Tam giác Pascal là một trong những mẫu số thú vị trong toán học. Đây là một mảng tam giác được xây dựng bằng cách tính tổng các phần tử liền kề trong các hàng trước đó
Mục lục
Lịch sử
Tam giác Pascal được đặt tên theo nhà toán học người Pháp ở thế kỷ 17, Blaise Pascal [1623 – 1662], mặc dù các nhà toán học khác đã nghiên cứu nó trước ông nhiều thế kỷ ở Ấn Độ, Ba Tư, Trung Quốc, Đức và Ý. Pascal đã đổi mới nhiều cách sử dụng các số của tam giác trước đây chưa được kiểm chứng, những cách sử dụng mà ông đã mô tả một cách toàn diện trong chuyên luận toán học sớm nhất được biết đến dành riêng cho tam giác, Traité du tam giác arithmétique [1654; xuất bản 1665] của ông.
Xây dựng Tam giác Pascal
Để tạo hình tam giác, hãy bắt đầu với “1” ở trên cùng, Trên hàng tiếp theo, viết hai số 1, tạo thành một hình tam giác. Trên mỗi hàng tiếp theo bắt đầu và kết thúc bằng 1 và tính mỗi số hạng bên trong bằng cách cộng hai số ở trên nó
Bằng cách lặp lại quá trình này, cuối cùng chúng ta sẽ có được một tam giác Pascal. Đây là một tam giác không bao giờ kết thúc.
Tính chất của Tam giác Pascal
- Mỗi số là tổng của hai số trên nó
- Tam giác là đối xứng
- Các đường chéo dọc theo cạnh trái và phải chỉ chứa 1. Các đường chéo cạnh các đường chéo cạnh chứa các số tự nhiên theo thứ tự. Đường chéo tiếp theo là các số tam giác. Tương tự, các đường chéo tiếp theo là số tứ diện hoặc số hình chóp tam giác
- Tính tổng các đường chéo của Tam giác Pascal căn trái tạo thành một dãy Fibonacci
- Tổng của các hàng cho lũy thừa của 2
- Mỗi hàng cho các chữ số lũy thừa của 11
- Bắt đầu với bất kỳ số nào trong tam giác và đi xuống đường chéo. Sau đó thay đổi hướng trong đường chéo cho số cuối cùng. Số cuối cùng đó là tổng của mọi số khác trong đường chéo, đây được gọi là Mẫu gậy khúc côn cầu
- Các số Catalan được tìm bằng cách lấy các đa giác và tìm xem có bao nhiêu cách chia chúng thành các hình tam giác. Những số này được tìm thấy trong tam giác Pascal bằng cách bắt đầu từ hàng thứ 3 ở giữa và trừ đi số liền kề với nó. .
- Nếu bạn tô đen tất cả các số chẵn, bạn sẽ nhận được một fractal. Đây cũng là đệ quy của Tam giác Sierpinki
Ứng dụng của Tam giác Pascal
Bây giờ hãy xem ứng dụng của tam giác Pascal
Khai triển nhị thức
Tam giác Pascals xác định các hệ số phát sinh trong khai triển nhị thức.
Giả sử bạn có nhị thức [x + y] và bạn muốn nâng nó lên lũy thừa chẳng hạn như 2 hoặc 3
Ví dụ
Hãy khai triển [x+y]³. Vì chúng ta đang nâng [x+y] lên lũy thừa bậc 3, hãy sử dụng các giá trị ở hàng thứ tư của Pascal làm hệ số khai triển của bạn. Sau đó điền vào các điều khoản x và y như được nêu dưới đây
xác suất
Tam giác Pascals có thể chỉ cho chúng ta cách kết hợp giữa mặt ngửa và mặt sấp. Điều này mang lại xác suất của bất kỳ sự kết hợp nào
Ví dụ
Nếu H là mặt ngửa và T là mặt sấp thì nếu một đồng xu được tung 4 lần, khả năng xuất hiện của các kết hợp là
- HHHH
- HHHT, HHTH, HTHH, THHH
- THTH, HTHT, HTHT, HTHT HTHT, THTH
- HTTT, THTT, TTHT, TTTH
- TTTT
Như vậy mẫu quan sát được là 1,4,6,4,1. [Một hàng trong tam giác Pascal]
kết hợp
Một ứng dụng hữu ích của tam giác Pascals là tính toán các tổ hợp
Chúng ta biết rằng Nếu số lượng kết hợp của n thứ được lấy k tại một thời điểm [được gọi là n chọn k] có thể được tìm thấy theo phương trình \[C[n, k] = C^{n}_{k} = {n \ . {k. [n – k]. }\]
Nhưng đây cũng là công thức cho một ô trong tam giác Pascal. Vì vậy, chúng ta chỉ có thể tra cứu mục nhập cụ thể đó và trong tam giác và tìm ra nó
Ghi chú. Để thực hiện việc này, việc đánh số hàng đầu tiên và mục đầu tiên trong hàng phải bắt đầu từ 0
Ví dụ. [Để tìm giá trị kết hợp]
Giả sử một đội bóng rổ có 11 cầu thủ và muốn biết có bao nhiêu cách chọn 8
Câu trả lời là mục 8 ở hàng 11, là 165;
[Điều này chỉ xảy ra khi đánh số bắt đầu từ 0, ngược lại nếu bắt đầu từ 1 thì chúng ta sẽ phải xem mục thứ 9 trong cột 12]
Ví dụ về Tam giác Pascal
Câu hỏi 1. Mở rộng \[[a – 3b]^{4}\].
Giải pháp
Sử dụng tam giác, các hệ số cho sự mở rộng này là 1, 4, 6, 4 và 1. Các dấu hiệu cho mỗi thuật ngữ sẽ thay thế, vì dấu hiệu tiêu cực
\[[a – 3b]^{4}\\
= 1a^4 – 4a^3[3b] + 6a^2[3b]^2 – 4a[3b]^3 + 1[3b]^4\\
= a^4 – 12a^3b + 6a^2[9b^2] – 4a[27b^3] + 81b^4\\
=> > a^4 – 12a^3b + 54a^2b^2 – 108ab^3 + 81b^4
\]
Câu hỏi 2. Trong Tam giác Pascals, mỗi mục là tổng của hai mục phía trên nó. Trong hàng nào của tam giác có ba mục liên tiếp xảy ra theo tỷ lệ 3. 4. 5?
Giải pháp. Gọi hàng là x, và số từ phía ngoài cùng bên trái là t.
Gọi số hạng đầu tiên trong tỉ số \[N\] là \[N = {x \choose t}\]
Số hạng tiếp theo là \[N * \frac{x – t}{t + 1}\],
và số hạng cuối cùng là \[N * \frac{[x – t] * [x – t – 1]}{[t + 1] * [t + 2]}\]
Bởi vì chúng ta có tỷ lệ,
\[N. N * \frac{x – t}{t + 1}. N * \frac{[x – t] * [x – t – 1]}{[t + 1] * [t + 2]} = 3. 4. 5\]
Vì vậy, \[\frac{x – t}{t + 1} = \frac{4}{3}\] và \[\frac{[x – t] * [x – t – 1]}{[t
Giải phương trình ta được t = 26 và x = 69
câu hỏi thường gặp
Quy tắc cho tam giác Pascal là gì?
Tam giác Pascal là tam giác đều vô tận các số tuân theo quy tắc cộng hai số trên được số dưới. Hai trong số các cạnh là “tất cả bằng 1” và vì tam giác là vô hạn nên không có “cạnh đáy. ”
Mục đích của tam giác Pascal là gì?
Tam giác Pascal có nhiều ứng dụng trong toán học và thống kê, bao gồm khả năng giúp bạn tính toán các kết hợp
Tại sao gọi là tam giác Pascal?
Tam giác Pascal được đặt tên theo Blaise Pascal, một nhà toán học người Pháp đã sử dụng tam giác này như một phần trong nghiên cứu của ông về lý thuyết xác suất vào thế kỷ 17. Dù Blaise Pascal không thực sự “phát hiện” ra tam giác mang tên ông, nó thực sự đã được nghiên cứu trên toàn thế giới hàng nghìn năm nay