VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Hệ phương trình đối xứng loại 1, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Hệ phương trình đối xứng loại 1: Định nghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại 1 của hai ẩn x, y là hệ mà khi ta thay thế x bởi y và y bởi x thì ta được hệ mới không thay đổi [thứ tự các phương trình trong hệ giữ nguyên]. Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện nếu cần; Bước 2: Đặt x + y = S; xy = P [S2 ≥ 4P]. Khi đó ta đưa về hệ mới của 2 ẩn S, P. Bước 3: Giải hệ ta tìm được S, P. Bước 4: x, y là nghiệm của phương trình X2 − SX + P = 0. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: x + y + xy = 5, 2 + y, 2 − 3xy = −1. Lời giải. Hệ đã cho có thể viết lại. Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: [1; 2],[2; 1],[−4 + √3; −4 − √3],[−4 − √3; −4 + √3]. Chú ý: 1. Đối với hệ đối xứng của hai ẩn x, y thì nếu [x0; y0] là nghiệm thì [y0; x0] cũng là nghiệm của hệ. 2. Có một số hệ phương trình không phải là hệ đối xứng loại 1, tuy nhiên ta có thể chọn biến phù hợp để đổi biến đưa về hệ đối xứng loại 1.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: Nếu y = 0 ⇒ x = 0 ⇒ [0; 0] là nghiệm của hệ. Nếu y khác 0. Chia 2 vế của phương trình [1] cho y. Chia 2 vế của phương trình [2] cho y. Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm. Khi đó hệ phương trình được viết lại ⇔ u; v là 2 nghiệm của phương trình: x2 − 4x + 8 − m = 0. Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình trên phải có hai nghiệm không âm. Vậy tất cả các giá trị m cần tìm là: 4 ≤ m ≤ 8. Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiêm thực: Điều kiện x ≥ 0; y ≥ 0. Đặt √x +√y = S. Khi đó hệ phương trình được viết lại. Khi đó S; P là 2 nghiệm của phương trình: x2 − x + 2m = 0. Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình trên phải có hai nghiệm không âm. Vậy tất cả các giá trị m cần tìm là: 0 ≤ m ≤ 1.
Dạng bài toán hệ phương trình đối xứng thường xuất hiện trong đề thi Toán tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng:
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f[x,y]=0\\g[x,y]=0\end{array} \right.$, trong đó $ \left\{ \begin{array}{l}f[x,y]=f[y,x]\\g[x,y]=g[y,x]\end{array} \right.$.
Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện [nếu có].
Bước 2: Đặt $S = x + y, P = xy$ với điều kiện của $S, P$ và $ {{S}^{2}}\ge 4P$.
Bước 3: Thay $ \displaystyle x,y$ bởi $ \displaystyle S,P$ vào hệ phương trình. Giải hệ tìm $ \displaystyle S,P$ rồi dùng Viét đảo tìm $ \displaystyle x,y$.
Chú ý:
+ Cần nhớ: $ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{S}^{2}}\text{ }2P,{{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{S}^{3}}\text{ }3SP.$
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ $ \displaystyle u=u\left[ x \right],v=v\left[ x \right]$ và $ \displaystyle S=u+v,\text{ }P\text{ }=uv.$
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=30\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=35\end{array} \right.$.
Giải
Đặt $ \text{S}=x+y,\text{ P}=xy$, điều kiện $ {{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:
$ \left\{ \begin{array}{l}SP=30\\S[{{S}^{2}}-3P]=35\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P=\frac{30}{S}\\S\left[ {{S}^{2}}-\frac{90}{S} \right]=35\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=5\\P=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+y=5\\xy=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=2\end{array} \right.$
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}xy[x-y]=-2\\{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=2\end{array} \right.$.
Giải
Đặt $ t=-y,\text{ }S=x+t,\text{ }P=xt$, điều kiện $ {{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:
$ \left\{ \begin{array}{l}xt[x+t]=2\\{{x}^{3}}+{{t}^{3}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP=2\\{{S}^{3}}-3SP=2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=2\\P=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\t=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array} \right.$
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=4\end{array} \right.$.
Giải
Điều kiện $ x\ne 0,y\ne 0$.
Hệ phương trình tương đương với: $ \left\{ \begin{array}{l}\left[ x+\frac{1}{x} \right]+\left[ y+\frac{1}{y} \right]=4\\{{\left[ x+\frac{1}{x} \right]}^{2}}+{{\left[ y+\frac{1}{y} \right]}^{2}}=8\end{array} \right.$
Đặt $ S=\left[ x+\frac{1}{x} \right]+\left[ y+\frac{1}{y} \right],P=\left[ x+\frac{1}{x} \right]\left[ y+\frac{1}{y} \right],{{S}^{2}}\ge 4P$ ta có:
$ \left\{ \begin{array}{l}S=4\\{{S}^{2}}-2P=8\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=4\\P=4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ x+\frac{1}{x} \right]+\left[ y+\frac{1}{y} \right]=4\\\left[ x+\frac{1}{x} \right]\left[ y+\frac{1}{y} \right]=4\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=1\end{array} \right.$
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\,\,\text{ }[1]\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\text{ }\,\,\,\,\text{ }\,\text{ }\,\text{ }[2]\end{array} \right.$.
Giải
Điều kiện $ x,y\ge 0$. Đặt $ t=\sqrt{xy}\ge 0$, ta có:
$ xy={{t}^{2}}$ và $ [2]\Rightarrow x+y=16-2t$.
Thế vào [1], ta được: $ \sqrt{{{t}^{2}}-32t+128}=8-t\Leftrightarrow t=4$
Suy ra: $ \left\{ \begin{array}{l}xy=16\\x+y=8\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=4\\y=4\end{array} \right.$
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn có dạng:
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f[x,y]=0\,\,\,\left[ 1 \right]\\f[y,x]=0\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array} \right.$
Cách giải: Lấy [1] – [2] hoặc [2] – [1] ta được: $ \displaystyle [x-y]g\left[ x,y \right]=0$.
Khi đó $ \displaystyle x-y=0$ hoặc $ \displaystyle g\left[ x,y \right]=0.$
+ Trường hợp 1: $ \displaystyle x-y=0$ kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: $ \displaystyle g\left[ x,y \right]=0$ kết hợp với phương trình suy ra nghiệm [trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1] và thông thường vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=3x+8y\,\,\,\left[ 1 \right]\\{{y}^{3}}=3y+8x\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array} \right.$ [I]
Giải
Lấy [1] – [2] ta được: $ \displaystyle \text{[x – y][}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + xy + }{{\text{y}}^{\text{2}}}\text{ + 5] = 0}$
Trường hợp 1: [I] $ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}\text{ }=\text{ }3x\text{ }+\text{ }8y\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.$
⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}\text{ }-\text{ }11x\text{ }=\text{ }0\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x\text{ }=\text{ }0\\x\text{ }=\text{ }\pm \sqrt{11}\end{array} \right.\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.$.
Trường hợp 2: [I] $ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}+5=0\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=11\left[ x+y \right]\end{array} \right.$ [hệ này vô nghiệm]
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
$ \displaystyle \left\{ \text{[x}\text{, y]} \right\}\text{=}\left\{ \text{[0}\text{,0]; [}\sqrt{\text{11}}\text{,}\sqrt{\text{11}}\text{]; [-}\sqrt{\text{11}}\text{,-}\sqrt{\text{11}}\text{]} \right\}$
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+\sqrt[4]{y-1}=1\\y+\sqrt[4]{x-1}=1\end{array} \right.$
Giải
Đặt: $ \displaystyle \sqrt[\text{4}]{\text{x – 1}}\text{ = u }\ge \text{0; }\sqrt[\text{4}]{\text{y – 1}}\text{ = v}\ge \text{0}$
Hệ phương trình trở thành:
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{4}}\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }v\text{ }=\text{ }1\\{{v}^{4}}\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }u\text{ }=\text{ }1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{4}}\text{ }+\text{ }v\text{ }=\text{ }0\\{{v}^{4}}\text{ }+\text{ }u\text{ }=\text{ }0\end{array} \right.$
⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u\text{ }=\text{ }0\\v\text{ }=\text{ }0\end{array} \right.$
[Do u, v ≥ 0] $ \displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x = 1}\\\text{y = 1}\end{array} \right.$.
Vậy hệ có nghiệm [1,1]