Đề bài
Cho khối chóp tứ giác đềuS.ABCDmà khoảng cách từ đỉnhAđến \[mp\left[ {SBC} \right]\] bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp là nhỏ nhất ?
Lời giải chi tiết
Giả sửOlà tâm của hình vuôngABCD. Khi đó \[SO \bot \left[ {ABCD} \right]\].
GọiEHlà đường trung bình của hình vuôngABCD\[\left[ {E \in AD,H \in BC} \right].\]
Vì \[AD//BC\] nên \[AD//\left[ {SBC} \right]\], do đó
\[d\left[ {A,\left[ {SBC} \right]} \right] = d\left[ {E,\left[ {SBC} \right]} \right]\]
Kẻ \[EK \bot SH\]. Dễ thấy \[EK \bot \left[ {SBC} \right]\] suy ra
\[EK = d\left[ {A,\left[ {SBC} \right]} \right] = 2a.\]
Ta có : \[BC \bot SH,BC \bot OH \Rightarrow \]\[\widehat {SHO}\]là góc giữa mặt bên \[\left[ {SBC} \right]\] và mặt phẳng đáy. Đặt \[\widehat {SHO} =x\left[ {0 < x < {\pi \over 2}} \right]\]. Khi đó :
\[EH = {{2a} \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }};\;OH = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}};\;SO = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{\mathop{\rm tanx}\nolimits} = {a \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }}\]
Vậy: \[{V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}{S_{ABCD}}.SO = {{4{a^3}} \over {3\cos x{{\sin }^2}x}}\]
Từ đó\[{V_{S.ABCD}}\] nhỏ nhất khi và chỉ khi \[y\left[ x \right] = \cos x.{\sin ^2}x\] đạt giá trị lớn nhất. Ta có:
\[\eqalign{
y'\left[ x \right] &= - {\sin ^3}x + 2\sin x.{\cos ^2}x \cr
& = \sin x\left[ {2{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right] \cr
& = \sin x\left[ {2 - 3{{\sin }^2}x} \right] \cr
& = 3\sin x\left[ {\sqrt {{2 \over 3}} - \sin x} \right]\left[ {\sqrt {{2 \over 3}} + \sin x} \right] \cr} \]
Vì \[0 < x < {\pi \over 2}\] nên \[\sin x\left[ {\sqrt {{2 \over 3}} + \sin x} \right] > 0\]
Gọi \[\alpha \] là góc sao cho \[\sin \alpha = \sqrt {{2 \over 3}} ;\,\,0 < \alpha < {\pi \over 2}\]
Ta có bảng biến thiên của hàm số\[y\left[ x \right] = \cos x.{\sin ^2}x\]:
Vậy \[{V_{S.ABCD}}\] đạt giá trị lớn nhất khi \[x = \alpha \] với \[0 < \alpha < {\pi \over 2}\] và \[\sin x = \sqrt {{2 \over 3}} .\]
.com