Đề bài
Cho đường tròn tâm \[O\] bán kính \[R\] và điểm \[A\] [khác \[O\]] ở trong đường tròn đó. Một đường thẳng \[d\] thay đổi, luôn đi qua \[A,\] cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là \[B\] và \[C.\] Tìm quỹ tích trung điểm \[I\] của đoạn thẳng \[BC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
Muốn chứng minh quỹ tích [tập hợp] các điểm \[M\] thỏa mãn tính chất \[\tau\] là một hình\[{\rm H}\]nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận:Mọi điểm có tính chất \[\tau\] đều thuộc hình \[\rm H.\]
Phần đảo:Mọi điểm thuộc hình \[\rm H\] đều có tính chất \[\tau.\]
Kết luận:Quỹ tích [hay tập hợp] các điểm \[M\] có tính chất \[\tau\] là hình \[\rm H.\]
Thông thường với bài toán "Tìm quỹ tích..." ta nên dự đoán hình \[\rm H\] trước khi chứng minh:
+] Tập hợp các điểm \[M\] tạo với hai mút của đoạn thẳng \[AB\] cho trước một góc \[AMB\] bằng \[\alpha\] \[[\alpha\] không đổi \[]\] là hai cung tròn đối xứng với nhau qua \[AB\] [gọi là cung chứa góc \[\alpha\] vẽ trên đoạn \[AB\]].
+]Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng \[AB\] cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính \[AB\].
Lời giải chi tiết
Chứng minh thuận:
Đường tròn \[[O]\] cho trước, điểm \[A \]cố định nên \[OA\] có độ dài không đổi.
\[OBC\] cân tại \[O\] [vì \[OB = OC\] = bán kính]
\[ IB = IC \;\;[gt]\] nên \[OI\] là đường trung tuyến vừa là đường cao
\[ \Rightarrow OI BC\]
\[ \Rightarrow \widehat {OIA} = 90^\circ \]
Đường thẳng \[d\] thay đổi nên \[B, C\] thay đổi thì \[I\] thay đổi tạo với \[2\] đầu đoạn \[OA\] cố định góc \[\widehat {OIA} = 90^\circ \]. Vậy \[I\] chuyển động trên đường tròn đường kính \[OA.\]
Chứng minh đảo:
Lấy điểm \[I\] bất kỳ trên đường tròn đường kính \[AO.\] Đường thẳng \[AI\] cắt đường tròn [O] tại \[2\] điểm \[B\] và \[C.\]
Ta chứng minh: \[IB = IC.\]
Trong đường tròn đường kính \[AO\] ta có \[\widehat {OI'A} = 90^\circ \] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[ \Rightarrow OI' B'C'\]
\[ \Rightarrow I'B' = I'C' \] [đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm dây cung đó]
Vậy quỹ tích các điểm \[I\] là trung điểm của dây \[BC\] của đường tròn tâm \[O\] khi \[BC\] quay xung quanh điểm \[A\] cố định là đường tròn đường kính \[AO.\]