Đề bài
Câu 1.Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, M là điểm bất kì.
a.Chứng minh véc tơ \[\overrightarrow v = 4\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} \] không phụ thuộc vào M.
b.Tính độ dài của \[\overrightarrow v \] .
Câu 2.Cho tam giác ABC có M là trung điểm AB và N là điểm trên đoạn BC sao cho BN= 3NC.
a. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {AN} = \dfrac{1 }{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{3 }{4}\overrightarrow {AC} \] .
b. Hãy biểu thị véc tơ \[\overrightarrow {MN} \] theo các véc tơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AC} \] .
Câu 3. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho
\[\left| {2\left[ {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right]} \right|\]\[ = \left| {3\left[ {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right]} \right|\] .
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A[-4;3] và B[2;-5].
a. Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua B.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Câu 1.
a.Ta có
\[\overrightarrow v = 4\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} \]
\[ = \left[ {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right] + \left[ {2\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MC} } \right] \]\[+ \left[ {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MD} } \right]\]
\[= \overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DA} \]
\[ = - \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \]
\[= - \left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AC} } \right]\]
\[ = - \left[ {\overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AC} } \right] = - 3\overrightarrow {AC} \]
\[= 3\overrightarrow {CA} \]
Vậy \[\overrightarrow v \] không phụ thuộc vào M.
b. Tam giác ABC vuông tại B nên theo Pitago ta có:
\[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \]\[ = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \]
\[\left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {3\overrightarrow {CA} } \right| \]\[= 3CA = 3a\sqrt 2 \]
Câu 2.
a.Ta có:
\[\overrightarrow {NB} = - 3\overrightarrow {NC} \]
\[\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} = - 3\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} } \right]\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} = - 3\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {AN} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {AN}
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC}\]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{ 4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{3 }{4}\overrightarrow {AC} \]
b.Ta có
\[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} \]
\[= \dfrac{1 }{ 4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{3 }{ 4}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {AB} \]
\[= - \dfrac{1 }{ 4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{3 }{ 4}\overrightarrow {AC} \]
Câu 3.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC.
Ta có:
\[\left| {2\left[ {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right]} \right| \]\[= \left| {3\left[ {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right]} \right|\]
\[\Leftrightarrow \left| {6\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {6\overrightarrow {MI} } \right| \Leftrightarrow MG = MI\]
M cách đều hai điểm cố định G và I nên tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn GI.
Câu 4.
a. \[A[-4;3]\] và \[B[2;-5].\]
\[A'\] đối xứng với A qua B khi và chỉ khi B là trung điểm của đoạn \[{\rm{AA'}}\] .
Do đó \[\left\{ \matrix{ {x_B} = \dfrac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\hfill \cr {y_B} =\dfrac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_{A'}} = 2{x_B} - {x_A} = 8 \hfill \cr {y_{A'}} = 2{y_B} - {y_A} = - 13 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[A' = \left[ {8; - 13} \right]\] .
b.Gọi \[M\left[ {{x_M};0} \right]\] là điểm trên trục hoành.
Ta có \[\overrightarrow {AM} = \left[ {{x_M} + 4; - 3} \right],{\rm{ }}\overrightarrow {AB} = \left[ {6; - 8} \right]\] .
M, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi \[\overrightarrow {AM} \] và \[\overrightarrow {AB} \] cùng phương
\[\dfrac{{{x_M} + 4}}{6} = \dfrac{{ - 3}}{{ - 8}} \]
\[\Leftrightarrow 4{x_M} + 16 = 9\]
\[\Leftrightarrow {x_M} = - \dfrac{7}{4}\]
Vậy \[M = \left[ { - \dfrac {7 }{ 4};0} \right]\] .