Diện tích, thể tích của hình chóp đều và hình chóp cụt đều
1. Khái niệm hình chóp
– Hình chóp có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này gọi là đỉnh của hình chóp.
– Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao của hình chóp.
– Hình chóp có đáy là tam giác gọi là hình chóp tam giác
– Hình chóp có đáy là tứ giác gọi là hình chóp tứ giác.
Hình chóp tam giác và hình chóp tứ giác
2.Hình chóp đều
– Hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều, có mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.
Trên hình chóp đều S.ABCD:
– Chân đường cao H là tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy
– Đường cao vẽ từ đỉnh S của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.
a. Công thức tính diện tích xung quanhhình chóp đều
Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn.
Sxq = pd
p: nửa chu vi đáy
d: trung đoạn của hình chóp đều
b. Công thức tính thể tích hình chóp đều
Thể tích của hình chóp đều bằng một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao
$ \displaystyle V=\frac{1}{3}S.h$
S: diện tích đáy
h: chiều cao
3. Hình chóp cụt đều
Cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình chóp là một hình chóp cụt đều.
Hình chóp cụt đều
Nhận xét: Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.
Hình học 8 - Tags: hình chóp, hình chóp cụt, hình chóp đềuDiện tích, thể tích hình lăng trụ đứng
Quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Các trường hợp đồng dạng của tam giác
Định nghĩa, tính chất hai tam giác đồng dạng
Định lí đảo và hệ quả của định lí Talet
Định lí Talet trong tam giác
Table of Contents
Đối với các bạn học sinh có lẽ đã quá quen thuộc với khái niệm về hình chóp và hình chóp đều. Đây cũng là một dạng hình rất hay được sử dụng trong các bài tập hình học từ cơ bản đến nâng cao. Cùng VOH ôn lại tổng quan kiến thức và thực hành một số bài tập liên quan về dạng hình hình chóp đều này nhé!
1. Nhắc lại hình chóp
Hình chóp có đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này gọi là đỉnh của hình chóp
Đường cao của hình chóp là đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Hình chóp có đáy là tam giác gọi là hình chóp tam giác
Hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.
Công thức tính thể tích:
Trong đó: B là diện tích đáy. h là chiều cao của hình chóp [khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy]
2. Thế nào là hình chóp đều?
Định nghĩa hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều [tam giác đều, hình vuông,...], có mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung đỉnh.
3. Tính chất hình chóp đều
Chân đường cao của hình chóp đa giác đều là tâm của mặt đáy.
Đường cao được vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều gọi là trung đoạn của hình chóp đó.
4. Thể tích hình chóp đều
Thể tích hình chóp đều được tính như sau:
Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao
Hình chóp tứ giác đều có các tính chất sau:
- Đáy là hình vuông
- Các cạnh bên bằng nhau
- Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy [tâm đáy là giao điểm 2 đường chéo]
- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau
Thể tích hình chóp tứ giác đều:
Trong đó:
S.ABCD là diện tích đáy tứ giác đều ABCD
SH là chiều cao của hình chóp.
Hình chóp tam giác đều có các tính chất như sau:
- Hình chóp tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứng
- Đáy là tam giác đều
- Các cạnh bên bằng nhau
- Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy [tâm đáy là trọng tâm của tam giác]
- Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
Thể tích hình chóp tam giác đều:
Trong đó:
S.ABC là diện tích đáy tam giác đều ABC
SH là chiều cao của hình chóp.
» Xem thêm: Công thức tính thể tích hình chóp đều chi tiết nhất
5. Hình chóp cụt đều
Cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình chóp là một hình chóp cụt đều
Tính chất của hình chóp cụt đều là:
- Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.
- Hình chóp cụt đều có 2 mặt đáy
- Các mặt đáy song song với nhau
Thể tích hình chóp cụt:
Trong đó:
B, B' là diện tích của đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt
h là chiều cao [khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy]
6. Các dạng toán thông dụng về hình chóp đều
Bài tập 1:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Yêu cầu: Chứng minh chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC và tính thể tích hình chóp S.ABC.
Giải:
Dựng , ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
Suy ra O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có:
Tam giác ABC đều nên tam giác SAO vuông có:
Bài tập 2: Yêu cầu:
a. Tính thể tích của hình chóp đều [h.136]
b. Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt đều [h.137]
Giải:
a, Diện tích đáy của hình chóp đều:
Thể tích hình chóp đều là:
b, Các mặt xung quanh là những hình thang cân đáy nhỏ 2cm, đáy lớn 4cm, chiều cao 3,5 cm.
Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:
Bên trên là những kiến thức cơ bản nhất về hình chóp đều và một số bài tập ví dụ. Hy vọng qua bài viết các bạn sẽ nắm vững kiến thức và tính chất hình chóp đều để có thể áp dụng vào bài tập một cách hiệu quả nhất.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Bài 8: Diện tích xung quanh của hình chóp đều - Cô Vương Thị Hạnh [Giáo viên VietJack]
1. Công thức diện tích của hình chóp đều
Quảng cáo
a] Diện tích xung quanh của hình chop đều
Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:
Sxq = p.d [p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn]
b] Diện tích toàn phần của hình chóp
Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:
Stp = Sxq + S [S: diện tích đáy]
2. Công thức thể tích của hình chóp đều
Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:
V = 1/3S.h [S: diện tích đáy, h: chiều cao]
3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh đáy là 8cm, chiều cao 10cm.
+ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp.
+ Tính thể tích của hình chóp.
Hướng dẫn:
Quảng cáo
Ta có ABCD là hình vuông, khi đó nửa chu vi bằng:
+ BD = AC = √ [82 + 82] = 8√ 2 [ cm ] ⇒ AO = BO = CO = DO = 4√ 2 [ cm ]
Do đó:
+ Diện tích xung quanh của hình chóp đều là Sxq = p.d = p.OB = 16.4√ 2 = 64√ 2 [ cm2 ].
+ Diện tích toàn phần của hình chóp đều là
Stp = Sxq + SABCD = 64√ 2 + 82 = 64 + 64√ 2 [ cm2 ]
+ Thể tích của hình chóp đều là V = 1/3S.h = 1/3.SABCD.SO = 1/3.82.10 = 640/3[ cm3 ]
Bài 1: Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên là 25cm, đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng 30cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Hướng dẫn:
Gọi M là trung điểm của BC thì SM là đường cao của mặt bên SBC [vì tam giác SBC cân tại S]
Áp dụng công thức: Stp = Sxq + Sd
Ta có:
Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác SCM vuông tại M
SC2 = CM2 + SM2 ⇒ 252 = 152 + SM2 ⇔ SM2 = 202 ⇔ SM = 20[ cm ]
Do đó: Sxq = 60.20 = 1200[ cm2 ] ⇒ Stp = 1200 + 900 = 2100[ cm2 ]
Bài 2: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a.
Quảng cáo
Hướng dẫn:
Xét hình chóp S.ABC có AB = AC = BC = a và SH = 2a.
Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều ABC nên AM ⊥ BC và HM = 1/3AM.
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABM vuông tại M ta được:
AB2 = BM2 + AM2 ⇒ a2 = [ a/2 ]2 + AM2
Do đó HM = [a√3] /6.
Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác vuông SHM vuông tại H, ta có:
SM2 = HM2 + SH2 ⇒ SM2 = [ [a√3] /6 ]2 + [ 2a ]2
Áp dụng công thức: Stp = Sxq + Sd
Ta có:
Bài giảng: Bài 9: Thể tích của hình chóp đều - Cô Vương Thị Hạnh [Giáo viên VietJack]
Xem thêm các phần lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 8 có đáp án chi tiết hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
- Giải bài tập Toán 8
- Giải sách bài tập Toán 8
- Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 8 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.