Đề bài
Giải phương trình \[\displaystyle {{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Tìm ĐKXĐ.
+]\[\dfrac{A}{B} = 0 \Rightarrow A = 0\]
+] Giải phương trình lượng giác cơ bản:\[\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi\end{array} \right.\,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Lời giải chi tiết
Điều kiện: \[\sin 2x\neq 1\Leftrightarrow 2x\neq \dfrac{\pi }{2}+k2 \pi \] \[\Leftrightarrow x\neq \dfrac{\pi }{4}+k \pi[k\in \mathbb{Z}]\]
\[\displaystyle {{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\]
\[\Rightarrow 2\cos 2x=0\]
\[ \Leftrightarrow \cos 2x = 0\]
\[\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \]
\[\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Kiểm tra ĐK:
\[\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} \ne \dfrac{\pi }{4} + l\pi \]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{k\pi }}{2} \ne l\pi \]
\[\Leftrightarrow \dfrac{k}{2} \ne l\]
\[\Leftrightarrow k \ne 2l\]
Hay \[k\] không thể nhận các giá trị chẵn.
Do đó k lẻ nên \[k = 2m + 1\].
Vậy \[x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\left[ {2m + 1} \right]\pi }}{2} = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi \].
Vậy phương trình có nghiệm\[x = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi ,m\in Z \].
Chú ý: Nghiệm \[x = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi \] cũng có thể viết thành \[x = - \dfrac{\pi }{4} + n\pi \] bằng cách đặt \[m = n - 1\].
Các em cũng có thể vẽ đường tròn đơn vị để loại nghiệm như sau:
Các điểm biểu diễn \[x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \] là \[{M_1},{M_2}\] nhưng điều kiện là \[x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi \] nên hai điểm này không lấy.
Các điểm biểu diễn \[x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\] là \[{M_1},{M_2},{M_3},{M_4}\] nhưng do không lấy hai điểm \[{M_1},{M_2}\] nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn \[{M_3},{M_4}\].
Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua \[O\] và \[\widehat {AO{M_4}} = - \dfrac{\pi }{4}\] nên nghiệm của phương trình là \[x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].