Phương pháp thực hiện
Bước 2: Nhận xét rằng hàm số [1] là hàm số lẻ.
2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f[x] nhận điểm I[a, b] làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 2: Đồ thị hàm số nhận I[a, b] làm tâm đối xứng hàm số [1] là hàm số lẻ tham số .
3. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = f[x] đối xứng qua điểm I[a, b], ta thực hiện theo các bước sau:
4. Tìm phương trình đường cong đối xứng với [C]: y = f[x] qua điểm I[x0, y0], ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 3: Khử x1, y1 từ hệ [I] ta được phương trình của đường cong [H].
1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f[x] nhận điểm I[a, b] làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Với phép biến đổi toạ độ $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y - b\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y + b\end{array} \right.$
hàm số có dạng: Y + b = f[X + a] Y = F[X] [1]
Bước 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I[a, b] làm tâm đối xứng.
Bước 1: Thực hiện phép biến đổi toạ độ
Bước 3: Kết luận.
Bước 1: Lấy hai điểm A[xA, y[xA]] và B[xB, y[xB]] thuộc đồ thị hàm số.
Bước 2: Hai điểm A và B đối xứng qua điểm I[a, b]
$\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2a\\{y_A} + {y_B} = 2b\end{array} \right.$ => toạ độ A và B.
Bước 1: Gọi [H] là đường cong đối xứng với [C] qua điểm I[x0, y0].
Bước 2: Khi đó, với mỗi M[x, y]∈[H]
∃M1[x1, y1]∈[C] sao cho M đối xứng với M1 qua I
∃ x1, y1 thoả mãn: $\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = f[{x_1}]\\{x_1} + x = 2{x_0}\\{y_1} + y = 2{y_0}\end{array} \right.$ [I]
Thí dụ 1. Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số sau: a. y = 2x$^3$ - 6x + 3. b. y = $\frac{x}{{2x + 1}}$.a. Giả sử hàm số nhận điểm I[a, b] làm tâm đối xứng. Với phép biến đổi toạ độ: $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y - b\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y + b\end{array} \right.$ khi đó hàm số có dạng: Y + b = 2[X + a]$^3$ - 6[X + a] + 3 Y = 2X$^3$ + 6aX$^2$ + [6a - 6]X + 2a$^3$ - 6a + 3 - b [1] Hàm số [1] là lẻ $\left\{ \begin{array}{l}6a = 0\\2{a^3} - 6a - b + 3 = 0\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 3\end{array} \right.$. Vậy, hàm số có tâm đối xứng I[0; 3].
b. Viết lại hàm số dưới dạng:
Chú ý: Đồ thị hàm số:
- y = f[x] = ax$^3$ + bx$^2$ + cx + d, với a ≠ 0 luôn nhận điểm U[-$\frac{b}{{3a}}$, f[-$\frac{b}{{3a}}$]] làm tâm đối xứng.
- y = f[x] = $\frac{{ax + b}}{{cx + d}}$, với c ≠ 0, D = ad - bc ≠ 0 luôn nhận điểm I[-$\frac{d}{c}$, $\frac{a}{c}$] làm tâm đối xứng.
- y = f[x] = $\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}$, với a, d ≠ 0 luôn nhận điểm I[-$\frac{e}{d}$, f[-$\frac{e}{d}$]] làm tâm đối xứng.
Thí dụ 2. Cho hàm số: y = $\frac{{[2m - 1]x - m + 2}}{{mx - 1}}$. Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I[1; 1] làm tâm đối xứng.
Điểm I[1; 1] là tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi toạ độ: $\left\{ \begin{array}{l}X = x - 1\\Y = y - 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}x = X + 1\\y = Y + 1\end{array} \right.$ hàm số sau là hàm lẻ Y + 1 = $\frac{{[2m - 1][X + 1] - m + 2}}{{m[X + 1] - 1}}$ Y = $\frac{{[2m - 1][X + 1] - m + 2}}{{mX + m - 1}}$ - 1. Để hàm số là hàm lẻ trước tiên nó phải có tập xác định D là tập đối xứng, tức là m = 0 hoặc m = 1. Thử lại:
- Với m = 0, ta được: Y = -X, là hàm số lẻ.
- Với m = 1, ta được: Y = $\frac{{X + 2}}{X}$ - 1 = $\frac{2}{X}$, là hàm số lẻ.
Thí dụ 3. Cho hàm số: [Cm]: y = $\frac{{{x^2} - 4mx + 5m}}{{x - 2}}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị [Cm] có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
Hai điểm A[xA,$\frac{{x_A^2 - 4m{x_A} + 5m}}{{{x_A} - 2}}$] và B[xB,$\frac{{x_B^2 - 4m{x_B} + 5m}}{{{x_B} - 2}}$] thuộc [Cm]. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\\frac{{x_A^2 - 4m{x_A} + 5m}}{{{x_A} - 2}} + \frac{{x_B^2 - 4m{x_B} + 5m}}{{{x_B} - 2}} = 0\,\,\,[2]\end{array} \right.$ Thay [1] vào [2] ta được: [2m - 1]$x_A^2$ = 5m [3] Để tồn tại hai điểm A và B thì phương trình [3] phải có nghiệm. Do 0 < $x_A^2\,$≠ 4 nên: 0 < $\frac{{5m}}{{2m - 1}}$ ≠ 4 $\left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2} < m \ne \frac{4}{3}\\m < 0\end{array} \right.$.
Vậy, với $\frac{1}{2}$ < m ≠ $\frac{4}{3}$ hoặc m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.
25/09/2021 82
Đáp án A
[C] có tiệm cận đứng là x=b−1; tiệm cận ngang là y=a+1
Tâm đối xứng của [C] là giao điểm của hai đường tiệm cận Ib−1;a+1
O là tâm đối xứng của C⇔I≡O b=1;a=−1⇒a+b=0
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Xem đáp án » 24/09/2021 953
Gọi S là diện tích hình phẳng [P] giới hạn bởi parabol tiếp tuyến với [P] tại điểm A[1;-1] và đường thẳng x=2 [như hình vẽ]. Tính S.
Xem đáp án » 25/09/2021 429
Đạo hàm của hàm số y=logx là
Xem đáp án » 25/09/2021 422
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt [SAB], [SAD] cùng vuông góc với mặt phẳng [ABCD]; góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng [ABCD] bằng 600. Tính theo thể tích của khối chóp S.ABCD
Xem đáp án » 25/09/2021 417
Tập nghiệm của phương trình logx2−1=log2x−1
Xem đáp án » 25/09/2021 388
Có bao nhiêu số nguyên dương y để tập nghiệm của bất phương trình log2x−2log2x−y