Giải chi tiết:
Cho \[a,b,c\] là các số thực không âm và thỏa mãn \[a + b + c = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[K = \sqrt {12a + {{\left[ {b - c} \right]}^2}} + \sqrt {12b + {{\left[ {a - c} \right]}^2}} + \sqrt {12c + {{\left[ {a - b} \right]}^2}} .\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}12a + {\left[ {b - c} \right]^2} = 4a.3 + {b^2} - 2bc + {c^2} = 4a.\left[ {a + b + c} \right] + {b^2} - 2bc + {c^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{a^2} + 4ab + 4ac + {b^2} + {c^2} - 2bc\end{array}\]
Tương tự ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}12b + {\left[ {a - c} \right]^2} = 4{b^2} + 4bc + 4ba + {a^2} + {c^2} - 2ac\\12c + {\left[ {a - b} \right]^2} = 4{c^2} + 4ac + 4bc + {a^2} + {b^2} - 2ab\end{array} \right..\]
Giả sử: \[a \le b \le c\, \Rightarrow a \le b \le c \le 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {do\,\,a + b + c = 3} \right]\]
Áp dụng bất đẳng thức: \[{\left[ {x + y + z} \right]^2} \le 3\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right]\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow {K^2} \le 3.\left[ {12a + {{\left[ {b - c} \right]}^2} + 12b + {{\left[ {a - c} \right]}^2} + 12c + {{\left[ {a - b} \right]}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 3.\left[ {\left[ {4{a^2} + 4ab + 4ac + {b^2} + {c^2} - 2bc} \right] + \left[ {4{b^2} + 4ba + 4bc + {a^2} + {c^2} - 2ac} \right] + \left[ {4{c^2} + 4ac + 4bc + {b^2} + {a^2} - 2ab} \right]} \right]\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 3\left[ {6{a^2} + 6{b^2} + 6{c^2} + 6ab + 6bc + 6ac} \right]\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 18\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca} \right]\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 9\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right] + 9\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca} \right]\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 9\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right] + 9{\left[ {a + b + c} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 9.3 + {9.3^2}\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 108\\ \Leftrightarrow K \le \sqrt {108} = 6\sqrt 3 \end{array}\]Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \,a = b = c = 1.\]
Vậy giá trị lớn nhất của \[K\] là \[6\sqrt 3 \] khi và chỉ khi \[a = b = c = 1\].
Chọn B.
Các câu hỏi tương tự
Cho biết a, b , c là các số có một chữ số. Viết tiếp vào chỗ chấm:
a] Giá trị lớn nhất của biểu thức : a + b + c = …………………………...
b] Giá trị bé nhất của biểu thức : a + b + c = …………………………..
Tìm gía trị lớn nhất của biểu thức a×b×c biết a,b,c là ba số khác nhau và là số có một chữ số
VietJack
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.