Cực trị hàm số bậc 3 là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán 12 và thi THPT Quốc Gia. Vậy cực trị hàm số bậc 3 là gì? Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3? Lý thuyết và Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!
Cực trị của hàm số là gì?
Cho hàm số \[ y= f[x] \] liên tục và xác định trên khoảng \[ [a;b] \] và điểm \[ x_0 \in [a;b] \]
- Hàm số \[ f[x] \] đạt cực đại tại \[ x_0 \] nếu tồn tại số \[ h>0 \] sao cho \[ f[x] < f[x_0] \] với mọi \[ x \in [x_0-h;x_0+h] \] và \[x \neq x_0\]
- Hàm số \[ f[x] \] đạt cực tiểu tại \[ x_0 \] nếu tồn tại số \[ h>0 \] sao cho \[ f[x] > f[x_0] \] với mọi \[ x \in [x_0-h;x_0+h] \] và \[x \neq x_0\]
Định lý:
Cho hàm số \[ y=f[x] \] liên tục, xác định và có đạo hàm cấp 2 trên khoảng \[ [a;b] \]. Khi đó
- Nếu \[\left\{\begin{matrix} f'[x_0]=0\\ f”[x_0]>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow\] \[ x_0 \] là điểm cực tiểu của hàm số \[ f \]
- Nếu \[\left\{\begin{matrix} f'[x_0]=0\\ f”[x_0]>> Cực trị của hàm số là gì? Cực trị của một số hàm số
Cực trị của hàm số bậc 3 là gì?
Cho hàm số bậc 3 \[ y=f[x] = ax^3+bx^2+cx+d \]
Đạo hàm \[ y’=f’[x] = 3ax^2+2bx+c \]
- Hàm số \[ f[x] \] có cực trị \[\Leftrightarrow f[x] \] có cực đại và cực tiểu
\[\Leftrightarrow f'[x]=0\] có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac >0\]
- Hàm số \[ f[x] \] không có cực trị \[ \Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac \leq 0\]
Bài tập về cực trị hàm đa thức bậc 3
Dạng 1: Tìm điểm cực trị hàm số bậc 3
Đây là dạng bài cơ bản nhất, chỉ cần sử dụng Định lý ở mục trên là có thể tìm được cực đại, cực tiểu của hàm số.
Ví dụ:
Tìm cực trị của hàm số : \[ f[x] =x^3-3x^2-2 \]
Cách giải:
Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]
Ta có :
\[ f’[x] = 3x^2-6x =3x[x-2] \]
Vậy \[f'[x]=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array}\right.\]
Mặt khác :
\[ f’’[x] =6x-6 \]
\[ \Rightarrow f’’[0] =-60 \Rightarrow \] hàm số đạt cực đại tại điểm \[ [2;-6] \]
Dạng 2: Tìm \[ m \] để hàm số bậc 3 có 2 cực trị
Bài toán: Tìm \[ m \] để hàm số \[ y=f[x;m] =ax^3+bx^2+cx+d \] có \[ 2 \] điểm cực trị với \[ a,b,c,d \] là các hệ chứa \[ m \]
Cách làm:
- Bước 1: Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]. Tính đạo hàm \[ y’ = 3ax^2+2bx+c \]
- Bước 2: Hàm số có \[ 2 \] cực trị \[\Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac >0\]
- Bước 3: Giải bất phương trình trên, tìm ra điều kiện của \[ m \]
Ví dụ:
Tìm \[ m \] đề hàm số \[ f[x] = y=2x^{3}+3[m-1]x^{2}+6[m-2]x – 1 \] có hai điểm cực trị
Cách giải:
Xét \[ y=2x^{3}+3[m-1]x^{2}+6[m-2]x – 1 \] có tập xác định \[ D=\mathbb {R} \]
Ta có :
\[ y’=6x^2+6[m-1]x+6[m-2] \]
Để hàm số có hai cực trị thì \[ y’=0 \] có hai nghiệm phân biệt
\[\Leftrightarrow x^2+[m-1]x+[m-2]=0\] có hai nghiệm phân biệt
\[\Leftrightarrow \Delta = [m-1]^2-4[m-2]>0\]
\[\Leftrightarrow m^2-6m+9=[m-3]^2>0\]
\[\Leftrightarrow m \neq 3\]
Dạng 3: Tìm \[ m \] để hai cực trị thỏa mãn điều kiện
Bài toán: Tìm \[ m \] để hàm số \[ y=f[x;m] =ax^3+bx^2+cx+d \] có \[ 2 \] điểm cực trị \[ x_1;x_2 \] thỏa mãn điều kiện \[ K \] với \[ a,b,c,d \] là các hệ chứa \[ m \]
Cách làm:
- Bước 1: Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]. Tính đạo hàm \[ y’ = 3ax^2+2bx+c \]
- Bước 2: Hàm số có \[ 2 \] cực trị \[\Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac >0\]. Giải bất phương trình này tìm được \[ m \in D_1 \]
- Bước 3: Gọi \[ x_1;x_2 \] là hai nghiệm của phương trình \[ y’=0 \]. Theo Vi-ét ta có :
\[\left\{\begin{matrix} S=x_1+x_2=\frac{-b}{3a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{3a} \end{matrix}\right.\]
- Bước 4: Biến đổi điều kiện yêu cầu của đề bài về dạng \[ S \] và \[ P \]. Từ đó giải ra tìm được \[ m \in D_2 \]
- Bước 5: Kết luận các giá trị của \[ m \] thỏa mãn \[m=D_1\cap D_2\]
Ví dụ:
Cho hàm số \[ y= 4x^3+mx^2-3x \]. Tìm \[ m \] để hàm số đã cho có hai điểm cực trị \[ x_1; x_2 \] thỏa mãn \[ x_1=-4x_2 \]
Cách giải:
Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]
Đạo hàm : \[ y’=12x^2+2mx-3 \]
Để hàm số có hai cực trị thì phương trình \[ y’=0 \] có hai nghiệm phân biệt
\[\Leftrightarrow \Delta’=m^2+36 >0\]
Điều này luôn đúng với mọi \[m \in \mathbb{R}\]
Vậy \[ y \] luôn có hai điểm cực trị có hoành độ \[ x_1;x_2 \] thỏa mãn
\[\left\{\begin{matrix} x_1+x_2 = \frac{-m}{6}\\ x_1x_2=\frac{-1}{4} \end{matrix}\right.\] [ theo Vi-ét]
Vì \[ x_1=-4x_2 \] nên thay vào hệ trên ta có :
\[\left\{\begin{matrix} -3x_2 = \frac{-m}{6}\\ -4x_2^2=\frac{-1}{4} \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=18x_2\\ x_2^2=\frac{1}{16} \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{1}{4}\\ m=\frac{9}{2} \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{-1}{4}\\ m=-\frac{9}{2} \end{matrix}\right. \end{array}\right.\]
Vậy \[m=\frac{9}{2}\] hoặc \[m=-\frac{9}{2}\]
Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3
Đây là một số công thức giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán trắc nghiệm một cách nhanh chóng mà không cần phải tính toán phức tạp.
Cho hàm số \[ y= ax^3+bx^2+cx+d \] có hai điểm cực trị phân biệt là \[ A,B \] . Khi đó:
- Phương trình đường thẳng \[ AB \] :
\[\frac{2}{3}[c-\frac{b^2}{3a}]x+[d-\frac{bc}{9a}]\]
Xem chi tiết >>> Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị hàm số bậc 3
- Độ dài đoạn thẳng \[ AB \] :
\[AB=\sqrt{\frac{4e[4e^2+1]}{a}}\] với \[e=\frac{b^2-3ac}{9a}\]
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chuyên đề cực trị hàm số bậc 3 cũng như các phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề cực trị hàm số bậc 3. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem thêm >>> Tìm m để hàm số có 3 cực trị: Lý thuyết và Các dạng bài tập
Please follow and like us:
12:05:2931/07/2022
Giải phương trình bậc 3 dạng tổng quát ax3 + bx2 + cx + d = 0 là một dạng toán khó và chúng ta ít gặp cả ở bậc THCS và THPT. Ở các bậc học này chúng ta chỉ gặp một số dạng đặc biệt [cách giải không quá phức tạp] của phương trình bậc 3.
Ở lớp 9 chúng ta sẽ gặp một số dạng phương trình bậc 3 ở dạng x3 = a hoặc dạng tổng quát là ax3 + bx2 + cx + d = 0 nhưng biết trước 1 nghiệm của phương trình này [hoặc dễ dàng tính nhẩm được 1 nghiệm của phương trình này].
I. Cách giải phương trình bậc 3
1. Cách giải phương trình bậc 3 dạng x3 = a
Cách giải dạng phương trình này sử dụng căn thức bậc 3, ta có:
2. Cách giải phương trình bậc 3 dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0
Với dạng phương trình này đề thường cho trước 1 nghiệm [hoặc ta dễ dàng tính nhẩm được nghiệm của pt, thường là 0; ±1/2: ±1; ±2].
- Nếu x = α là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì
ax3 + bx2 + cx + d = [x - α].f[x]
- Để tìm f[x] ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho [x - α].
- Giả sử f[x] = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích [x - α].[ax2 + Bx + C] = 0.
* Lưu ý: Để tìm f[x] ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne bậc 3 sau:
Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = [x - α].[ax2 + Bx + C]
ax3 + bx2 + cx + d = 0
⇔ [x - α].[ax2 + Bx + C] = 0
» Đừng bỏ lỡ: Cách sử dụng lược đồ Hoocne để chia đa thức
II. Bài tập giải phương trình bậc 3
* Bài tập 1: Giải phương trình bậc 3 sau: x3 = 8
* Lời giải:
- Ta có:
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình.
* Bài tập 2: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 = -128
* Lời giải:
- Ta có:
Vậy x = -4 là nghiệm của phương trình.
* Bài tập 3: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 + 5x2 - x - 6 = 0.
* Lời giải:
- Dễ dàng nhận thấy các hệ số của phương trình bậc 3 là:
a + b + c + d = 2 + 5 - 1 - 6 = 0 nên có thể nhẩm được phương trình bậc 3 này có 1 nghiệm x = 1.
Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức [2x3 + 5x2 - x - 6] chia cho
[x – 1]. Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
x 2 5 -1 -6 1 2 1.2+5=7 1.7+[-1]=6 1.6+[-6]=0 Vậy 2x3 + 5x2 - x - 6 = [x - 1][2x2 + 7x + 6]
Khi đó: 2x3 + 5x2 - x - 6 = 0
⇔ [x - 1][2x2 + 7x + 6] = 0
⇔ [x - 1]= 0 hoặc [2x2 + 7x + 6] = 0
Xét phương trình: x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Xét phương trình: 2x2 + 7x + 6 = 0 có ∆ = 72 - 4.2.6 = 1 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm:
x1 = [-7 + 1]/4 = -3/2;
x2 = [-7 - 1]/4 = -2
Vây phương trình có 3 nghiệm là: x = 1; x = -2; x = -3/2;
Tập nghiệm của phương trình S={-2;-3/2;1}.
* Bài tập 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc 3 sau: 3x3 - 2x2 - 5x + 4 = 0 biết x = 1 là một nghiệm của phương trình.
* Lời giải:
Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức [3x3 - 2x2 - 5x + 4] chia cho [x – 1]. Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
x 3 -2 -5 4 1 3 1.3+[-2]=1 1.1+[-5]=-4 1.[-4]+4=0 Vậy 3x3 - 2x2 - 5x + 4 = [x – 1].[3x2 - 2x - 5]
Khi đó: x3 - 2x2 - 5x + 4 = 0
⇔ [x – 1].[3x2 - 2x - 5] = 0
⇔ x - 1 = 0 hoặc 3x2 - 2x - 5 = 0
Xét phương trình: x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Xét phương trình: 3x2 - 2x - 5 = 0 có ∆ = [-2]2 - 4.3.[-5]= 64 nên phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1 và x2 = 5/3.
[có thể thấy ngay phương trình: 3x2 - 2x - 5 = 0 có các hệ số a - b + c = 0 nên có 1 nghiệm x = -1 và nghiệm còn lại x = -c/a = 5/3]
Vây phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = -1; x = 5/3.
* Bài tập 5: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 2 nghiệm phân biệt:
[x - 2][x2 + mx + m2 – 3] = 0 [*]
* Lời giải:
- Phương trình [*]⇔
Phương trình [1] có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình [*] có đúng 2 nghiệm thì phương trình [2] phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2.
+] TH1: phương trình [2] có nghiệm kép khác 2
⇔ Phương trình [2] có: ∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của [2]
+] TH2: Phương trình [2] có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
Thay x = 2 vào phương trình [2] ta được:
m2 + 2m + 1 = 0
⇔ [m + 1]2 = 0
⇔ m = -1
Với m = -1 thì phương trình [2] trở thành: x2 - x - 2 = 0
Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm: x1 = -1, x2 = -c/a = 2
Suy ra m = -1 [thỏa mãn]
Vậy m = -1, m = 2, m = -2 thì phương trình [*] có đúng 2 nghiệm phân biệt.
* Bài tập 6: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 3 nghiệm phân biệt:
[x - 1][x2 – 2[m + 1]x – 2] = 0
* Bài tập 7: Giải phương trình bậc 3 sau:
3x3 - 13x2 + 13x - 3 = 0
* Bài tập 8: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3:
[x + 1][x2 + 2mx + 4] = 0
Hy vọng với bài viết về Cách giải phương trình bậc 3 và bài tập vận dụng toán lớp 9 ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại phần bình luận dưới bài viết để Hay-Học-Hỏi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.
Video liên quan