Công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác – tìm nguyên hàm của hàm số
1. Một số công thức lượng giác cần nhớ
Hằng đẳng thức lượng giác: ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1;\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=1+{{\cot }^{2}}x;\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=1+{{\tan }^{2}}x$
- Công thức cộng: $\begin{array} {} \sin \left[ a\pm b \right]=\sin a.\cos b\pm \sin b\operatorname{cosb} \\ {} \cos \left[ a\pm b \right]=\cos a.\cos b\mp \sin a.\cos b \\ {} \tan \left[ a\pm b \right]=\frac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a.\tan b} \\ \end{array}$
- Công thức nhân đôi: $\left\{ \begin{array} {} \sin 2a=2\sin a\cos a \\ {} \cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a-1=1-2{{\sin }^{2}}a \\ \end{array} \right.$
- Công thức hạ bậc: ${{\sin }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{2};{{\cos }^{2}}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$
- Công thức nhân ba: $\left\{ \begin{array} {} \sin 3a=3\sin a-4{{\sin }^{3}}a \\ {} \cos 3a=4{{\cos }^{3}}a-3\cos a \\ \end{array} \right.$
- Công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left[ a+b \right]+\cos \left[ a-b \right] \right]$
$\sin .a\sin b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left[ a-b \right]-\cos \left[ a+b \right] \right];\sin a.\cos b=\frac{1}{2}\left[ \sin \left[ a+b \right]+\sin \left[ a-b \right] \right]$
2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản
$\begin{array} {} {{I}_{1}}=\int{\sin xdx=-\cos x+C} \\ {} {{I}_{2}}=\int{\sin \left[ ax \right]dx=-\frac{1}{a}\cos \left[ ax \right]+C} \\ {} {{I}_{3}}=\int{\cos xdx=\sin x+C} \\ {} {{I}_{4}}=\int{\cos \left[ ax \right]dx=\frac{1}{a}\sin \left[ ax \right]+C} \\ {} {{I}_{5}}=\int{{{\sin }^{2}}xdx=\int{\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C}} \\ {} {{I}_{6}}=\int{{{\cos }^{2}}xdx=\int{\frac{1+\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C}} \\ {} {{I}_{7}}=\int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}=\tan x+C} \\ {} {{I}_{8}}=\int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}\left[ ax \right]}=\frac{1}{a}\tan \left[ ax \right]+C} \\ {} {{I}_{9}}=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{2}}\left[ ax \right]}=-\cot x+C} \\ {} {{I}_{10}}=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{2}}\left[ ax \right]}=-\frac{1}{a}\cot \left[ ax \right]+C} \\ {} {{I}_{11}}=\int{\tan xdx=\int{\frac{\sin xdx}{\cos x}=-\ln \left| \cos x \right|+C}} \\ {} {{I}_{12}}=\int{\cot xdx=\int{\frac{\cos xdx}{\sin x}=\ln \left| \sin x \right|+C}} \\ {} {{I}_{13}}=\int{{{\tan }^{2}}x}dx=\int{\left[ \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right]dx=\tan x-x+C} \\ {} {{I}_{14}}=\int{{{\cot }^{2}}x}dx=\int{\left[ \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \right]dx=\cot x-x+C} \\ \end{array}$
3. Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp
Dạng 1: Nguyên hàm $I=\int{{{\sin }^{m}}x.co{{s}^{n}}xdx}$
- TH1: Nếu $m=2k+1\Rightarrow I=\int{{{\sin }^{2k}}x.{{\cos }^{n}}x.\sin xdx}$
$=-\int{{{\left[ 1-{{\cos }^{2}}x \right]}^{k}}.{{\cos }^{n}}xd\left[ \cos x \right]\to }$ Đặt $t=\cos x$
- TH2: Nếu $n=2k+1\to $ Đặt $t=\operatorname{s}\text{inx}$
- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc
Chú ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng.
$I=\int{f\left[ \sin x \right]\cos xdx=\int{f\left[ \sin x \right]d\left[ \sin x \right]\to }}$ Đặt $t=\operatorname{s}\text{inx}$
$I=\int{f\left[ \cos x \right]\sin xdx=-\int{f\left[ \cos x \right]d\left[ \cos x \right]\to }}$ Đặt $t=\cos \text{x}$
Dạng 2: Nguyên hàm $I=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{m}}x.{{\cos }^{n}}x}}$
- TH1: Nếu $m=2k+1\Rightarrow I=\int{\frac{\sin xdx}{{{\sin }^{2k+2}}x.{{\cos }^{n}}x}=-\int{\frac{d\left[ \cos x \right]}{{{\left[ 1-{{\cos }^{2}}x \right]}^{k+1}}.{{\cos }^{n}}x}}}$
Khi đó ta đặt: $t=\cos x$
- TH2: Nếu $n=2k+1\to $ ta đặt $t=\operatorname{s}\text{inx}$
- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta biến đổi $\frac{1}{{{\sin }^{m}}x.{{\cos }^{n}}x}=\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{m}}x.{{\cos }^{n}}x}...$
Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx
Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng các hằng đẳng thức
$\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=1+{{\cot }^{2}}x;\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=1+{{\tan }^{2}}x$
Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx;
$A{{\sin }^{2}}x+B\sin x\cos +C{{\cos }^{2}}x$ thì ta chia cả tử số và mẫu số cho ${{\cos }^{2}}x$
Chú ý: Khi $I=\int{\frac{f\left[ \tan \,x \right]}{{{\cos }^{2}}x}}dx=\int{f\left[ \tan \,x \right]d\left[ \tan \,x \right]\to }$ đặt t=tanx
Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
$\begin{array} {} \int{\cos ax.\cos bxdx}=\frac{1}{2}\int{\left[ \cos \left[ a+b \right]x+\cos \left[ a-b \right]x \right]dx} \\ {} \int{\sin ax.sinbxdx}=-\frac{1}{2}\int{\left[ \cos \left[ a+b \right]x-\cos \left[ a-b \right]x \right]dx} \\ {} \int{\sin ax.\cos bxdx}=\frac{1}{2}\int{\left[ \sin \left[ a+b \right]x+\sin \left[ a-b \right]x \right]dx} \\ {} \int{\cos ax.sinbxdx}=\frac{1}{2}\int{\left[ \sin \left[ a+b \right]x-\sin \left[ a-b \right]x \right]dx} \\ \end{array}$
Dạng 5: Nguyên hàm $I=\int{\frac{dx}{a\sin x+b\cos x+c}}$
Ta có: $I=\int{\frac{dx}{2a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+b\left[ {{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-{{\sin }^{2}}\frac{x}{2} \right]+c\left[ {{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+{{\cos }^{2}}\frac{x}{2} \right]}}$
$\begin{array} {} \int{\frac{dx}{m{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+n\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+p{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}}=\int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}\left[ m{{\tan }^{2}}\frac{x}{2}+n\tan \frac{x}{2}+p \right]}}} \\ {} \xrightarrow{t=\tan \frac{x}{2}}I=\int{\frac{dt}{m{{t}^{2}}+nt+p}} \\ \end{array}$