Đề bài
Câu 1.[2,5 điểm]
a] Xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của mệnh đề sau:
\[\forall a \in \mathbb{R},a\left[ {a + 1} \right]\] không chia hết cho 2.
b] Tìm tập xác định của hàm số \[y = \sqrt {x + 3} + \dfrac{{2{x^2} + 2}}{{\left| { - {x^2} + 5x + 6} \right|}}\]
c] Xét tính chẵn lẻ của hàm số \[y = 2021{x^{2021}} + 2019x\left| x \right| + 5\]
Câu 2.[2 điểm]
a] Tìm \[m \in \left[ {1;2020} \right]\] để hàm số \[y = \left[ {{m^2} - 4} \right]x + m - 1\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
b] Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên hàm số \[y = \left| {x + 1} \right|\]
Câu 3. [2 điểm] Gọi \[[P]\] là đồ thị của hàm số \[y = {x^2} + ax + b\] đi qua gốc tọa độ và có trục đối xứng là \[x = 2\].
a] Tìm \[a,b\].
b] Khi tịnh tiến đồ thị \[\left[ P \right]\] sang trái 1 đơn vị, rồi xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?
Câu 4.[3,5 điểm] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, F là điểm xác định bởi \[4\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} \].
1] Phân tích vectơ \[\overrightarrow {AF} \] theo hai vectơ \[\overrightarrow {AC} \] và \[\overrightarrow {BC} \].
2] Tìm số thực x sao cho \[\overrightarrow {BH} = x\overrightarrow {BC} \] đồng thời ba điểm F, H, G thẳng hàng.
3] Với mỗi điểm M, xác định điểm N thỏa mãn: \[\overrightarrow {MN} = \dfrac{2}{3}\left[ {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right]\]. Tìm tập hợp các điểm N khi M chạy trên đường tròn tâm O bán kính R.
Lời giải chi tiết
Câu 1.
a] Mệnh đề sai vì:
\[a = 1 \in \mathbb{R} \Rightarrow a\left[ {a + 1} \right] = 2\] chia hết cho 2.
Mệnh đề phủ định: \[\exists a \in \mathbb{R},a\left[ {a + 1} \right]\] chia hết cho 2.
b] ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\ - {x^2} + 5x + 6 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \ne 6\\x \ne - 1\end{array} \right.\]
Tập xác định của hàm số là: \[D = \left[ { - 3; - 1} \right] \cup \left[ { - 1;6} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right]\]
c] Tập xác định \[D = \mathbb{R}\]
\[\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\]
Lấy tùy ý \[x \in D\] ta có
\[\begin{array}{l}f\left[ { - x} \right] = 2021{\left[ { - x} \right]^{2021}} + 2021\left[ { - x} \right]\left| { - x} \right| + 5\\ = - 2021{x^{2021}} - 2021x\left| x \right| + 5\end{array}\]
\[ \Rightarrow f\left[ { - x} \right] \ne f\left[ x \right]\] và \[f\left[ { - x} \right] \ne f\left[ x \right]\]
Vậy hàm số đã cho không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Câu 2.
a] Hàm số \[y = \left[ {{m^2} - 4} \right]x + m - 1\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left[ {m - 2} \right]\left[ {m + 2} \right] > 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\end{array}\]
Kết hợp với điều kiện \[1 \le m \le 2020\]. Ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}1 \le m \le 2020\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m \le 2020\]
Vậy \[2 < m \le 2020\].
b] Ta có hàm số \[y = \left| {x + 1} \right|\] xác định với mọi \[x\].
Nếu \[x \ge - 1\], thì \[\left| {x + 1} \right| = x + 1\]
Nếu \[x < - 1\], thì \[\left| {x + 1} \right| = - x - 1\]
Do đó hàm số đã cho là \[y = \left\{ \begin{array}{l}x + 1{\rm{ khi }}x \ge - 1\\ - x - 1{\rm{ khi }}x < - 1\end{array} \right.\]
Đồ thị:
Hàm số đồng biến trên \[\left[ { - 1; + \infty } \right]\] và nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\]
Bảng biến thiên:
Câu 3.
a] Ta có \[[P]\] đi qua gốc tọa độ O[0;0] nên tọa độ của O thỏa mãn hàm số \[y = {x^2} + ax + b\].
\[ \Rightarrow 0 = {0^2} + a.0 + b \Leftrightarrow b = 0\].
\[[P]\] có trục đối xứng là \[x = - \dfrac{a}{2}\]\[ \Rightarrow - \dfrac{a}{2} = 2 \Leftrightarrow a = - 4\].
Vậy \[a = - 4,b = 0\].
b] Hàm số ban đầu là: \[y = {x^2} - 4x\].
Khi tịnh tiến đồ thị sang trái 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số
\[y = f\left[ {x + 1} \right] = {\left[ {x + 1} \right]^2} - 4\left[ {x + 1} \right] = {x^2} - 2x - 3\].
Khi tịnh tiến đồ thị trên xuống dưới 3 đơn vị ta được đồ thị của hàm số
\[y = {x^2} - 2x - 3 - 3 = {x^2} - 2x - 6\].
Vậy hàm số cần tìm là \[y = {x^2} - 2x - 6\].
Câu 4.
a] Ta có
\[\begin{array}{l}4\overrightarrow {{\rm{AF}}} = \overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{AF}}} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} \\ = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} } \right] = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {BC} \end{array}\]
b] Gọi D là trung điểm BC. Vì H thuộc cạnh BC nên đặt\[\overrightarrow {BH} = x\overrightarrow {BC} \].
Ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {FG} = \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {AG} = - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} \\ = - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right]\\ = \dfrac{1}{{12}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\]
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {FH} = \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {BH} = - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {BC} \\ = - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AB} \\ = \left[ { - x - \dfrac{3}{4}} \right]\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} \end{array}\]
Để F,G, H thẳng hàng thì tồn tại số k khác 0 để \[\overrightarrow {FG} = k\overrightarrow {FH} \]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{12}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} = k\left[ {\left[ { - x - \dfrac{3}{4}} \right]\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right]\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - kx - \dfrac{3}{4}k = \dfrac{1}{{12}}\\kx = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - \dfrac{5}{9}\\x = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.\]
Vậy \[x = - \dfrac{3}{5}\].
c] \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] nên ta có:
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \]\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{2}{3}.3\overrightarrow {MG} = 2\overrightarrow {MG} \].
Hay \[N\] là điểm đối xứng với \[M\] qua \[G\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {GN} = \overrightarrow {MG} \]
Gọi \[O'\] là điểm đối xứng với \[O\] qua \[G\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {GO'} = \overrightarrow {OG} \]
Khi đó \[\overrightarrow {NO'} = \overrightarrow {OM} \Rightarrow O'N = OM = R\]. Vì O và G cố định nên O cố định, do đó khi M chạy trên đường tròn tâm \[O\] bán kính R thì \[N\] chạy trên đường tròn tâm \[O'\] bán kính R.