Cho hàm số y = f[x] liên tục trên khoảng [a ; b] và điểm x ∈ [a ; b].
Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 12 tất cả các môn
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD
1. Định nghĩa
Cho hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên khoảng \[[a ; b]\] và điểm \[x_0 \in [a ; b].\]
Quảng cáo
- Nếu tồn tại số \[h > 0\] sao cho \[f[x] < f[x_0], ∀x ∈ [x_0- h ; x_0+ h], x \neq x_0\] thì ta nói hàm số \[f\] đạt cực đại tại \[x_0.\]
- Nếu tồn tại số \[h > 0\] sao cho \[f[x] > f[x_0], ∀x ∈ [x_0- h ; x_0+ h], x \neq x_0\] thì ta nói hàm số \[f\] đạt cực tiểu tại \[x_0.\]
Chú ý:
- Cần phân biệt các các khái niệm:
- Điểm cực trị \[{x_0}\] của hàm số.
- Giá trị cực trị của hàm số.
- Điểm cực trị \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] của đồ thị hàm số.
- Nếu \[y = f\left[ x \right]\] có đạo hàm trên \[\left[ {a;b} \right]\] và đạt cực trị tại \[{x_0} \in \left[ {a;b} \right]\] thì \[f'\left[ {{x_0}} \right] = 0\].
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1. Cho hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên khoảng \[K = [x_0- h ; x_0+ h] [h > 0]\] và có đạo hàm trên \[K\] hoặc trên \[K{\rm{\backslash }}\left\{ {{\rm{ }}{x_0}} \right\}\]
+] Nếu \[\left\{ \matrix{f'\left[ x \right] > 0 \, | \, \forall \left[ {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right] \hfill \cr f'\left[ x \right] < 0 \, | \, \forall \left[ {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right] \hfill \cr} \right.\] thì \[x_0\] là điểm cực đại của hàm số
+] Nếu \[\left\{ \matrix{f'\left[ x \right] < 0 \, | \, \forall \left[ {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right] \hfill \cr f'\left[ x \right] > 0 \, | \, \forall \left[ {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right] \hfill \cr} \right.\] thì \[x_0\] là điểm cực tiểu của hàm số
Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.
Định lý 2:
Giả sử \[y = f\left[ x \right]\] có đạo hàm cấp 2 trong \[\left[ {{x_0} - h;{x_0} + h} \right]\left[ {h > 0} \right]\].
- Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left[ {{x_0}} \right] = 0\\f''\left[ {{x_0}} \right] > 0\end{array} \right.\] thì \[{x_0}\] là một điểm cực tiểu của hàm số.
- Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left[ {{x_0}} \right] = 0\\f''\left[ {{x_0}} \right] < 0\end{array} \right.\] thì \[{x_0}\] là một điểm cực đại của hàm số.
3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:
Quy tắc 1: [suy ra từ định lý 1]
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính \[f'\left[ x \right]\], tìm các điểm tại đó \[f'\left[ x \right] = 0\] hoặc không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.
+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.
Quy tắc 2: [suy ra từ định lý 2]
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính \[f'\left[ x \right]\], giải phương trình \[f'\left[ x \right] = 0\] và kí hiệu \[{x_1},...,{x_n}\] là các nghiệm của nó.
- Bước 3: Tính \[f''\left[ x \right]\] và \[f''\left[ {{x_i}} \right]\].
- Bước 4: Dựa và dấu của \[f''\left[ {{x_i}} \right]\] suy ra điểm cực đại, cực tiểu:
+ Tại các điểm \[{x_i}\] mà \[f''\left[ {{x_i}} \right] > 0\] thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Tại các điểm \[{x_i}\] mà \[f''\left[ {{x_i}} \right] < 0\] thì đó là điểm cực đại của hàm số.
- Trả lời câu hỏi 1 trang 13 SGK Giải tích 12 Dựa vào đồ thị [H.7, H.8], hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất [nhỏ nhất]...
- Trả lời câu hỏi 2 trang 14 SGK Giải tích 12 Giả sử f[x] đạt cực đại tại xo. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số...
- Trả lời câu hỏi 3 trang 14 SGK Giải tích 12 Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không....
- Trả lời câu hỏi 4 trang 16 SGK Giải tích 12 Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?...
- Trả lời câu hỏi 5 trang 16 SGK Giải tích 12 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
\>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
\>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Giá trị cực trị của hàm số là gì?
Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó.
Giá trị cực tiểu của hàm số là gì?
x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] > f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}. Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Điểm cực trị nám ở đâu?
Địa điểm cực trị.
Hàm số đạt cực đại tại x0 khi nào?
Nếu f''[x0] \> 0 thì hàm số f[x] đạt cực tiểu tại điểm x0. Nếu f''[x0] \= 0 ta chưa thể kết luận và cần phải lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số.