Giải và biện luận phương trình bậc 1 theo tham số m

I. Tóm tắt lý thuyết

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau

ax + b = 0  [1]
Hệ số	Kết luận
a ≠ 0	[1] có nghiệm duy nhất x = -b/a
a = 0	b ≠ 0	[1] vô nghiệm
b = 0	[1] nghiệm đúng với mọi x

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình [m2 – 7m + 6]x + m2 – 1 = 0

a. Giải phương trình khi m = 0

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x – 1 = 0 ⇔ x = 1/6

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6

b. Ta có [m2 – 7m + 6]x + m2 – 1 = 0 ⇔ [m-1][m-6]x + [m-1][m+1] = 0

Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.

Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 [Vô lí]. Khi đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [2m – 4]x = m – 2 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

B. Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m

I. Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2 + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

– Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

– Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b2 – 4ac. Khi đó:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm [kép]: x = -b/2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Lưu ý:

– Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm 

– Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất 

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Phương trình [m–1]x2 + 3x – 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:

Hướng dẫn:

Với m = 1, phương trình trở thành 3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3

Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4[m-1] = 4m + 5

Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0

Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm

Bài 2: Phương trình [x2 – 3x + m][x – 1] = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:

Hướng dẫn:

Phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình [2] có hai nghiệm phân biệt khác 1

usogorsk.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Giải và biện luận phương trình bậc nhất, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Bạn đang xem: Giải và biện luận phương trình theo tham số m

Nội dung bài viết Giải và biện luận phương trình bậc nhất:Giải và biện luận phương trình bậc nhất. Phương pháp giải: a] a khác 0: Phương trình có một nghiệm duy nhất x = − b. b] a = 0 và b khác 0: Phương trình vô nghiệm. c] a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x. BÀI TẬP DẠNG 1. Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m. Ta xét các trường hợp sau đây: Trường hợp 1: Khi m khác ±1, ta có m2 − 1 khác 0 nên [2] có nghiệm. Đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Trường hợp 2: Khi m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình này có nghiệm đúng với mọi số thực x nên phương trình [1] cũng có nghiệm đúng với mọi số thực x. Trường hợp 3: Khi m = −1, phương trình [2] trở thành 0.x = −4. Phương trình này vô nghiệm nên phương trình [1] cũng vô nghiệm. Kết luận: Với m khác ±1: [1] có nghiệm duy nhất x = 2. Với m = −1: [1] vô nghiệm. Với m = 1: [1] có vô số nghiệm.Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình 2x + a. Phương trình trên được viết lại dưới dạng. Trường hợp 1: Nếu a khác 0 thì [2] ⇔ x = 2a. Trường hợp 2: Nếu a = 0 thì [2] ⇔ 0.x = 0, phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực x. Kết luận: Với a khác 0 và a khác ±2 thì phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1. Với a = 0 thì phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực x. Với a = ±2 thì phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R. Phương trình đã cho viết dưới dạng [m3 + 1]x = m + 1 [2]. Do đó, phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm R ⇔ m3 + 1 = 0, m + 1 = 0 ⇔ m = −1. Vậy với m = −1 thì phương trình [1] có tập nghiệm là R.Ví dụ 4. Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm x > 2. Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng x = 3m + 1. Phương trình [1] có nghiệm x > 2 khi và chỉ khi 3m + 1 > 2 ⇔ m > 1. Vậy m > 1 thỏa yêu cầu bài toán. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Giải và biện luận phương trình [m2 + 4]x − 3m = x − 3 [1]. Lời giải. Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng [m2 + 3]x = 3m − 3 [2]. Vì m2 + 3 > 0, với mọi giá trị thực của m nên phương trình [2] có 1 nghiệm duy nhất là x = 3m − 3. Bài 2. Giải và biện luận phương trình m[x − 2m] = x + m + 2 [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 1]x = 2m2 + m + 2 [2]. Với m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 5. Điều này vô lí, phương trình đã cho vô nghiệm. Với m khác 1, phương trình có nghiệm duy nhất là x = m − 1.Bài 3. Giải và biện luận phương trình m2x + 2 = x + 2m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − 1]x = 2m − 2. [2]. Với m khác ±1, phương trình [2] có nghiệm duy nhất x = 2m − 2. Với m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình đúng với mọi số thực x. Với m = −1, phương trình [2] trở thành 0.x = −4. Điều này vô lí nên phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 4. Giải và biện luận phương trình m2x + 1 = [m − 1] x + m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − m + 1]x = m − 1. [2]. Vì m2 − m + 1 khác 0, ∀x ∈ R nên phương trình [2] luôn có nghiệm duy nhất x = m − 1. Bài 5. Giải và biện luận phương trình m2x + 6 = 4x + 3m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − 4]x = 3m − 6. [2]. Với m khác ±2, phương trình [2] có nghiệm duy nhất x = 3m − 6. Với m = 2, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình đúng với mọi số thực x. Với m = −2, phương trình [2] trở thành 0.x = −12. Điều này vô lí nên phương trình đã cho vô nghiệm.Bài 6. Tìm giá trị tham số m để phương trình m2[mx − 1] = 2m [2x + 1] [1] có tập nghiệm là R. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng. Phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm là R. Bài 7. Tìm giá trị tham số m để phương trình m[x − m + 3] = 2 [x − 2] + 6 [1], có tập nghiệm là R. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 2]x = m2 − 3m + 2. [2]. Phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm là R. Bài 8. Tìm giá trị tham số m để phương trình m[x − m + 3] = 2 [x − 2] + 6 [1] có nghiệm duy nhất. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 2]x = m2 − 3m + 2. [2].

Xem thêm: Cách Làm Bài Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Hệ Quả, Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ

Phương trình [1] có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình [2] có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi m − 2 khác 0 ⇔ m khác 2.

Với Cách giải và biện luận phương trình bậc nhất cực hay, chi tiết Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Cách giải và biện luận phương trình bậc nhất từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau

ax + b = 0  [1]
Hệ số	Kết luận
a ≠ 0	[1] có nghiệm duy nhất x = -b/a
a = 0	b ≠ 0	[1] vô nghiệm
b = 0	[1] nghiệm đúng với mọi x

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1: Cho phương trình [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0

a. Giải phương trình khi m = 0

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x - 1 = 0 ⇔ x = 1/6

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6

b. Ta có [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0 ⇔ [m-1][m-6]x + [m-1][m+1] = 0

Nếu [m-1][m-6] ≠ 0

thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -[m+1]/[m-6]

Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.

Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 [Vô lí]. Khi đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [2m - 4]x = m - 2 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [m2 - 5m + 6]x = m2 - 2m vô nghiệm.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [m2 - 1]x = m - 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho nghiệm đúng với ∀x ∈ R hay phương trình có vô số nghiệm khi

Bài 5: Cho phương trình m2x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.

Hướng dẫn:

Phương trình viết lại [m2 - 4]x = 3m - 6.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ≠ -2

Bài 6: Cho hai hàm số y = [m + 1]2x - 2 và y = [3m + 7]x + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.

Hướng dẫn:

Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

[m + 1]2x - 2 = [3m + 7]x + m có nghiệm duy nhất

⇔ [m2 - m - 6]x = 2 + m có nghiệm duy nhất

Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để phương trình [m2 - 9]x = 3m[m - 3] có nghiệm duy nhất ?

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2-9 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3

Vì m ∈ Z, m ∈ [-10; 10] nên

m ∈ {-10; -9; -8;...; -4; -2; -1; 0; 1; 2; 4;...; 10}

Vậy 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.