Các biến trạng thái của mạch là một tập hợp gồm nhiều biến có liên quan tới năng lượng của các thành phần lưu trữ năng lượng trong mạch. Như vậy, chúng mô tả đáp tuyến hoàn chỉnh trong một mạch đổì với một chức năng bắt buộc và các điều kiện ban đầu của mạch, ở đây từ trạng thái có nghĩa là điều kiện, giống như trong trạng thái liên kết. Chúng ta sẽ chọn các biến đó dưới dạng các biến trạng thái mô tả sự lưu trữ năng lượng của một mạch. Như vậy, chúng ta sẽ sử dụng các điện áp độc lập của tụ điện và các dòng điện độc lập của cuộn cảm.
Hãy xem xét mạch được minh họa ở hình 1.10.1. Hai thành phần lưu trữ năng lượng là C1 và C2 và hai tụ điện không thể qui về thành một. Chúng ta muốn mạch này phải được mô tả thành một phương trình vi phân bậc hai. Tuy nhiên, trước tiên chúng ta hãy tìm các phương trình vi phân bậc nhất dành cho đáp tuyến v1[t] và v2[t], đây là các biến trạng thái của mạch. Nếu chúng ta biết giá trị của các biến trạng thái vào một thời điểm và giá trị của các biến đầu vào sau đó, thì ta có thể tìm được giá trị của một biến trạng thái bất kỳ vào một thời gian bất kỳ kế tiếp.
Viết KCL tại các nút 1 và 2, ta có
Các phương trình 1.10.1 và phương trình 1.10.2 có thể được viết lại như sau:
Giả sử rằng C1R1 = 1, C1R2 = 1, C2R3 = 1, và C2R2 = 1/2. Khi đó ta có
và
Bằng cách sử dụng các toán tử:
Nếu chúng ta muốn giải để tìm v1 thì chúng ta sử dụng định luật Cramer để tìm
Phương trình đặc tính được tìm từ mẫu thức và có dạng
s2 + 5s + 4 = 0 [1.10.8]
Các nghiệm đặc tính là s = -4 v à s = -1. Phương trình vi phân bậc hai có thể được tìm bằng cách viết lại phương trình 1.10.7 như sau
[s2 + 5s + 4]v1 = [s + 3]va + vb
Khi đó phương trình vi phân dành cho v1 là :
Bây giờ ta tiếp tục tìm đáp tuyến tự nhiên
và đáp tuyến bắt buộc, phụ thuộc vào dạng hàm sô bắt buộc. Ví dụ, nếu va = 10V và vb -=6V, v1f sẽ là một hằng số [xem bảng 1.8.1]. Chúng ta tìm v1f bằng cách thay thế va và vb vào phương trình 1.10.8, ta tìm được:
Chúng ta thường sẽ biết các điều kiện ban đầu của các th à n h phần lưu trữ năng lượng. Ví dụ, nếu ta biết rằng v1 = 5V và v2 = 10V, thì trước tiên chúng ta sử dụng v1 = 5V với phương trình 1.10.9 để tìm
V1[0] = A1 + A2 + 9
và do đó: A1 + A2 = -4 [1.10.10]
Bây giờ chúng ta cần giá trị của dv1 /dt tại t = 0. Hãy xem lại phương trình 1.10.5, ta có
Do đó, tại t = 0 ta có
Đạo hàm hoàn chỉnh của phương trình 1.10.1, tại t = 0 là
do đó:
A1 + A2 = -10 [1.10.11]
Bằng cách giải các phương trình 1.10.10 và phương trình 1.10.11, ta có
A1 = -2, A2 = -2
do đó:
V1[t] = -2e-t -2e-4t + 9 V
Khi bạn gặp các mạch có hai hay nhiều thành phần lưu trữ năng lượng, thi bạn nên xem xét việc sử dụng phương pháp biến trạng thái để mô tả các tập hợp của phương trình vi phân bậc nhất.
Phương pháp biến trạng thái sử dụng một phương trình vi phân bậc nhất cho mỗi biến trạng thái để xác định đáp tuyến hoàn chỉnh cho mỗi mạch.
Một bảng tóm tắt về phương pháp biến trạng thái được cho trong bảng 1.10.1. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp này trong ví dụ 1.10.1
Bảng 1.10.1 Phương pháp biến trạng thái về việc phân tích mạch.
- Xác định các biến trạng thái dưới dạng các điện áp độc lập của tụ điện qua các dòng điện độc lập của cuộn cảm
- Xác định các điều kiện ban đầu tại t = 0 ứng vói các điện áp của tụ điện và các dòng điện của cuộn cảm.
- Tìm phương trình vi phân bậc nhất ứng vối mỗi biến của các trạng thái bằng cách sử dụng KCL hoặc KVL.
- Sử dụng các toán tử s để thay thế cho d/dt.
- Tìm phương trinh đặc tính của mạch bằng cách lưu ý rằng nó cổ thể được tìm bằng cách xác lập định thức của định luật Cramer bằng với zero.
- Xác định các nghiệm của phương trình đặc tính, phương trình này sau đó xác định dạng của đáp tuyến tự nhiên.
- Phương trình vi phân bậc hai [hoặc bậc cao hơn] cho biến X đă được chọn theo định luật Cramer.
- Xác định đáp tuyến bắt buộc xt bằng cách giả sử một dạng xt thích hợp và xác định hằng số bằng cách thay thế nghiệm đã giả định trong phương trình vi phân bậc hai.
- Tìm nghiêm hoàn chỉnh X = xn+ xt
- Sử dụng các điều kiện ban đầu về các biến trạng thái cùng vơi tập hợp các phương trình vi phân bậc nhất [bưóc 3] để tìm dx[0]/dt.
- Bằng cách sử dụng x[0] và dx[0] /dt cho mỗi biến trạng thái, hãy tìm các hằng số tuỷ ý A1 , A2,… An để tìm được nghiệm hoàn chỉnh x[t].