-Hiều đề,vững các phép biến đổi biểu thức để có thể biểu diễn ẩn và giải phương trình hoặc hệ phương trình.
*Phương pháp giải:
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
-Chọn ẩn số,đặt điều kiện của ẩn số.
-Biểu diễn các đại lượng đề bài theo ẩn số.
-Lập phương trình hoặc hệ phương trình để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng của đề bài.
Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình:
-Vận dụng các phương pháp đã được học để giải phương trình hoặc hệ phương trình.Bước 3: Kết luận:
-Kiểm tra xem tập nghiệm có thỏa mãn điều kiện hay không?Nếu thỏa thì nhận,không thỏa thì loại giá trị tiến tới kết luận. *Một số lưu ý về đặt điều kiện,đặt ẩn: -Thông thường đề hỏi vấn đề gì liên quan tới đại lượng đó thì ta sẽ đặt ẩn điều kiện đó.Ví dụ hỏi số gà thì sẽ đặt số gà là $x$[con]. -Điều kiện của ẩn tùy theo trường hợp: +$x$ mà biểu diễn số có 1 chữ số thì điều kiện là: $0 \leq x \leq 9$. +$x$ mà biểu diễn số sản phẩm,tuổi,số lượng,vân tốc thì điều kiện thường là $x>0$.+Ngoài ra còn một số điều kiện khác mà chúng ta sẽ đề cập tới trong phần sau.
-Một số dạng cơ bản thường gặp là:
1]Toán về quan hệ giữa các số.
2]Toán phần trăm.
3]Toán chuyển động.
4]Toán về sự thay đổi các thừa số tích.
5]Toán có nội dung hình học.
6]Toán có nôi dung lý hóa.
7]Toán về làm chung,làm riêng.
8]Toán thực tế:Tính tiền điện nước,ngân hàng,..
9]Toán cổ.
10]Toán với nghiệm nguyên dương.
1]Toán về quan hệ giữa các số:
VD1:Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là $2$ và số đó lớn hơn tổng bình phương các chữ số của nó là $1$.
Vậy số đó là: $75$.
2]Toán phần trăm:
VD: Mức sản xuất của một xí nghiệp cách đây $2$ năm là $75,000$ dụng cụ một năm, hiện nay là $90,750$ dụng cụ một năm. Hỏi năm sau xí nghiệp làm tăng hơn năm trước bao nhiêu phần trăm?
Phân tích: Đề bảo tìm số tự nhiên có hai chữ số và cho dữ kiện liên quan giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị nên ta sẽ đặt ẩn cho chữ số hàng đơn vị hoặc hàng chục từ đó có thể biểu diễn thành phần còn lại theo ẩn.
Lời giải: Gọi chữ số hàng đơn vị là $x$ [$0 \leq x \leq 9$ ; $x$ nguyên dương] khi đó chữ số hàng đơn vị sẽ là $x+2$ .
Khi đó số đó sẽ có dạng:$\overline{[x+2]x}$ .
Theo đề bài:
$\overline{[x+2]x}=x^2+[x+1]^2+1 \\\Leftrightarrow 10[x+2]+x=x^2+x^2+2x+1+1 \\\Leftrightarrow 2x^2-7x-15=0$
Tới đây có thể đưa về phương trình tích hoặc xài denta để giải ra nghiệm.
$\Leftrightarrow x_1=\dfrac{-3}{2};x_2=5$ .
So với điều kiện thì giá trị $\dfrac{-3}{2}$ sẽ loại.Giá trị $5$ thỏa nên nhận.
Vậy số đó là: $75$.
3]Toán chuyển động:
VD: Một cano đi xuôi dòng $45$ km rồi ngược dòng $18$ km. Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngược $1$ giờ và vận tốc xuôi lớn hơn vận tốc ngược là $6$ km/h. Tính vận tốc của cano lúc ngược dòng.
Lời giải: Gọi vận tốc của cano lúc ngược dòng là $x$[km/h] [$x>0$] .
Khi đó vận tốc cano lúc xuôi dòng là $x+6$ [km/h].
Từ công thức $s=v.t \Rightarrow t=\dfrac{s}{v}$ dễ dàng tính được thời gian đi xuôi dòng và thời gian ngược kết hợp với giả thuyết đề bài ta có phương trình sau:
$\dfrac{45}{x+6}-\dfrac{18}{x}=1 \\\Leftrightarrow x_1=12,x_2=9$.
Tới đây có 2 kết quả đều thỏa mãn đề bài.
Kết luận:…….
*Lưu ý: Ở dạng này còn có một số dạng toán như xe ô tô đuổi xe máy,hay đi giữa đường xe máy bị hỏng,…Trong phần bài tập tự luyện mình sẽ đề cập tới.
4]Toán về sự thay đổi các thừa số tích:
VD: Một phòng họp có $500$ chỗ ngồi. Do phải xếp $616$ chỗ ngồi, người kê thêm $3$ dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm $2$ chỗ ngồi. Tính số dãy ghế lúc đầu của phòng họp ?
Lời giải: Gọi vận tốc của cano lúc ngược dòng là $x$[km/h] [$x>0$] .
Khi đó vận tốc cano lúc xuôi dòng là $x+6$ [km/h].
Từ công thức $s=v.t \Rightarrow t=\dfrac{s}{v}$ dễ dàng tính được thời gian đi xuôi dòng và thời gian ngược kết hợp với giả thuyết đề bài ta có phương trình sau:
$\dfrac{45}{x+6}-\dfrac{18}{x}=1 \\\Leftrightarrow x_1=12,x_2=9$.
Tới đây có 2 kết quả đều thỏa mãn đề bài.
Kết luận:…….
5]Toán có nôi dung hình học:
VD: Tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết hiệu của chúng bằng $4m$ và diện tích tam giác bằng $48cm^2$.
Hướng dẫn giải: Gọi một cạnh góc vuông là $x$[m] [$x>0$].Biểu diễn cạnh góc vuông còn lại áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông sẽ tìm ra $x$.
6]Toán có nôi dung lý hóa:
VD: Vào thế kỉ thứ III trước Công nguyên, vua xứ Xi-ra-cut giao cho Ac-si-met kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng $5$ niu-tơn [theo đơn vị hiện nay], nhúng trong nước thì trọng lượng giảm $0,3$ niu-tơn. Biết rằng khi cân trong nước vàng giảm $\dfrac{1}{20}$ trọng lượng, bạc giảm $\dfrac{1}{10}$ trọng lượng.Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng,bao nhiêu gam bạc?
[Vật có khối lượng $100g$ thì có trọng lượng $1$ niu-tơn].
Phân tích: Một bài toán rất thú vị,nhưng liệu có nên đặt ẩn giống như những bài toán trước không?Câu trả lời hoàn toàn là có cơ mà sẽ khiến bài toán trở nên phức tạp.Đề bài hỏi bao nhiêu gam vàng,bao nhiêu gam bạc nên ta nghĩ tới việc đặt 2 ẩn đề đưa về hệ phương trình.Từ đó ta có lời giải như sau:
Lời giải:
Gọi trọng lượng của vàng và bạc trong mũ thứ tự là $x$[niu-tơn] và $y$[niu-tơn][$x,y>0$].
Do chiếc mũ có trọng lượng là $5$ niu-tơn nên $x+y=5$.[1]
Mặt khác khi cân trong nước vàng giảm $\dfrac{1}{20}$ trọng lượng, bạc giảm $\dfrac{1}{10}$ trọng lượng.Và nhúng vào trong nước thì trọng lượng giảm $0,3$[niu-tơn].Do đó:
$\dfrac{x}{20}+\dfrac{y}{10}=0,3$[2]
Giải hệ phương tình bao gồm [1] [2] ta sẽ thu được:
$x=4,y=1$.
Do đó mũ sẽ chứa $400[g]$ vàng, $100[g]$ bạc.
*Lưu ý: Tùy bài toán mà ta sẽ biết cách lập phương trình hay hệ phương trình để giải.Tuy nhiên đó là đối với trường hợp đề không nói gì.Đối với những bài toán đề bài yêu cầu phải giải bài toán bằng cách lập phương trình thì phải lập phương trình để giải không được lập hệ phương trình và ngược lại.
7]Dạng toán làm chung làm riêng:
VD: Hai đội thủy lợi cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là $25$ ngày. Nếu hai đội cùng làm thì công việc hoàn thành trong $6$ ngày. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu?
Hướng dẫn giải: Gọi thời gian để đội I hoàn thành công việc là $x$[ngày][$x>0$].
Gọi thời gian để đội II hoàn thành công việc là $y$[ngày][$y>0$].
Tính được số phần công việc làm trong mỗi ngày của mỗi đội và lưu ý rằng khi hoàn thành công việc tức là số phần công việc sẽ bằng một.Từ đó lập hệ phương trình để giải.
Đáp số: Đội I:$15$ ngày, $10$ ngày.
8]Toán thực tế:Tính tiền điện nước,ngân hàng,giá sản phẩm,….
VD: [Đề thi tuyển sinh lớp 10 An Giang 2015-2016]
Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, người ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu là $500$ triệu đồng. Chi phí để sản xuất một chiếc xe lăn là $2,5$ triệu đồng. Giá bán ra mỗi chiếc là $3$ triệu đồng.
a] Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu đến khi sản xuất ra được $x$ chiếc xe lăn[Gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất] và hàm số biễu diễn số tiền thu được khi bán ra $x$ chiếc xe lăn.
b] Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe mới có thể thu hồi được vốn ban đầu. Lời giải: a] Dễ thấy tổng chi phí vốn cố định và vốn sản xuất ra $x$ chiếc xe lăn [đơn vị tính triệu đồng] sẽ là $y=500+2,5x$. Hàm số biễu diễn số tiền thu được khi bán ra $x$ chiếc xe lăn là $y=3x$. b] Để số tiền bán được và số vốn đầu tư ban đầu bằng nhau, ta có: $500+2,5x=3x \Leftrightarrow 0,5x=500 \Leftrightarrow x=1000$.
Kết luận: Vậy công ty $A$ phải bán $1000$ chiếc xe lăn mới thu hồi được vốn ban đầu.
9]Toán cổ:
VD: [Bài toán cổ trong Tuyển tập toán bằng thơ của Hi Lạp]:
Lừa và ngựa thồ hàng ra chợ Ngựa thở than mình chở quá nhiều Lừa rằng: “Anh chớ lắm điều!” Tôi đây mới bị chất nhiều làm sao! Anh đưa tôi một bao mang bớt Thì tôi thồ nhiều gấp đôi anh Chính tôi phải trút cho anh “Một bao gánh đỡ mới thành bằng nhau”.
Hỏi lừa, ngựa chở mấy bao ?
Hướng dẫn giải:Gọi số bao lừa,ngựa chở từ đó lập ra hệ phương trình.
10]Các bài toán với nghiệm nguyên dương:
VD: Tìm số tự nhiên có ba chữ số sao cho chia nó cho $11$, ta được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.
Lời giải: Gọi số tự nhiên có ba chữ số đó là $\overline{xyz}[x,y,z \in \mathbb{N};1 \leq x \leq 9,0 \leq y \leq 9, 0 \leq z \leq 9].$
Bài toán này khác với các dạng trước không thể đưa thẳng để giải được mà phải biện luận ẩn.
Theo đề bài ta có:$\overline{xyz}=11[x+y+z] \\\Leftrightarrow 100x+10y+z=11x+11y+11z \\\Leftrightarrow 89x=10z+y \\\Leftrightarrow 89x=\overline{yz}$.
Mà $\overline{yz}$ là số có $2$ chữ số. Nên $x$ chỉ có thể là $1$[Nếu lớn hơn $1$ thì VP sẽ là số có $3$ chữ số].
Do đó $\overline{yz}=89$.
Do đó số cần tìm là $198$ thử lại thấy đúng.
Kết luận:
-Trên đó là một số ví dụ về các dạng bài toán thường gặp trong chuyên đề này chúng ta sẽ đi qua phần bài tập tự luyện để hiểu rõ hơn.
Bài 1: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT,Tỉnh Long An: Một đội xe cần chở $36$ tấn hàng. Trước khi làm việc, đội được bổ sung thêm $3$ chiếc xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn $1$ tấn hàng so với dự định. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, biết khối lượng hàng chở xe như nhau.
Bài 2: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT,tỉnh Bình Định 2015-2016:
Trên một vùng biển được xem như bằng phẳng và không có chướng ngại vật. Vào lúc $6$ giờ có một tàu cá đi thẳng qua tọa độ $X$ theo hướng từ Nam đến Bắc với vận tốc không đổi. Đến $7$ giờ một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ $X$ theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu cá $12km/h$. Đến $8$ giờ khoảng cách giữa hai tàu là $60$ km. Tính vận tốc của mỗi tàu.Bài 3: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Quảng Ngãi 2015-2016:
Hai đội công nhân cùng làm chung trong $4$ giờ thì xong một con đường. Nếu mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là $6$ giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu?Bài 4: [Sưu tầm]
Một tàu tuần tra chạy ngược dòng $60$km, sau đó chạy xuôi dòng $48$km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là $2$ km/h.Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng $1$ giờ.Bài 5: Đề kiểm tra thử tuyển sinh vào lớp 10 trường Nguyễn An Khương 2017-2018:
Theo quyết định số 2256/QĐ-BCT ngày 12-3-2015 của Bộ Công Thương quy định về giá bán lẻ điện sinh hoạt như sau: Bậc 1:Cho kWh từ 0->50:1,484 đồng/kWh. Bậc 2:Cho kWh từ 51->100:1,533 đồng/kWh. Bậc 3:Cho kWh từ 101->200:1,786 đồng/kWh. Bậc 4:Cho kWh từ 201->300:2,242 đồng/kWh. Bậc 5:Cho kWh từ 301->400:2,503 đồng/kWh. Bậc 6:Cho kWh từ 401 trở lên:2,587 đồng/kWh. Mỗi hộ gia đình trong tháng $4$ năm $2017$ đã sử dụng hết 206 kWh. Hỏi hộ gia đình này phải trả bao nhiêu tiền, biết rằng phải đóng thêm $10$% thuế giá trị gia tăng[GTGT].Bài 6:Đề thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông TP Hồ Chí Minh lần 8:
Để lát nền lớp học, người ta dùng $1200$ viên gạch hình chữ nhật. Mỗi viên gạch có chu vi là $80$ cm.Nếu giảm chiều dài $5$ cm và tăng chiều rộng $5$ cm thì có viên gạch hình vuông. Diện tích viên gạch hình vuông lớn hơn diện tích viên gạch hình chữ nhật là $25 cm^2$. Tính số tiền cần dùng để lát hết toàn bộ nền lớp học. Biết rằng $1m^2$ là $80000$ đồng.Bài 7:Sưu tầm:
Bạn An gửi tiết kiệm kỳ hạn $1$ năm với số tiền ban đầu là $5$ triệu đồng. Sau $2$ năm, bạn An nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là $5 618 000$ đồng. Biết rằng trong thời gian đó, lãi suất không thay đổi và bạn An không rút lãi ra trong kỳ hạn trước đó. Hỏi lãi suất kỳ hạn $1$ năm của ngân hàng là bao nhiêu?Bài 8: Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường phổ thông năng khiếu đại học quốc gia TP HCM 2017-2018:
Lớp $9T$ có $30$ bạn, mỗi bạn dự định đóng góp mỗi tháng $70000$ đồng và sau $3$ tháng sẽ đủ tiền mua tặng cho mỗi em ở ”Mái ấm tình thương X” ba gói quà [giá tiền các món quà đều như nhau]. Khi các bạn đó đóng đủ số tiền như dự trù thì ”Mái ấm tình thương X” đã nhận chăm sóc thêm $9$ em và giá tiền của mỗi món quà tăng thêm $5$% nên chỉ tặng được mỗi em hai gói quà. Hỏi có bao nhiêu em của ”Mái ấm tình thương X” được nhận quà?