hơn 20 thỏa mãn phương trình

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \[y\] sao cho ứng với mỗi \[y\] luôn tồn tại nhưng không quá \[2021\] số nguyên dương \[x\] thỏa mãn \[\left[ {{{\log }_2}x + 3} \right]\left[ {{{\log }_2}x – y} \right] < 0\]?

A. \[8\]. 

B. \[11\]. 

C. \[6\]. 

D. \[10\].

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét \[\left[ {{{\log }_2}x + 3} \right]\left[ {{{\log }_2}x – y} \right] < 0\]. Do \[x \ge 1\] nên \[{\log _2}x + 3 > 0\]. 

Khi đó bpt \[ \Leftrightarrow {\log _2}x – y < 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x < {2^y}\].

Kết hợp điều kiện \[x \ge 1\] ta có\[1 \le x < {2^y}\].

Để ứng với mỗi số nguyên dương \[y\] luôn tồn tại nhưng không quá \[2021\] số nguyên dương \[x\] thì \[1 < {2^y} \le 2022\]\[ \Leftrightarrow 0 < y \le {\log _2}2022 \approx 10,98\].

Kết hợp \[y\] nguyên dương ta có \[y \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9;\,10} \right\}\].

Vậy có \[10\] giá trị \[y\] thỏa mãn bài toán.

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \[m\] nhỏ hơn 2018 để phương trình \[{\log _2}\left[ {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right] = 2x\] có nghiệm thực?

A. 2017. 

B. 2018. 

C. 2016. 

D. 2015.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận:

Phương trình đã cho tương đương: \[m + \sqrt {m + {2^x}}  = {2^{2x}} \Leftrightarrow \left[ {m + {2^x}} \right] + \sqrt {m + {2^x}}  = {2^{2x}} + {2^x}\,\,\,\,\left[ 1 \right]\].

Với \[\sqrt {m + {2^x}}  > 0;\,\,{2^x} > 0\], xét hàm đặc trưng \[f\left[ t \right] = {t^2} + t\] trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].

Ta có \[f’\left[ t \right] = 2t + 1 > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right]\]. Do đó hàm \[f\left[ t \right]\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].

Vì vậy \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow f\left[ {\sqrt {m + {2^x}} } \right] = f\left[ {{2^x}} \right] \Leftrightarrow \sqrt {m + {2^x}}  = {2^x} \Leftrightarrow m = {2^{2x}} – {2^x}\].

Đặt \[a = {2^x} > 0\]. Xét hàm \[g\left[ a \right] = {a^2} – a\], ta có bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \[m \ge  – \frac{1}{4}\]. 

Mà \[m\] là số nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên \[m \in \left\{ {1;2;3;…;2017} \right\}\].

Vậy có 2017 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tư duy + Casio:

Ta có phương trình \[{\log _2}\left[ {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right] = 2x \Leftrightarrow m + \sqrt {m + {2^x}}  = {2^{2x}}\].

Áp dụng kỹ thuật CALC: Đặt \[{2^x} = y = 100 \Rightarrow m = 9900 = {y^2} – y = {2^{2x}} – {2^x}\].

Đặt \[a = {2^x} > 0\]. Khi đó \[m = g\left[ a \right] = {a^2} – a\].

Như vậy \[m \ge  – \frac{1}{4}\], mà \[m\] nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên \[m \in \left\{ {1;2;3;…;2017} \right\}\].

Vậy có 2017 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'[x] 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'[x] 3. Lập BBT xét dấu g'[x] 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========

VietJack

Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \[t = {2^{x - 2}} > 0\].

- Cô lập \[m\], đưa phương trình về dạng \[m = g\left[ t \right]\,\,\left[ {t > 0} \right]\].

- Lập BBT của hàm số \[g\left[ t \right]\] khi \[t > 0\].

- Dựa vào BBT tìm giá trị của \[m\] để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết:

Ta có \[{4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0 \Leftrightarrow 4.{\left[ {{2^{x - 2}}} \right]^2} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0\].

Đặt \[t = {2^{x - 2}} > 0\], phương trình đã cho trở thành \[4{t^2} - mt + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{4{t^2} + 1}}{t} = g\left[ t \right]\,\,\left[ {t > 0} \right]\].

Xét hàm số \[g\left[ t \right] = \dfrac{{4{t^2} + 1}}{t} = 4t + \dfrac{1}{t}\] có \[g'\left[ t \right] = 4 - \dfrac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\].

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm \[t > 0 \Leftrightarrow m \ge 4\].

Kết hợp điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}m \in {\mathbb{Z}^ + }\\m \le 2021\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;...;2020;2021} \right\}\].

Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Mã câu hỏi: 111561

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

CÂU HỎI KHÁC

• Cho hàm số \[f[x]\] đồng biến trên đoạn [- 3;1] thoả mãn \[f\left[ { - 3} \right] = 1,f\left[ 0 \right] = 2,f\left[ 1 \right] = 3\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
• Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left[ {a,b,c,d \in R,ad - bc \ne 0} \right]\] có đồ thị như hình vẽ, tìm tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0=2
• Trong không gian Oxyz, cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left[ {m + 2} \right]x + 4my - 2mz + 5{m^2} + 9 = 0\].
• Tính tổng \[S = {a_0} + 2{a_1} + 4{a_2} + ... + {2^{20}}{a_{20}}\] biết \[{\left[ {1 + 2x + 3{x^2}} \right]^{10}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{20}}{x^{20}}\]
• Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{\sqrt {x - 1}  - 1}}{{{x^3} - 3{x^2} + 2x}}\] 
• Tìm mệnh đề đúng biết F[x] là một nguyên hàm của \[f\left[ x \right] = {{\rm{e}}^{3x}}\] thỏa mãn \[F\left[ 0 \right] = 1\].
• Tổng lập phương các nghiệm của phương trình \[{9^{{x^2} - 2}} - 2.{\left[ {\frac{1}{3}} \right]^{2x - {x^2}}} = 3\] bằng
• Tổng giá trị các nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left[ {12 - {3^x}} \right] = 2 - x\] bằng:
• Cho các số thực dương a, b, c [với a, c khác 1] thỏa mãn \[{\log _{{a^2}}}{\left[ {bc} \right]^2} = {\log _a}\left[ {\frac{b}{c}} \right] = 2\]. Tính giá trị của biểu thức \[P = {\log _a}\left[ {\frac{{bc}}{{3a}}} \right] - {\log _c}\left[ {{a^3}} \right]\]
• Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có \[AC = 5a\], đáy là tam giác đều cạnh 4a.
• Tính số đo của góc [IJ, CD] biết hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC
• Tính tổng các nghiệm của phương trình F[x]=5 biết F[x] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = \frac{{{e^{2x}} - 6}}{{{e^x}}}\] , biết \[F\left[ 0 \right] = 7\].
• Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3x + m\] nhỏ hơn hoặc bằng \[\sqrt 5 \].
• Cho điểm A nằm trên mặt cầu [S] tâm O, bán kính R = 6 cm. I, K là 2 điểm trên đoạn OA sao cho OI = IK = KA. Các mặt phẳng [P], [Q] lần lượt đi qua I, K cùng vuông góc với OA và cắt mặt cầu [S] theo đường tròn bán kính \[r_1, r_2\]. Tính tỉ số \[\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\].
• Tính giá trị \[f\left[ { - 3} \right] + f\left[ 1 \right]\] biết \[f\left[ { - 2} \right] + f\left[ 0 \right] = 5\]
• Tính f'[0] biết hàm số \[f\left[ x \right] = \left[ {1 + x} \right]\left[ {1 + 2x} \right]\left[ {1 + 3x} \right]...\left[ {1 + 2018x} \right]\].
• Bất phương trình \[{4^x} - \left[ {{a^2} + 8} \right]{.2^x} - {a^2} - 9 \ge 0\] [với a là tham số] có nghiệm nhỏ nhất nằm trong khoảng nào dưới đây?
• Tìm số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {f[x]} \right|\] 
• Hàm số \[g\left[ x \right] = f\left[ {1 - x} \right] + \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x\] đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng chứa trục Oy và điểm K[2;1;-1] ?
• Tính giá trị biểu thức P=a-3b-5c biết [P]:y=-x^2 và đồ thị hàm số y=ax^3+bx+cx-2 như hình vẽ
• Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABCD] là trung điểm H của AB. Biết diện tích tam giác SAB bằng a2. Tính khoảng cách d từ điểm H đến mặt phẳng [SBD].
• Hàm số \[y = f\left[ {2x} \right] + 2{e^{ - x}}\] nghịch biến trên khoảng nào cho dưới đây ?
• Tính giá trị \[a+b+c\] biết \[\int\limits_1^4 {\sqrt {\frac{1}{{4x}} + \frac{{\sqrt x + {e^x}}}{{\sqrt x .{e^{2x}}}}} .} dx = a + {e^b} - {e^c}\] với a, b, c là các số nguyên
• Một chiếc ô tô mới mua năm 2016 với giá 800 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm, giá chiếc ô tô này bị giảm 5%. Hỏi đến năm 2020, giá tiền chiếc ô tô này còn khoảng bao nhiêu ?
• Cho hình nón đỉnh I, đường cao SO và có độ dài đường sinh bằng 3cm, góc ở đỉnh bằng 600. Gọi K là điểm thuộc đoạn SO thỏa mãn \[IO = \frac{3}{2}IK\], cắt hình nón bằng mặt phẳng [P] qua K và vuông góc với IO, khi đó thiết diện tạo thành có diện tích là S. Tính S.
• Cho hình nón [N] có bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 12. Mặt cầu [S] ngoại tiếp hình nón [N] có tâm là I. Một điểm M di động trên mặt đáy của nón [N] và cách I một đoạn bằng 6. Quỹ tích tất cả các điểm M tạo thành đường cong có tổng có độ dài bằng:
• Cho hình vuông ABCD. Dựng khối da diện ABCDEF, trong đó EF = 2 và song song với AD . Tất cả các cạnh còn lại của khối đa diện ABCDEF bằng a. Tính thể tích V của khối đa diện ABCDEF.
• Giá trị lớn nhất của hàm số \[g\left[ x \right] = f\left[ x \right] - \frac{1}{3}{x^3} + x - 1\] trên đoạn [- 1;2] bằng
• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S] có tâm I[2;1;1] và mặt phẳng \[[P]:2x + y + 2z + 2 = 0\]. Biết mặt phẳng [P] cắt mặt cầu [S] theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình của mặt cầu [S].
• Cho hàm số \[y = \frac{{\sqrt {x + 3} + ax + b}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\] có đồ thị [C]. Biết rằng đồ thị hàm số [C] không có tiệm cận đứng. Tính giá trị \[T = 2a - 3b\]
• Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hai đồ thị hàm số \[y = {4^x} + 1\] và \[y = \left[ {{m^2} - 6m + 2} \right]{.2^x}\] không có điểm chung
• Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình \[f\left[ {2\sin x + 1} \right] = f\left[ m \right]\] có nghiệm thực?
• Để thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 60cm, thể tích là 96.000cm3, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là 70.000 đồng/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là 100.000 đồng/m2. Chi phí thấp nhất để làm bể cá là:
• Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để đồ thị hàm số \[y = \frac{{\sqrt {x + m}  - 3}}{{x + 5}}\] có đúng một đường tiệm cận
• Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \[\left[ {x - 1} \right].\log \left[ {{e^{ - x}} + m} \right] = x - 2\] có 2 nghiệm thực phân biệt
• Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình \[{3.12^{f\left[ x \right]}} + \left[ {{f^2}\left[ x \right] - 1} \right]{.16^{f\left[ x \right]}} \ge \left[ {{m^2} + 3m} \right]{.3^{2f\left[ x \right]}}\] có nghiệm với mọi x.
• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \[A[1;0;0],B[0;1;0]\]. Mặt phẳng đi qua các điểm A, B đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng \[\frac{1}{6}\] có phương trình dạng \[x + ay + bz + c = 0\]. Tính giá trị \[a + 3b - 2c\]
• Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có 2 đáy AB, CD; có tọa độ ba đỉnh [A[1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 1],B[2;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} - 1],C[6;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} 0]\]. Biết hình thang có diện tích bằng \[6\sqrt 2 \]. Giả sử đỉnh \[D[a;b;c]\], tìm mệnh đề đúng?
• Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m < 20 để bất phương trình \[{\log _2}\frac{{{x^2} + 2}}{{3{x^2} + 4x + m}} \le {x^2} + 4x + m - 5\] có nghiệm với \[\forall x \in R\]
• Gọi S là tập chứa các giá trị nguyên của m để phương trình \[{e^{3{x^3} - 18x + 30 - m}} + {e^{{x^3} - 6x + 10 - m}} - {e^{2m}} = 1\] có 3 nghiệm thực phân biệt. Tính tổng các phần tử của tập S.
• Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left[ P \right]:y - 4 = 0\]. Có bao nhiêu đường thẳng d song song với ba mặt phẳng [xOy], [zOx], [P] đồng thời cách đều 3 mặt phẳng đó.
• Biết hai hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} + a{x^2} + 4x - 2\] và \[g\left[ x \right] = - {x^3} + b{x^2} - 2x + 3\] có chung ít nhất một điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \left| a \right| + \left| b \right|\].
• Trong không gian Oxyz, cho \[\left[ P \right]:x + 2y - 2z + 5 = 0\] và 2 mặt cầu \[\left[ {{S_1}} \right]:{\left[ {x - 2} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 1,\] \[\left[ {{S_2}} \right]:{\left[ {x + 4} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 4\]; Gọi M, A, B lần lượt thuộc mặt phẳng [P] và hai mặt cầu \[\left[ {{S_1}} \right],\left[ {{S_2}} \right]\]. Tìm giá trị nhỏ nhất \[S = MA + MB\]
• Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của \[m \in \left[ { - 20;20} \right]\] để hàm số \[g\left[ x \right] = f\left[ {\frac{{{x^3}}}{4}} \right] - \frac{{m{{\left[ {{x^2} + 4} \right]}^2}}}{{20}}\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\]
• Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh trường X và 5 học sinh trường Y vào bàn nói trên. Tính xác suất để bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
• Cho hàm số \[f\left[ x \right] \ne 0\]; \[f'\left[ x \right] = \left[ {2x + 1} \right].{f^2}\left[ x \right]\] và \[f\left[ 1 \right] = - 0,5\]. Biết tổng \[f\left[ 1 \right] + f\left[ 2 \right] + f\left[ 3 \right] + ... + f\left[ {2017} \right] = \frac{a}{b}\]; \[\left[ {a \in Z;b \in Z} \right]\] với \[\frac{a}{b}\] tối giản. Chọn khẳng định đúng
• Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Biết rằng \[\angle ASB = \angle ASD = {90^0}\], mặt phẳng chứa AB và vuông góc với [ABCD] cắt SD tại N. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện DABN.
• Cho các số dương a, b, c thỏa mãn \[a \ne 1,\,\,{\log _3}a + b = 0,\,\,{\log _a}b = \frac{1}{c},\,\,\ln \frac{b}{c} = c - b\]. Tổng \[S = a + b + c\] nằm trong khoảng nào cho dưới đây?
• Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \[A\left[ {1;1;1} \right],B\left[ { - 1;0; - 2} \right],C\left[ {2; - 1;0} \right],D\left[ { - 2;2;3} \right]\]. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng song song với AB, CD và cắt 2 đường thẳng AC, BD lần lượt tại M, N thỏa mãn \[{\left[ {\frac{{BN}}{{AM}}} \right]^2} = A{M^2} - 1\].