Đừng nhầm lẫn với hình bầu dục.
đường cong conic
Trong toán học, một hình elip là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Hình tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau. Độ dẹt của hình elip được biểu diễn bằng tâm sai e của nó, chạy từ e = 0 [trường hợp của đường tròn] đến e = 1 [độ dẹt vô hạn, không còn là elip mà là một parabol].
Phương trình chính tắc của một elip với tâm là gốc tọa độ và chiều dài 2a và chiều rộng 2b là:
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}Giả sử a ≥ b, các tiêu điểm có tọa độ [±c, 0] với
c
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
Elíp là một loại đường conic đóng: một đường cong phẳng bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng [xem hình bên]. Elíp có nhiều điểm tương đồng với hai đường conic khác là parabol và hyperbol, cả hai đều hở và không có giới hạn. Một mặt cắt nghiêng của một hình trụ tròn#Mặt cắt cũng có hình elíp.
Một hình elíp cũng có thể được định nghĩa chỉ với một tiêu điểm và một đường thẳng nằm ngoại elíp gọi là đường chuẩn: elíp là quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm và đường chuẩn là hằng số. Hằng số tỉ lệ này chính là tâm sai của elíp được tạo thành:
e = c a = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}Hình elíp rất thông dụng trong vật lý, thiên văn và kỹ thuật. Ví dụ, quỹ đạo của mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời gần giống một hình elíp với Mặt Trời là một tiêu điểm [chính xác, tiêu điểm là tâm tỉ cự của cặp Mặt Trời – hành tinh]. Quỹ đạo của mặt trăng xoay quanh hành tinh và tất cả cả hệ hai thiên thể khác đều như thế. Hình dạng của các hành tinh và sao thường được mô tả bằng hình ellipsoid. Một hình tròn nhìn từ một góc nghiêng trông giống một hình elíp, tức hình elíp là ảnh của hình tròn qua một phép chiếu song song hay vuông góc. Hình elíp cũng là dạng đường cong Lissajous đơn giản nhất, với chuyển động theo chiều ngang và dọc là các đường hình sin với cùng tần số. Hiện tượng tương tự dẫn đến phân cực elíp của ánh sáng trong quang học.
Từ nguyên
Tên gọi "elíp" [tiếng Anh: ellipse], xuất phát từ tiếng Hy Lạp cổ đại: ἔλλειψις [élleipsis, "thiếu"], được đưa ra bởi Apollonius xứ Perga trong quyển Conics của ông.
Định nghĩa quỹ tích
Một đường elíp có thể được xác định là tập hợp hay quỹ tích các điểm trên mặt phẳng Euclid:
Với hai điểm cố định F1, F2 gọi là tiêu điểm và một khoảng cách 2a lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm, đường elíp là quỹ tích các điểm P sao cho tổng các khoảng cách | PF1 |, | PF2 | bằng 2a. Tức là E = { P ∈ R 2 : | P F 1 | + | P F 2 | = 2 a } . {\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}:\,|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a\right\}.}Trung điểm C của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm gọi là tâm của elíp. Đường thẳng nối hai tiêu điểm là trục lớn, và đường vuông góc với nó đi qua tâm là trục bé. Các trục của hình elíp cắt elíp tại bốn điểm, gọi là các đỉnh của elíp. Độ dài đoạn thẳng F1F2 = 2c được gọi là tiêu cự, và c là bán tiêu cự. Tỉ số e = c / a được gọi là độ lệch tâm hay tâm sai.
Trường hợp F1 ≡ F2 cho ta một đường tròn, trường hợp đặc biệt của elíp.
Phương trình | PF1 | + | PF2 | = 2a có thể được xem theo cách khác:
Nếu c2 là đường tròn với tâm là F2 và bán kính 2a thì quỹ tích các điểm P có khoảng cách đến đường tròn c2 bằng khoảng cách đến tiêu điểm F1 tạo thành một đường elíp: E = { P ∈ R 2 : | P F 1 | = | P c 2 | } . {\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}:\,|PF_{1}|=|Pc_{2}|\right\}.}Đường tròn c2 gọi là đường tròn chuẩn [với tâm là tiêu điểm F2] của elíp.[1] Ngoài ra, còn một định nghĩa thường dùng của elíp sử dụng đường chuẩn được nêu ở dưới.
Sử dụng mặt cầu Dandelin, ta có thể chứng minh bất kì mặt cắt nghiêng của một hình nón là một hình elíp, với điều kiện mặt phẳng cắt không đi qua đỉnh và có độ dốc bé hơn độ dốc đường sinh của mặt nón.
Hệ tọa độ Descartes
- a: bán trục lớn,
- b: bán trục bé,
- c: bán tiêu cự,
- p: bán trục bên [thường ký hiệu ℓ]
Phương trình chính tắc
Trong suốt phần còn lại của bài, [E] là elíp trong hệ tọa độ Descartes với tâm tại gốc tọa độ, trục lớn là trục x và
tiêu điểm là F1 = [c, 0], F2 = [−c, 0], các đỉnh là V1 = [a, 0], V2 = [−a, 0],trong đó a > c.
Với một điểm có tọa độ [x, y] nằm trên elíp [E], bán kính qua tiêu điểm [c, 0] là
[
x
−
c
]
2
+
y
2
{\displaystyle {\sqrt {[x-c]^{2}+y^{2}}}}
Biến đổi thích hợp và đặt ẩn phụ b2 = a2 − c2 cho ta phương trình chính tắc của elíp [E]:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
|
|
[1] |
Giải tìm y, ta được
y = ± b a a 2 − x 2 = ± [ a 2 − x 2 ] [ 1 − e 2 ] . {\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left[a^{2}-x^{2}\right]\left[1-e^{2}\right]}}.}Chiều rộng và chiều cao a, b được gọi là bán trục lớn và bán trục bé của elíp. Bán kính qua tiêu điểm trái và phải của [x, y] lần lượt là a + ex và a − ex.
Từ phương trình này dễ thấy hình elíp đối xứng qua các trục tọa độ và qua gốc tọa độ.
Chứng minh phương trình chính tắcTừ phương trình tổng khoảng cách
[ x − c ] 2 + y 2 + [ x + c ] 2 + y 2 = 2 a {\displaystyle {\sqrt {[x-c]^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {[x+c]^{2}+y^{2}}}=2a}Chuyển vế một dấu căn rồi bình phương hai vế, ta được
Rút gọn phương trình trên cho ta
a 2 + c x = a [ x + c ] 2 + y 2 [ a 2 + c x ] 2 = a 2 [ [ x + c ] 2 + y 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+cx&=a{\sqrt {[x+c]^{2}+y^{2}}}\\\left[a^{2}+cx\right]^{2}&=a^{2}\left[[x+c]^{2}+y^{2}\right]\\\end{aligned}}}Rút gọn phương trình trên và sắp xếp lại các hạng tử, ta được:
a 2 [ a 2 − c 2 ] = [ a 2 − c 2 ] x 2 + a 2 y 2 {\displaystyle a^{2}[a^{2}-c^{2}]=[a^{2}-c^{2}]x^{2}+a^{2}y^{2}}Đặt b2 = a2 − c2 rồi chia cả hai vế của phương trình trên cho ta [ab]2, ta được phương trình chính tắc của elíp.
Bán trục lớn và bé
Trong suốt bài viết này, a sẽ là bán trục lớn còn b là bán trục bé, tức a ≥ b > 0. Trong dạng chính tắc của elíp [1], nếu a < b thì elíp sẽ dài chứ không dẹt.
Bán tiêu cự
Bán tiêu cự c là khoảng cách từ một tiêu điểm đến tâm elíp: c = a 2 − b 2 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} .
Độ lệch tâm
Độ lệch tâm hay tâm sai e là
e = c a = 1 − [ b a ] 2 {\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left[{\frac {b}{a}}\right]^{2}}}}với điều kiện a > b. Một elíp với hai trục bằng nhau [a = b] có tâm sai bằng 0, và là một đường tròn. Một elíp với trục bé bằng 0 có tâm sai bằng 1, và là một parabol.
Bán trục bên
Độ dài của dây cung qua một tiêu điểm và vuông góc với trục lớn được gọi là trục bên [tiếng Anh: latus rectum]. Một nửa độ dài đó là bán trục bên, thường được ký hiệu là ℓ và bằng
ℓ = b 2 a = a [ 1 − e 2 ] . {\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left[1-e^{2}\right].}Bán trục bên ℓ bằng bán kính cong của đường tròn mật tiếp elíp tại các đỉnh trên trục lớn.
Tiếp tuyến
Một đường thẳng d tùy ý cắt elíp tại 2 điểm gọi là cát tuyến, tại 1 điểm là tiếp tuyến. Tiếp tuyến của elíp [E] tại điểm [x1, y1] có phương trình tọa độ là:
x 1 a 2 x + y 1 b 2 y = 1. {\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}Phương trình tham số của tiếp tuyến này là:
{ x = x 1 − y 1 a 2 t y = y 1 + x 1 b 2 t [ t ∈ R ] {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{1}-y_{1}a^{2}t\\y=y_{1}+x_{1}b^{2}t\end{cases}}\,[t\in \mathbb {R} ]}Hoặc viết theo dạng vectơ thì:
d → = [ x 1 , y 1 ] + t [ − y 1 a 2 , x 1 b 2 ] . {\displaystyle {\vec {d}}=[x_{1},y_{1}]+t[-y_{1}a^{2},x_{1}b^{2}].}Nếu hai điểm trên elíp [x1, y1] và [x2, y2] thỏa
x
1
x
2
a
2
+
y
1
v
b
2
=
0
{\textstyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}
Xét điểm [x1, y1] nằm trên elíp [E] và
d
→
=
[
x
1
,
y
1
]
+
t
[
u
,
v
]
{\textstyle {\vec {d}}=[x_{1},y_{1}]+t[u,v]}
Đến đây ta có hai trường hợp:
-
x
1
a
2
u
+
y
1
b
2
v
=
0.
{\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}
Tức t = 0, hay P chính là [x1, y1]. Nói cách khác, đường thẳng g chỉ cắt elíp tại một điểm duy nhất là [x1, y1], tức g là tiếp tuyến tại đó. Vectơ pháp tuyến của g là [ x 1 a 2 , y 1 b 2 ] {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}},{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}, do đó phương trình tiếp tuyến là x 1 a 2 x + y 1 b 2 y = k {\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}với một số k nào đó. Vì [x1, y1] nằm trên tiếp tuyến đó, thế vào ta được k = 1.
-
x
1
a
2
u
+
y
1
b
2
v
≠
0.
{\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}
Khi ấy đường thẳng g cắt elíp tại hai điểm, tương ứng với t = 0 {\displaystyle t=0}và t = − 2 [ x 1 u a 2 + y 1 v b 2 ] [ u 2 a 2 + v 2 b 2 ] − 1 . {\displaystyle t=-2\left[{\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right]\left[{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right]^{-1}.}Tức g là cát tuyến qua elíp [E].
Tâm khác gốc tọa độ
Nếu elíp chuẩn trên có tâm tại [x0, y0] thì phương trình chính tắc của nó là:
[ x − x 0 ] 2 a 2 + [ y − y 0 ] 2 b 2 = 1 . {\displaystyle {\frac {\left[x-x_{0}\right]^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left[y-y_{0}\right]^{2}}{b^{2}}}=1\ .}Các trục của elíp vẫn song song với trục x và y.
Elíp tổng quát
Bài chi tiết: Biểu diễn ma trận của các đường conic
Trong hình học giải tích, hình elíp là một mặt bậc hai: tập hợp các điểm
[
X
,
Y
]
{\displaystyle [X,\,Y]}
A
X
2
+
B
X
Y
+
C
Y
2
+
D
X
+
E
Y
+
F
=
0
{\displaystyle AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0}
|
|
[2] |
với điều kiện B 2 − 4 A C < 0. {\displaystyle B^{2}-4AC 0, phương trình không có nghiệm thực, và nếu ∆ = 0, elíp suy biến thành một điểm.[4]:tr.63
Nếu một elíp có bán trục lớn a, bán trục bé b, tọa độ của tâm là [x0, y0], và góc quay ϕ [góc giữa trục x dương đến bán trục lớn của elíp] thì hệ số của phương trình [2] là:
A = a 2 [ sin ϕ ] 2 + b 2 [ cos ϕ ] 2 B = [ b 2 − a 2 ] sin 2 ϕ C = a 2 [ cos ϕ ] 2 + b 2 [ sin ϕ ] 2 D = − 2 A x 0 − B y 0 E = − B x 0 − 2 C y 0 F = A x 0 2 + B x 0 y 0 + C y 0 2 − a 2 b 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}[\sin \phi ]^{2}+b^{2}[\cos \phi ]^{2}\\B&=\left[b^{2}-a^{2}\right]\sin 2\phi \\C&=a^{2}[\cos \phi ]^{2}+b^{2}[\sin \phi ]^{2}\\D&=-2Ax_{0}-By_{0}\\E&=-Bx_{0}-2Cy_{0}\\F&=Ax_{0}^{2}+Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}Những biểu thức này có thể suy ra từ phương trình chính tắc
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
Ngược lại, từ phương trình tổng quát [2] ta có thể suy ra phương trình chính tắc như sau:
a , b = − − 2 Δ [ [ A + C ] ± [ A − C ] 2 + B 2 ] B 2 − 4 A C x 0 = 2 C D − B E B 2 − 4 A C y 0 = 2 A E − B D B 2 − 4 A C ϕ = { arctan [ 1 B [ C − A − [ A − C ] 2 + B 2 ] ] B ≠ 0 0 B = 0 , A < C 90 ∘ B = 0 , A > C {\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {-2\Delta \left[\left[A+C\right]\pm {\sqrt {[A-C]^{2}+B^{2}}}\right]}}}{B^{2}-4AC}}\\x_{0}&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}\\[3pt]y_{0}&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}\\[3pt]\phi &={\begin{cases}\arctan \left[{\dfrac {1}{B}}\left[C-A-{\sqrt {\left[A-C\right]^{2}+B^{2}}}\right]\right]&\quad B\neq 0\\0&\quad B=0,\ AC\\\end{cases}}\end{aligned}}}Biểu diễn tham số
Biểu diễn tham số chính tắc
Sử dụng các hàm lượng giác, biểu diễn tham số của elíp chuẩn x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} là:
{ x = a cos t y = b sin t 0 ≤ t < 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}\quad 0\leq t