Dạy học định lý ba đường vuông góc

Định lí 3 đường vuông góc

Trả lời chi tiết, chính xác câu hỏi “Định lí 3 đường vuông góc” và phần kiến thức tham khảo là tài liệu cực hữu dụng bộ môn Toán 11 cho các bạn học sinh và các thầy cô giáo tham khảo.

Trả lời câu hỏi: Định lí 3 đường vuông góc

- Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng [P] và đường thẳng b nằm trong [P].

- Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với  a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên [P].

Kiến thức tham khảo về Định lí 3 đường vuông góc

1. Cách chứng minh định lí trên

- Nếu a nằm trong [P] thì kết quả là hiển nhiên.

- Nếu a không nằm trong [P] thì ta lấy hai điểm phân biệt A và B thuộc a.

- Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên [P], khi đó hình chiếu a’ của đường thẳng thẳng a trên [P] chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’.

2. Các tính chất về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

 * Tính chất 1

- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

* Tính chất 2

- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

* Tính chất 3.

- Có duy nhất một mặt phẳng [P] đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước.

- Mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn AB, gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB 

* Tính chất 4.

- Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng song song với nhau.

* Tính chất 5

- Cho đường thẳng a và mặt phẳng [P] song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với [P] thì cũng vuông góc với a.

- Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng [không chứa đường thẳng đó] cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

3. Bài tập minh họa

Vấn đề 1

Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD]. Gọi H, I vầK lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD.

Giải:

Bài 2: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD.

Giải

* Vấn đề 2

- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng nàỵ vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia

a. Phương pháp giải

b. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Giải:

I. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$  nếu d  vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $\left[ \alpha  \right]$.

Khi đó ta còn nói $\left[ \alpha  \right]$  vuông góc với d và kì hiệu $\left[ \alpha  \right]$  hoặc $\left[ \alpha  \right]$.  

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

* Định lí

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng ấy.

* Hệ quả

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

III. Tính chất

* Tính chất 1

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

* Tính chất 2

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. Sự liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song

* Tính chất 1

a] Hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b] Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

* Tính chất 2

a] Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b] Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

* Tính chất 3

a] Cho đường thẳng a và mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$  song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với $\left[ \alpha  \right]$  thì cũng vuông góc với a.

b] Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng [không chưa đường thẳng đó] cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

1. Phép chiếu vuông góc

Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$. Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$  được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$.

2. Định lí ba đường vuông góc

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$  và b là đường thẳng không thuộc  $\left[ \alpha  \right]$  đồng thời không vuông góc với $\left[ \alpha  \right]$. Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên $\left[ \alpha  \right]$. Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$.

Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ bằng ${90^o}$.

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$.

Lưu ý rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá ${90^o}$.

Page 2

SureLRN

Diễn tả ngắn gọn định lí ba đường vng góc bằng lời để học sinh dễvận dụng [đường thẳng đã vng góc với đường xiên thì vng góc vớihình chiếu và ngược lại].Tai sao định lí lại có tên là định lí ba đường vng góc [ vì định lí liênquan đến ba đường : đường vng góc, đường xiên, hình chiếu].+ Hoạt động củng cố khác: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Chứng minh rằng : BD’  A’C’, BD’  DA’, BD’  DC’.1.5.3. Phát triển năng lực chứng minh định líChứng minh một mệnh đề T là tìm ra một dãy hữu hạn A1, A2,…, Anthỏa mãn các điều kiện sau:●Mỗi Ai [i = 1,2, …,n] của dãy đó hoặc là tiên đề, hoặc định nghĩa,hoặc suy từ một số trong các A1, A2, …, Ai-1 nhờ những kết luận lơgic.●An chính là mệnh đề T.Trong việc dạy học định lí, cần thiết và có thể phát triển ở học sinh nănglực chứng minh Toán học . Để tạo điều kiện cho học sinh phát triển nănglực chứng minh, ta vận dụng các tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạtđộng:● Gợi động cơ chứng minh.● Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trongchứng minh.● Hướng dẫn cho học sinh tìm đường lối chứng minh định lí.1.5.3.1. Gợi động cơ chứng minh- Cần cho học sinh thấy rằng những điều quan sát trên hình vẽ chỉ làtrên một hình vẽ, khơng thể kết luận trong trường hợp tổng quát, đối vớimột mệnh đề tổng quát không thể thử trên vơ số trường hợp do đó cầnphải chứng minh nó.- Từ yêu cầu trên thực tế cũng giúp học sinh thấy cần thiết phải chứngminh.- Ngoài ra việc gợi động cơ chứng minh thì việc chọn ví dụ và vẽ hìnhgiúp cho học sinh thấy được sự chứng minh.- Tồn tại một số định lí của hình học phẳng mà nếu phát biểu ngunvăn thì sẽ khơng đúng trong hình học khơng gian chẳng hạn “ Hai đườngthẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”.- Trong một số trường hợp để tính tốn hoặc xác định vị trí của mộtđiểm hoặc tìm quỹ tích trước hết người ta phải chứng minh một tính chấtnào đóVí dụ 1. Cho một tứ diện ABCD, trong đó AB = AC = AD = m và BC =CD = DB = n. Tính thể tích của tứ diện.Gọi H là chân đường cao xuất phát từ A của tứ diện, để tính thể tích củatứ diện đó, trước hết ta cần chứng minh rằng H là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác BCD.1.5.3.2. Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứngminh.- Trước hết, cần có ý thức tập luyện cho học sinh những hoạt động trítuệ chung: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, … thường xuấthiện như những hoạt động thành phần trong chứng minh.- Cần tập luyện cho học sinh những quy tắc kết luận logic thường dùng,A  B, . Cùng với việcthường dùng nhiều nhất là quy tắc có sơ đồABnhấn mạnh và làm nổi bật quy luật A  B, A, giáo viên cần quan tâmBdùng những ví dụ cụ thể bác bỏ những sai lầm do học sinh hay ngộ nhận:A  B,AAA B,AB1.5.3.3. Hướng dẫn cho học sinh tìm đường lối chứng minh.Trong quá trình dạy học chứng minh, cần hướng dẫn cho học sinh nhữngtri thức phương pháp trong chứng minh toán học.Trước hết là những tri thức về các quy tắc kết luận logic đã nêu ở phần1.5.3.2 nhưng ở trường phổ thông chúng ta chỉ được truyền thụ theo conđường không tường minh: tập luyện cho học sinh những hoạt động ănkhớp với những quy tắc đó.Thứ hai, cần giúp cho học sinh hình thành những tri thức về nhữngphương pháp suy luận, chứng minh như suy ngược, suy xi, quy nạptốn học và chứng minh bằng phản chứng, theo con đường thơng báo cácnhững phương pháp đó ở những cơ hội thích hợp trong q trình hoạtđộng. Đặc biệt cần cho học sinh nắm được các tri thức sau:●Phépsuyxicósơđồsau:A A 0  A1  .... An  BTrong sơ đồ trên cũng như hai sơ đồ dưới đây, A là một định nghĩa, tiênđề hay một mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh.●Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến và suy ngượclùi với các sơ đồ như sau:B  B0  B1 .... Bn  AB  B0  B1 .... Bn  AChú ý rằng suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đốn chứ khơng phải làmột phép chứng minh như suy xuôi và suy ngược lùi.SVTH: Trần Văn Dũng- 50 -K35C - ToánThứ ba, cần làm cho học sinh thấy rõ ba bộ phận cấu thành và hai yêucầu đảm bảo chứng minh.Một chứng minh bao gồm ba bộ phận:●Luận đề là mệnh đề cần chứng minh.●Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết.●Luận chứng là những phép suy luận được sử dụng trong chứngminh.Liên hệ với ba bộ phận cấu thành của chứng minh người ta nhấn mạnh bayêu cầu sau đây để đảm bảo chứng minh là đúng:i]Luận đề không được đánh tráo.ii]Luận cứ phải đúng.iii]Luận chứng phải hợp logic.Trong dạy học chứng minh, người giáo viên cần có ý thức phát hiện vàsửa chữa những sai lầm vi phạm 3 yêu cầu của học sinh mà sau đây làmột số ví dụ:Ví dụ 1. Sai lầm về luận cứ không đúngNgụy biện -3 = 32Rõ ràng là  3 32Từ đó:  3 [1]2Vì rằnga a232nên ta có 32 3và 323[2]Vậy theo [1] và [2] ta có:Sai lầm: Luận cứ-3 = 3.2a  a không đúng, tức là vi phạm yêu cầu [ii].Ví dụ 2. Sai luận về luận chứng không hợp lôgicĐể chứng minh hằng đẳng thứccos1  sin xx1  si n x co s x[1]Học sinh đã lập luận như sau:2Từ [1] suy ra: 1  sin x 1  sin x   cos x2tức là 1 sin x  c o s 2 x[2]Rõ ràng là [2] đúng, vậy [1] cũng đúng.A  B, không phải là một quy tắc suy luậnSai lầm: Sơ đồ suy luậnABlôgic, tức là lập luận trên đã vi phạm yêu cầu [iii].Các biện pháp khắc phục sai lầm trong chứng minh định lí sau:+ Ra những bài tập có năng mắc sai lầm , từ đó khắc phục.+ Cho lời giải có sai lầm yêu cầu học sinh sửa chữa+ Nhấn mạnh kiến thức quan trọng dễ mắc sai lầm.CHƯƠNG 2ỨNG DỤNG CNTT TRONG DẠY HỌC CÁC ĐỊNH LÍ CHƯƠNG“QUAN HỆ VNG GĨC” HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11THEO PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC2.1. Các định lí trong hình học khơng gian.2.1.1. Định lí về điều kiện cần để đường thẳng và mặt phẳng vng gócvới nhau.. Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau a và bcùng nằm trong mặt phẳng [P] thì đường thẳng d vng góc với mặtphẳng [P].Tính chất 1:+ Mặt phẳng nào vng góc với một trong hai đường thẳng song song thìcũng vng góc với đường thẳng còn lại.+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì songsong với nhau.Tính chất 2:+ Đường thẳng nào vng góc với một trong hai mặt phẳng song songthì cũng vng góc với mặt phẳng còn lại.+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thìsong song với nhau.Tính chất 3:+ Cho đường thẳng a và mặt phẳng [P] song song với nhau. Đường thẳngnào vng góc với [P] thì cũng vng góc với a.+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng [khơng chứa đường thẳngđó] cùng vng góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.2.1.2. Định lí ba đường vng góc.. Cho đường thẳng a khơng vng với mặt phẳng [P] và đường thẳngb nằm trong [P]. Khi đó , điều kiện cần và đủ để b vng góc với a làb vng góc với hình chiếu a’ của a trên [P].2.1.3. Định lí về điều kiện cần để hai mặt phẳng vng góc.. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vng góc với một mặtphẳng khác thì hai mặt phẳng đó vng góc với nhau.2.1.4. Định lí về tính chất của hai mặt phẳng vng góc.. Nếu hai mặt phẳng [P] và [Q] vng góc với nhau thì bất cứ đườngthẳng a nào nằm trong [P] ,vng góc với giao tuyến của [P] và [Q] đềuvng góc với mặt phẳng [Q].. Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng [P] và [Q] vng góc với nhau và A làmột điểm nằm trong [P] thì đường thẳng a đi qua điểm A và vng gócvới [Q] sẽ nằm trong [P].. Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vng góc với mặtphẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba.. Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vng góc với mặt phẳng [P] códuy nhất một mặt phẳng [Q] vng góc với mặt phẳng [P].2.2. Dạy học định lí hình học khơng gian.2.2.1. Dạy học định lí về điều kiện cần để đường thẳng và mặt phẳngvuông góc với nhau.+ Định lí được dạy theo con đường suy diễn.Hoạt động 1: Gợi động cơ .Bài toán : Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặtphẳng [P]. Chứng minh rằng nếu đường thẳng a vng góc với cả b và cthì nó vng góc với mọi đường thẳng nằm trong [P].   Bài giải: Gọi u , v , , r là các véctơ chỉ phương của các đường thẳngwa, b, c, d, trong đó d là đường thẳng bất kì nằm trong [P].  Vì v , , r cùng nằm trong mặt phẳng [P]  wr xwy v : x, y R [ theo định lí điều kiện cần và đủ ba vectơ đồng phẳng ].   u.r  xu.w  yu.v [1] .Ta thấy u .w  0 , u  0 [ do a  b, a  c ]..v Từ [1]  u .  0  a  d.rKhi đó a vng góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng [P] thì tanói rằng đường thẳng a vng góc với mặt phẳng [P]. Vậy ta đi đến địnhnghĩa.Định nghĩa: Một đường thẳng gọi là vng góc với một mặt phẳng nếunó vng góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.KH: a  [P] hoặc [P]  aTừ bài toán trên và định nghĩa, ta có định lí nói về điều kiện cần đểđường thẳng và mặt phẳng vng góc với nhau.Hoạt động 2: Phát biểu định lí.Khóa luận tốt nghiệp đại họcGVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà. Định lí về điều kiện cần đường thẳng vng góc với mặt phẳng.Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau a và bcùng nằm trong mặt phẳng [P] thì đường thẳng d vng góc với mặtphẳng [P].Trong chương II, ta đã đề cập đến quan hệ song song giữa hai đườngthẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. Kết hợp vớicác tính chất nêu trên, ta có thể chứng minh được một số tính chất nói vềmối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc của đườngthẳng và mặt phẳng. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc của đườngthẳng và mặt phẳng.Tính chất 1:+ Mặt phẳng nào vng góc với một trong hai đường thẳng song song thìcũng vng góc với đường thẳng còn lại.+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì songsong với nhau.[P]  a a  [P] a / /b  [P]  babb  [P]  a / /ba  b Tính chất 2:P+ Đường thẳng nào vng góc với một trong hai mặt phẳng so ng song thìcũng vng góc với mặt phẳng còn lại.+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì songsong với nhau.aSVTH: Trần Văn Dũng- 46 PK35C - Toán