Lý thuyết: Đường trung bình của tam giác, của hình thang
- Xem
- Lịch sử chỉnh sửa
- Bản đồ
- Files
Đường trung bình của tam giác, của hình thang
Mục lục
1. Đường trung bình của tam giác [edit]
2. Chứng minh một đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác [edit]
3. Đường trung bình của hình thang [edit]
4. Chứng minh một đoạn thẳng là đường trung bình của hình thang [edit]
Đường trung bình của tam giác [edit]
Định lí 1
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
GT: \[\DeltaABC, AM=MB, MN \parallel BC\]
KL: \[AN=NC\]
Chứng minh:
Qua \[N\] kẻ đường thẳng song song với \[AB\], cắt \[BC\] tại \[P\].
Hình thang \[MNPB\] có hai cạnh bên song song\[[MB \parallel NP]\] nên \[MB=NP\].
Do \[MB=AM\] [giả thiết]
suy ra \[AM=NP\].
Xét \[\Delta AMN\] và \[\Delta NPC\] ta có:
\[AM=NP\] [chứng minh trên]
\[\widehat{A}=\widehat{N_1}\] [hai góc đồng vị]
\[\widehat{M_1}=\widehat{P_1}\] [cùng bằng \[\widehat{B}\]]
Do đó \[\Delta AMN= \Delta NPC\].
\[\Rightarrow AN=NC\].
Vậy \[N\] là trung điểm của \[AC\]. \[\square\]
Đường thẳng \[MN\] ở chứng minh trên có nhiều tính chất thú vị và được áp dụng nhiều trong việc giải toán. Nó được gọi là đường trung bình của tam giác \[ABC.\]
Định nghĩa đường trung bình của tam giác
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Ở hình vẽ trên, \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\].
Lưu ý: Một tam giác có ba đường trung bình, tương ứng với ba cạnh đáy. Trong chứng minh Định lí 1, \[NP\] cũng là một đường trung bình của tam giác \[ABC\].
Định lí 2
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
GT: \[\DeltaABC, AM=MB, AN=NC\]
KL: \[MN \parallel BC, MN=\dfrac{1}{2}BC\]
Chứng minh:
Giả sử \[MN\] không song song với \[BC.\]
Khi đó, theo tiên đề Ơcit, tồn tại duy nhất đường thẳng \[MN'\] đi qua \[M\] và song song với \[BC,\]\[MN'\] không trùng với \[MN.\] [*]
Theo Định lí 1, thì \[MN'\] phải đi qua trung điểm của cạnh \[AC\], hay nói cách khác, \[MN'\] phải đi qua điểm \[N.\]
Do đó đường thẳng \[MN'\] trùng với đường thẳng \[MN.\] Điều này mâu thuẩn với [*].
Vậy \[MN\parallel BC\]. [1]
Kẻ \[NP\parallel AB, P \in BC.\]
Khi đó, hình thang \[MNPB [NP\parallel MN]\] có hai cạnh bên song song \[[MN\parallel BP]\] nên \[MN = BP\]
Mặt khác do \[P\] cũng là trung điểm của \[BC\] [theo Định lí 1], nên \[BP=\dfrac{1}{2}BC\]
Vậy\[MN=\dfrac{1}{2}BC\] [2]
Từ [1] và [2] ta có điều phải chứng minh. \[\square\]
Chứng minh một đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác [edit]
Từ các định lí trên, ta rút ra được hai cách cơ bản để chứng minh một đường thẳng là đường trung bình của tam giác.
Cách 1: Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[N\] là trung điểm của \[AC.\]
Cách 2: Chứng minh \[M\] làtrung điểm của \[AB\] và \[MN \parallel BC.\]
Đường trung bình của hình thang [edit]
Định lí 3
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
GT: \[ABCD\] là hình thang, \[AB \parallel CD\]
\[AM=MD, MN\parallel AB, MN\parallel DC\]
KL: \[BN=NC\]
Chứng minh:
Gọi \[I\] là giao điểm của \[AC\] và \[MN.\]
Xét \[\Delta ADC\] ta có:
\[AM=MD\] [giả thiết]
\[MI\parallel DC\][giả thiết]
Suy ra \[AI=IC\]
Xét \[\Delta ACB\] ta có:
\[AI=IC\] [chứng minh trên]
\[IN\parallel AB\] [giả thiết]
Suy ra \[BN=NC\]
Vậy \[N\] là trung điểm của \[BC.\] \[\square\]
Đường thẳng\[MN\] có tính chất như trên được gọi là đường trung bình của hình thang \[ABCD\].
Định nghĩa đường trung bình của hình thang
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Định lí 4
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
GT: \[ABCD\] là hình thang, \[AB \parallel CD\]
\[AM=MD, BN=NC\]
KL: \[MN\parallel AB, MN\parallel DC, MN=\dfrac{AB+CD}{2}\]
Chứng minh:Gọi \[P\] là giao điểm của \[AN\] và \[DC.\]
Xét hai \[\Delta NAB\] và \[\Delta NPC\] ta có:
\[\widehat{N_1} = \widehat{N_2}\] [đối đỉnh]
\[BN=NC\] [giả thiết]
\[\widehat{B}=\widehat{NCP}\] [so le trong]
Do đó \[\Delta NAB = \Delta NPC\] [g.c.g].
Suy ra, \[AN=NP, AB=CP\]
Vì \[M\] là trung điểm của \[AD, N\] là trung điểm của \[AP\] nên \[MN\] là đường trung bình của \[\Delta ADP.\]
Suy ra \[MN\parallel DP\] và \[MN= \dfrac{1}{2} DP\]
Mặt khác, \[DP=DC+CP=DC+AB,\] do đó:
\[MN=\dfrac{AB+CD}{2}\].\[\square\]
Chứng minh một đoạn thẳng là đường trung bình của hình thang [edit]
Từ các định lí trên, ta rút ra được hai cách cơ bản để chứng minh một đường thẳng là đường trung bình của tam giác.
Cách 1: Chứng minh \[M\]là trung điểm của \[AB\]và \[N\]là trung điểm của \[BC.\]
Cách 2: Chứng minh \[M\]làtrung điểm của \[AB\]và \[MN \parallel CD.\]
- đường trung bình
- đường trung bình tam giác
- đường trung bình hình thang