4.3 Tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất [4.1]: Phương pháp biến thiên hằng số [method of variation of parameters]:
Cho phương trình
và phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát:
Khi đó ta tìm 1 nghiệm riêng có dạng:
Nói cách khác, ta cần tìm u[x], v[x] để y* là 1 nghiệm riêng của [4.1]
Ta có: [4.3.1]
Nhận xét: nếu tiếp tục lấy đạo hàm rồi thế vào pt thì ta sẽ có 1 biểu thức trong đó có 6 đại lượng chưa biết là nên không thể giải được.
Do vậy, ta cần tìm u[x], v[x] sao cho biểu thức [4.3.1] có thể triệt tiêu bớt những thành phần chưa biết.
Vì vậy, ta sẽ chọn u[x], v[x] sao cho:
[4.3.2]
Khi đó, từ biểu thức [4.3.1] ta có:
[4.3.3]
Lấy đạo hàm biểu thức [4.3.3] ta có:
[4.3.4]
Thế [4.3.4] và [4.3.3] vào pt[4.1] và chú ý là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất, ta có:
[4.3.5]
Từ [4.3.2] và [4.3.5] ta có u[x], v[x] là nghiệm của hpt:
[I]
Do là 2 nghiệm độc lập tuyến tính nên theo [3.5] và lý thuyết hệ phương trình ta sẽ có hệ pt [I] có duy nhất nghiệm u'[x] , v'[x].
Vậy ta tìm được u[x], v[x]. Do đó tìm được nghiệm riêng y*.
Vậy bài toán đã được giải quyết.
4.4 Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Biết rằng các hàm tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình . Hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình: [4.4.1]
Giải
Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:
Ta tìm nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất [4.4.1] bằng phương pháp biến thiên hằng số.
Muốn vậy, trước tiên ta phải chuyển phương trình về dạng , nghĩa là phải chia 2 vế cho x.
Mẹo: từ phương trình trên ta dễ dàng nhận thấy y = 1 thỏa mãn phương trình [4.4.1]. Vậy ta có thể tìm nghiệm riêng y* bằng cách kiểm tra y = 1 là nghiệm. Cách này sẽ giúp ta tính toán nhanh hơn so với cách chính quy.