| Bài tập 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f[x]=-{{x}^{2}}+4x-m$ có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;3] bằng 10.
A. $m=3.$ B. $m=-6.$ C. $m=-7.$ D. $m=-8.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số $f[x]=-{{x}^{2}}+4x-m$ trên [-1;3], có $f'[x]=-2x+4$
Phương trình $f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1\le x\le 3 \\ {} -2x+4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2$
Tính $f[-1]=-5-m;f[2]=4-m;f[3]=3-m$
Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\max }}\,f[x]=f[2]=4-m=10\Rightarrow m=-6$
| Bài tập 2: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số $f[x]=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] bằng 0.
A. $a=2.$ B. $a=6.$ C. $a=0.$ D. $a=4.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn D
Xét hàm số $f[x]=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ trên [-1;1], có $f'[x]=-3{{x}^{2}}-6x$
Phương trình$f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1\le x\le 1 \\ {} -3{{x}^{2}}-6x=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=0$
Tính $f[-1]=-2+a;f[0]=a;f[1]=-4+a$
Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[1]=-4+a=0\Rightarrow a=4.$
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-[{{m}^{2}}+m+1]x$. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;1] bằng – 6. Tính tổng các phần tử của S.
A. 0. B. 4. C. – 4. D. $2\sqrt{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Ta có $f'[x]=-3{{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-m-1;\forall x\in \mathbb{R}.$ Mà $\Delta '=-2{{m}^{2}}-3m-30\Rightarrow f[x]$ là hàm số đồng biến trên $[0;1]$
Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\max }}\,f[x]=f[1]=\frac{1-m}{3};\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[0]=-\frac{m}{2}$
Theo bài ra, ta có $\frac{1-m}{3}\ge 2\left[ -\frac{m}{2} \right]\Leftrightarrow 1-m\ge -3m\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$
Kết hợp với $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 11 giá trị nguyên m
- TH2. Với $m0;\forall x\ne m$
Với $x=m\notin \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;4]\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m4 \\ {} m0$
Lại có $f'[x]=4a{{x}^{3}}+2bx$ mà $\underset{[-\infty ;0]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[-1]\Rightarrow f'[-1]=0\Leftrightarrow b=-2a$
Do đó $f[x]=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$
Xét hàm số $f[x]=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$ trên $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ có $f'[x]=4a{{x}^{3}}-4ax$
Phương trình $f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\ {} 4a{{x}^{3}}-4ax=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\ {} x[{{x}^{2}}-1]=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$
Tính $f\left[ \frac{1}{2} \right]=c-\frac{7a}{16};f[1]=c-a;f[2]=8a+2.$ Vậy $\underset{\left[ \frac{1}{2};2 \right]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[1]=c-a.$
Bài tập 11: Hỏi tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m \right|$ trên đoạn [0;2] bằng 5? A. $[-\infty ;-5]\cup [0;+\infty ].$ B. $[-5;-2].$ C. $[-4;-1]\cup [5;+\infty ].$ D. $[-4;-3].$
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số $f[x]={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ trên [0;2], có $f'[x]=4{{x}^{3}}-4x;f'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right.$
Tính $\left| f[0] \right|=\left| m \right|;\left| f[1] \right|=\left| m-1 \right|;\left| f[2] \right|=\left| m+8 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m-1 \right|;\left| m+8 \right| \right\}$
- TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m-1 \right|\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} \left| m-1 \right|=5 \\ {} \left| m-1 \right|\ge \left| m+8 \right| \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-4$
- TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m+8 \right|\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} \left| m+8 \right|=5 \\ {} \left| m+8 \right|\ge \left| m-1 \right| \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-3$
Vậy có 2 giá trị m cần tìm và thuộc khoảng $[-5;-2].$
Bài tập 12: Cho hàm số $f[x]=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ -1;3 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f[x]\le 3$ ? A. 4. B. 8. C. 13. D. 39.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Xét hàm số $g[x]=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [-1;3], có $g'[x]=6{{x}^{2}}-6x;g'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$
Tính $\left\{ \begin{array} {} f[-1]=\left| m-5 \right|;f[0]=\left| m \right| \\ {} f[1]=\left| m-1 \right|;f[3]=\left| m+27 \right| \\ \end{array} \right.$. Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left\{ \left| m-5 \right|;\left| m+27 \right| \right\}$
- TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left| m-5 \right|\Leftrightarrow \left| m-5 \right|\le 3\Leftrightarrow -3\le m-5\le 3\Leftrightarrow 2\le m\le 8$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 2;3;4;...;8 \right\}$. Thử lại $\Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên âm m cần tìm.
- TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left| m+27 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left| m+27 \right|\le \left\{ \left| m-5 \right|;\left| m \right|;\left| m-1 \right| \right\} \\ {} \left| m+27 \right|\le 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -30\le m\le -24$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có 7 giá trị nguyên m cần tìm.
Vậy có tất cả 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 13: Cho hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ [với m là tham số thực]. Hỏi $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y$ có giá trị nhỏ nhất là? A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Xét hàm số $f[x]={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [1;2], có $f'[x]=3{{x}^{2}}-6x;f'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$
Tính $\left| f[0] \right|=\left| m \right|;\left| f[1] \right|=\left| m-2 \right|;\left| f[2] \right|=\left| m-4 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}$
- TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m \right|\xrightarrow{{}}\left| m \right|\ge \left| m-4 \right|\Leftrightarrow m\ge 2\xrightarrow{{}}\left| m \right|\ge 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$
- TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m-4 \right|\xrightarrow{{}}\left| m-4 \right|\le \left| m \right|\Leftrightarrow m\le 2\xrightarrow{{}}m-4\le -2\Leftrightarrow \left| m-4 \right|\ge 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$. Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y$ có giá trị nhỏ nhất là 2.
Bài tập 14: Có bao nhiêu số thực m để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có giá trị lớn nhất trên [-3;2] bằng 150? A. 2. B. 0. C. 6. D. 4.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Xét hàm số $g[x]=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{3}}+m$ trên [-3;2] có $g'[x]=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x$
Phương trình $g'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -3\le x\le 2 \\ {} 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=0 \\ \end{array} \right.$
Tính $\left\{ \begin{array} {} f[-1]=\left| m-5 \right|;f[0]=\left| m \right| \\ {} f[-3]=\left| m+243 \right|;f[2]=\left| m-32 \right| \\ \end{array} \right..$ Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left\{ \left| m-32 \right|;\left| m+243 \right| \right\}$
- TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left| m+243 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left| m-32 \right|\le \left| m+243 \right| \\ {} \left| m+243 \right|=150 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-93$
- TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left| m-32 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left| m-32 \right|\ge \left| m+243 \right| \\ {} \left| m-32 \right|=150 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-118$
Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Bài tập 15: Cho hàm số $f[x]=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a \right|$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;3]$ sao cho $M\le 2m$ A. 6. B. 5. C. 7. D. 3.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số $u[x]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}$ trên [0;2], có $u'[x]=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x$
Phương trình $u'[x]=0\Leftrightarrow x\left\{ 0;1;2 \right\}.$ Khi đó $u[0]=u[2]=a;u[1]=a+1$
Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$ và $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$
- TH1. Với $a=0$, ta thấy $\left\{ \begin{array} {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f[x]=0 \\ {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f[x]=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} M=1 \\ {} m=0 \\ \end{array} \right.$ [không TMĐK]
- TH2. Với $a>0,$ ta có $\left\{ \begin{array} {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left| a \right| \\ {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left| a+1 \right| \\ \end{array} \right.$ mà $M\le 2m\Rightarrow \left| a+1 \right|\le 2\left| a \right|\Leftrightarrow a\ge 1$
Kết hợp với điều kiện $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ -3;3 }\!\!]\!\!\text{ }$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ 1;2;3 \right\}$
- TH3. Với $a