1. Căn bậc hai
a] Căn bậc hai của số phức
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn ${z^2} = w$ được gọi là một căn bậc hai của w.
Mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình ${z^2} - w = 0$ [với ẩn z].
Cách tìm căn bậc hai của số phức w như sau:
Trường hợp w là số thực
- Căn bậc hai của 0 là 0.
- Xét số thực $w = a \ne 0$:
* Khi a > 0 thì ${z^2} - a = \left[ {z - \sqrt a } \right]\left[ {z + \sqrt a } \right]$. Do đó, ${z^2} - a = 0$ khi và chỉ khi $\sqrt a $ hoặc $ - \sqrt a $. Vậy a có hai căn bậc hai là $ \pm \sqrt a $.
* Khi a < 0 thì ${z^2} - a = \left[ {z - \sqrt { - ai} } \right]\left[ {z + \sqrt { - ai} } \right]$. Do đó, ${z^2} - a = 0$ khi và chỉ khi $\sqrt { - ai} $ hoặc $ - \sqrt { - ai} $. Vậy a có hai căn bậc hai là $ \pm \sqrt { - ai} $.
Trường hợp w= a + bi $\left[ {a,b \in R} \right]$, $b \ne 0$.
$z = x + yi\left[ {x,y \in R} \right]$ là căn bậc hai của w khi và chỉ khi ${z^2} = w$, tức là ${\left[ {x + yi} \right]^2} = a + bi$.
Do ${\left[ {x + yi} \right]^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi$ nên ${z^2} = w$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = a\\ 2xy = b \end{array} \right.$
Vậy để tìm các căn bậc hai của w = a + bi ta cần giải hệ phương trình này.
Mỗi cặp số thực [x ; y] nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ta một căn bậc hai x + yi của số phức a + bi.
b] Căn bậc hai của của số thực âm
Căn bậc hai của số thực a là $ \pm i\sqrt {\left| a \right|} $.
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c;a,b,c \in R,a \ne 0$. Xét biệt số $\Delta = {b^2} - 4ac$ của phương trình. Ta thấy:
- Khi $\Delta = 0$, phương trình có một nghiệm thực.
- Khi $\Delta > 0$, có hai căn bậc hai [thực] của $\Delta $ là $ \pm \sqrt \Delta $ và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức:
${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
- Khi $\Delta < 0$ phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của $\Delta $.
- Tuy nhiên, $\Delta < 0$, có hai căn bậc hai thuần ảo của $\Delta $ là ${ \pm i\sqrt \Delta }$. Khi đó, phương trình hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:
${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}$.
Như vậy, trong tập hợp các số phức, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm.
Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc $n\left[ {n \ge 1} \right]$ có:
${a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + ... + {a_{n - 1}}{x^n} + {a_n} = 0$
trong đó ${a_0},{a_1},...,{a_n} \in C,{a_0} \ne 0$ đều có n nghiệm phức [các nghiệm không nhất thiết phân biệt] [Định lí cơ bản của Đại số học].
Page 2
SureLRN
-
- Cho số z, nếu có số phức ${z_1}$ sao cho ${z_1}^2 = z$ thì ta nói ${z_1}$ là một căn bậc hai của z.
- Mọi số phức $z \ne 0$ đều có hai căn bậc hai.
- Căn bậc hai của số thực z âm là $ \pm i\sqrt {\left| z\right|} $.
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là $\pm i\sqrt {\left| a \right|} $.
4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + b{\rm{x}} + c,\forall a,b,c \in R'a \ne 0$. Xét biệt số $\Delta = {b^2} - 4{\rm{a}}c$ của phương trình. Ta thấy:
-
- Khi $\Delta$ = 0, phương trình có một nghiệm thực $x = - \frac{b}{{2a}}$.
- Khi $\Delta$ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${x_{1,2}} = - \frac{{b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
- Khi $\Delta$ < 0, phương trình có hai nghiệm phức ${x_{1,2}} = - \frac{{b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}$.
Kết thúc chủ đề về số phức, bài học hôm nay các em sẽ được học một phần kiến thức mới đó là phương trình bậc hai với hệ số thực. Ở dạng toán này, lý thuyết tuy ngắn nhưng đòi hỏi tính vận dụng cao, các em phải nắm chắc các bài học trước để đến với bài học này nhé! Kiến thức sẽ đơn giản hơn khi chúng ta dành thời gian và tập trung cao độ vào bài học, chăm chỉ làm bài tập. Vì vậy, hãy cùng đến với bài học Phương trình bậc hai với hệ số thực để tìm hiểu lý thuyết cũng như cách giải ngay nhé!
Mục tiêu của bài học Phương trình bậc hai với hệ số thực
Kiến thức bài học hôm nay có đôi chút liên quan đến những bài học trước, các bạn cố gắng học tốt những bài học trước và đặt ra mục tiêu cụ thể cho bài học hôm nay nhé!
- Giúp học sinh nắm được: Căn bậc hai của một số thực âm; cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với Δ.
- Học sinh biết tìm được căn bậc 2 của một số thực âm và giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với Δ.
Lý thuyết bài học Phương trình bậc hai với hệ số thực
Dưới đây là một số phần kiến thức quan trọng cơ bản cô đã biên soạn cho bài học hôm nay, các bạn nhớ học bài kỹ trước khi làm bài tập nhé!
1. Căn bậc hai của số thực âm
Ví dụ: Tìm x sao cho x2=−1 ?
Vì i2=−1 nên x=±i .
Kết luận: Căn bậc hai của số thực a âm là ±i√|a|.
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 [a,b,c∈′,a≠0]. Xét biệt thức △=b2−4ac
Nhận xét
Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm [không nhất thiết phân biệt].
Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n[n≥1]
a0xn+a1xn−1+...+an−1x+an,0
Trong đó a0,a1,...,an∈R,a0≠0 đều có n nghiệm phức [các nghiệm không nhất thiết phân biệt].
Bài tập sách giáo khoa Phương trình bậc hai với hệ số thực
Bài tập sách giáo khoa rất sát với lý thuyết, các bạn hãy cùng itoan chinh phục các bài tập khó nhằn này nhé!
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 4 trang 139:
Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a ?
Lời giải:
Căn bậc hai của một số thực dương a là một số thực b sao cho b2 = a.
Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7;-8;-12;-20;-121
Lời giải:
Căn bậc hai của -7 là ±i √7
Căn bậc hai của -8 là ± i 2√2
Căn bậc hai của -12 là ± i2 √3
Căn bậc hai của -20 là ± i 2 √5
Căn bậc hai của -121 là ± 11i
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a] -3z2 + 2z – 1 = 0
b] 7z2 + 3z + 2 = 0
c] 5z2 – 7z + 11 = 0
Lời giải:
a] Phương trình -3z2 + 2z – 1 = 0
có Δ’ = 12 – 3 = -2
Phương trình có hai nghiệm
b] Phương trình 7z2 + 3z + 2 = 0
có Δ = 32 – 4.7.2 = -47 < 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm
c] Phương trình 5z2 – 7z + 11 = 0
có Δ = 72 – 4.5.11 = -171 < 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a] z4 + z2 – 6 = 0
b] z4 + 7z2 + 10 = 0
Lời giải:
a] z4 + z2 – 6 = 0
⇔ [z2 – 2][z2 + 3] = 0
Vậy phương trình có tập nghiệm
b] z4 + 7z2 + 10 = 0
⇔ [z2 + 2][z2 + 5] = 0
Vậy phương trình có tập nghiệm
Cho a, b, c ∈R,a ≠ 0,z1 , z2 là hai nghiệm phân biệt [ thực hoặc phức] của phương trình ax2+bx+c=0. Hãy tính z1+z2 và z1.z2 theo hệ số a, b, c.
Lời giải:
Cách 1 :
Phương trình az2 + bz + c = 0 có Δ = b2 – 4ac
+ TH1 : Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức
+ TH2: Δ ≥ 0, theo định lý Vi-et ta có:
Cách 2 :
Vì z1; z2 là hai nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 nên ta có:
a.z12 + bz1 + c = 0 [1]
az22 + bz2 + c = 0 [2].
+ Trừ hai vế tương ứng của [1] cho [2] ta được:
a.[z12 – z22] + b[z1 – z2] = 0
⇔ a.[z1 – z2][z1 + z2] + b.[z1 – z2] = 0
⇔ a.[z1 + z2] + b = 0 [Vì z1 z2 nên z1 – z2 0].
Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z− làm nghiệm.
Lời giải:
Lời kết:
Phương trình bậc hai với hệ số thực có làm khó các em vấn đề nào không? Nếu có, hãy bình luận phía bên dưới để Toppy giải đáp ngay nhé! Hãy đọc kỹ lý thuyết của các bài học có liên quan để vận dụng tốt vào giải phương trình bậc hai với hệ số thực. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các nguồn tư liệu tại website của Toppy, tại đây có thêm các bài tập nâng cao cho các em học sinh phấn đấu học lực khá giỏi.
Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày.
Chúc các bạn sẽ thành công trong việc làm chủ môn Giải tích 11 và đạt thật nhiều điểm thưởng.