Câu 1: Trong khai triển ${{\left[ 2a-b \right]}^{5}}$, hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
[A]. -80.
[B]. 80.
[C]. -10.
[D]. 10.
Chọn B
Ta có: ${{\left[ 2a-b \right]}^{5}}=C_{5}^{0}{{\left[ 2a \right]}^{5}}-C_{5}^{1}{{\left[ 2a \right]}^{4}}b+C_{5}^{2}{{\left[ 2a \right]}^{3}}{{b}^{2}}+…$
Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng$C_{5}^{2}.8=80$.
Câu 2: Trong khai triển nhị thức ${{\left[ a+2 \right]}^{n+6}},\left[ n\in \mathbb{N} \right]$. Có tất cả$17$số hạng. Vậy n bằng:
[A]. 17.
[B]. 11.
[C]. 10.
[D]. 12.
Chọn C
Trong khai triển ${{\left[ a+2 \right]}^{n+6}},\left[ n\in \mathbb{N} \right]$ có tất cả $n+7$ số hạng.
Do đó $n+7=17\Leftrightarrow n=10$.
Câu 3: Trong khai triển ${{\left[ 3{{x}^{2}}-y \right]}^{10}}$, hệ số của số hạng chính giữa là:
[A]. ${{3}^{4}}.C_{10}^{4}$.
[B]. $-{{3}^{4}}.C_{10}^{4}$.
[C]. ${{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.
[D]. $-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.
Chọn D
Trong khai triển ${{\left[ 3{{x}^{2}}-y \right]}^{10}}$có tất cả $11$ số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ $6$.
Vậy hệ số của số hạng chính giữa là$-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.
Câu 4: Trong khai triển ${{\left[ 2x-5y \right]}^{8}}$, hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}.{{y}^{3}}$ là:
[A]. -22400.
[B]. -40000.
[C]. -8960.
[D]. -4000.
Chọn A
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}={{[-1]}^{k}}C_{8}^{k}.{{[2x]}^{8-k}}{{[5y]}^{k}}={{[-1]}^{k}}C_{8}^{k}{{.2}^{8-k}}{{5}^{k}}.{{x}^{8-k}}.{{y}^{k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$. Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}.{{y}^{3}}$ là:$-22400$.
Câu 5: Trong khai triển ${{\left[ x+\dfrac{2}{\sqrt[{}]{x}} \right]}^{6}}$, hệ số của ${{x}^{3}},\left[ x>0 \right]$ là:
[A]. 60.
[B]. 80.
[C]. 160.
[D]. 240.
Chọn C
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{x}^{6-k}}{{2}^{k}}.{{x}^{-\dfrac{1}{2}k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $6-k-\dfrac{1}{2}k=3\Leftrightarrow k=3$.
Khi đó hệ số của ${{x}^{3}}$ là:$C_{6}^{3}{{.2}^{3}}=160$.
Câu 6: Trong khai triển ${{\left[ {{a}^{2}}+\dfrac{1}{b} \right]}^{7}}$, số hạng thứ $5$ là:
[A]. $35.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}$.
[B]. $-35.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}$.
[C]. $35.{{a}^{4}}.{{b}^{-5}}$.
[D]. $-35.{{a}^{4}}.b$.
Chọn A
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{7}^{k}.{{a}^{14-2k}}.{{b}^{-k}}$
Vậy số hạng thứ 5 là ${{T}_{5}}=C_{7}^{4}.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}=35.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}$
Câu 7: Trong khai triển ${{\left[ 2a-1 \right]}^{6}}$, tổng ba số hạng đầu là:
[A]. $2{{a}^{6}}-6{{a}^{5}}+15{{a}^{4}}$.
[B]. $2{{a}^{6}}-15{{a}^{5}}+30{{a}^{4}}$.
[C]. $64{{a}^{6}}-192{{a}^{5}}+480{{a}^{4}}$.
[D]. $64{{a}^{6}}-192{{a}^{5}}+240{{a}^{4}}$.
Chọn D
Ta có: ${{\left[ 2a-1 \right]}^{6}}=C_{6}^{0}{{.2}^{6}}{{a}^{6}}-C_{6}^{1}{{.2}^{5}}{{a}^{5}}+C_{6}^{2}{{.2}^{4}}{{a}^{4}}-…$
Vậy tổng 3 số hạng đầu là $64{{a}^{6}}-192{{a}^{5}}+240{{a}^{4}}$.
Câu 8: Trong khai triển ${{\left[ x-\sqrt{y} \right]}^{16}}$, tổng hai số hạng cuối là:
[A]. $-16x\sqrt{{{y}^{15}}}+{{y}^{8}}$.
[B]. $-16x\sqrt{{{y}^{15}}}+{{y}^{4}}$.
[C]. $16x{{y}^{15}}+{{y}^{4}}$.
[D]. $16x{{y}^{15}}+{{y}^{8}}$.
Chọn A
Ta có: ${{\left[ x-\sqrt{y} \right]}^{16}}=C_{16}^{0}{{x}^{16}}-C_{16}^{1}{{x}^{15}}.\sqrt{y}+…-C_{16}^{15}x{{\left[ \sqrt{y} \right]}^{15}}+C_{16}^{16}{{\left[ \sqrt{y} \right]}^{16}}$
Câu 9: Trong khai triển ${{\left[ 8{{a}^{2}}-\dfrac{1}{2}b \right]}^{6}}$, hệ số của số hạng chứa ${{a}^{9}}{{b}^{3}}$ là:
[A]. $-80{{a}^{9}}.{{b}^{3}}$.
[B]. $-64{{a}^{9}}.{{b}^{3}}$.
[C]. $-1280{{a}^{9}}.{{b}^{3}}$.
[D]. $60{{a}^{6}}.{{b}^{4}}$.
Chọn C
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}={{\left[ -1 \right]}^{k}}C_{6}^{k}{{.8}^{6-k}}{{a}^{12-2k}}{{.2}^{-k}}{{b}^{k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$.
Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{a}^{9}}{{b}^{3}}$ là:$-1280{{a}^{9}}.{{b}^{3}}$.
Câu 10: Trong khai triển ${{\left[ x+\dfrac{8}{{{x}^{2}}} \right]}^{9}}$, số hạng không chứa $x$ là:
[A]. 4308.
[B]. 86016.
[C]. 84.
[D]. 43008.
Chọn D
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{9}^{k}.{{x}^{9-k}}{{8}^{k}}.{{x}^{-2k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $9-k-2k=0\Leftrightarrow k=3$.
Khi đó số hạng không chứa $x$ là:$C_{9}^{3}{{.8}^{3}}=43008$.
Câu 11: Trong khai triển ${{\left[ 2x-1 \right]}^{10}}$, hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là:
[A]. -11520.
[B]. 45.
[C]. 256.
[D]. 11520.
Chọn D
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{10}^{k}{{.2}^{10-k}}.{{x}^{10-k}}.{{\left[ -1 \right]}^{k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $10-k=8\Leftrightarrow k=2$.
Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là:$C_{10}^{2}{{.2}^{8}}=11520$.
Câu 12: Trong khai triển${{\left[ a-2b \right]}^{8}}$, hệ số của số hạng chứa ${{a}^{4}}.{{b}^{4}}$là:
[A]. 1120.
[B]. 560.
[C]. 140.
[D]. 70.
Chọn A
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{8}^{k}.{{a}^{8-k}}.{{\left[ -2 \right]}^{k}}.{{b}^{k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=4$.
Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{a}^{4}}.{{b}^{4}}$ là:$C_{8}^{4}{{.2}^{4}}=1120$.
Câu 13: Trong khai triển${{\left[ 3x-y \right]}^{7}}$, số hạng chứa ${{x}^{4}}{{y}^{3}}$là:
[A]. $-2835{{x}^{4}}{{y}^{3}}$.
[B]. $2835{{x}^{4}}{{y}^{3}}$.
[C]. $945{{x}^{4}}{{y}^{3}}$.
[D]. $-945{{x}^{4}}{{y}^{3}}$.
Chọn A
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{7}^{k}{{.3}^{7-k}}{{x}^{7-k}}.{{\left[ -1 \right]}^{k}}.{{y}^{k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$.
Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{4}}.{{y}^{3}}$ là:$-C_{7}^{3}{{.3}^{4}}.{{x}^{4}}.{{y}^{3}}=-2835.{{x}^{4}}.y$.
Câu 14: Trong khai triển${{\left[ \text{0,2 + 0,8} \right]}^{\text{5}}}$, số hạng thứ tư là:
[A]. 0,0064.
[B]. 0,4096.
[C]. 0,0512.
[D]. 0,2048.
Chọn D
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{5}^{k}.{{[0,2]}^{5-k}}.{{[0,8]}^{k}}$
Vậy số hạng thứ tư là ${{T}_{4}}=C_{5}^{3}.{{[0,2]}^{2}}.{{[0,8]}^{3}}=0,2028$
Câu 15: Hệ số của ${{x}^{3}}{{y}^{3}}$trong khai triển ${{\left[ 1+x \right]}^{6}}{{\left[ 1+y \right]}^{6}}$là:
[A]. 20.
[B]. 800.
[C]. 36.
[D]. 400.
Chọn D
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{x}^{k}}.C_{6}^{m}.{{y}^{m}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=m=3$.
Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}}{{y}^{3}}$ là:$C_{6}^{3}.C_{6}^{3}=400$.
Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển ${{\left[ 3x\text{ }+\text{ }2y \right]}^{4}}$là:
[A]. $C_{4}^{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}$.
[B]. $6{{\left[ 3x \right]}^{2}}{{\left[ 2y \right]}^{2}}$.
[C]. $6C_{4}^{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}$.
[D]. $36C_{4}^{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}$.
Chọn D
Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: $C_{4}^{2}{{\left[ 3x \right]}^{2}}{{\left[ 2y \right]}^{2}}=6{{\left[ 3x \right]}^{2}}{{\left[ 2y \right]}^{2}}$.
Câu 17: Trong khai triển${{\left[ x-y \right]}^{11}}$, hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}.{{y}^{3}}$ là
[A]. $C_{11}^{3}$.
[B]. $-\,\text{C}_{\text{11}}^{\text{3}}$.
[C]. $-C_{11}^{5}$.
[D]. $C_{11}^{8}$.
Chọn B
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{11}^{k}.{{x}^{11-k}}.{{\left[ -1 \right]}^{k}}.{{y}^{k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$.
Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}.{{y}^{3}}$ là:$-C_{11}^{3}$.
Câu 18: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau: $f[x]={{[1-2x]}^{10}}$
[A]. -15360
[B]. 15360
[C]. -15363
[D]. 15363
Chọn A
Ta có $f[x]=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}{{1}^{10-k}}{{[-2x]}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{[-2]}^{k}}{{x}^{k}}}$
Số hạng chứa ${{x}^{7}}$ ứng với giá trị $k=7$
Vậy hệ số của ${{x}^{7}}$ là: $C_{10}^{7}{{[-2]}^{7}}=-15360$.
Câu 19: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau: $h[x]=x{{[2+3x]}^{9}}$
[A]. 489889
[B]. 489887
[C]. -489888
[D]. 489888
Chọn D
Ta có ${{[2+3x]}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{2}^{9-k}}{{[3x]}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{2}^{9-k}}{{3}^{k}}.{{x}^{k}}}$
$\Rightarrow h[x]=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{2}^{9-k}}{{3}^{k}}{{x}^{k+1}}}$.
Số hạng chứa ${{x}^{7}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $k+1=7\Leftrightarrow k=6$
Vậy hệ số chứa ${{x}^{7}}$ là: $C_{9}^{6}{{2}^{3}}{{3}^{6}}=489888$.
Câu 20: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau: $g[x]={{[1+x]}^{7}}+{{[1-x]}^{8}}+{{[2+x]}^{9}}$
[A]. 29
[B]. 30
[C]. 31
[D]. 32
Chọn A
Hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{[1+x]}^{7}}=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{x}^{k}}}$ là : $C_{7}^{7}=1$
Hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{[1-x]}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{[-1]}^{k}}{{x}^{k}}}$ là : $C_{8}^{7}{{[-1]}^{7}}=-8$
Hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{[1+x]}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{x}^{k}}}$ là : $C_{7}^{9}=36$.
Vậy hệ số chứa ${{x}^{7}}$ trong khai triển $g[x]$ thành đa thức là: $29$.
Chú ý:
* Với $a\ne 0$ ta có: ${{a}^{-n}}=\dfrac{1}{{{a}^{n}}}$ với $n\in \mathbb{N}$.
* Với $a\ge 0$ ta có: $\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\dfrac{m}{n}}}$ với $m,n\in \mathbb{N};n\ge 1$.
Câu 21: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau: $f[x]={{[3+2x]}^{10}}$
[A]. 103680
[B]. 1301323
[C]. 131393
[D]. 1031831
Chọn A
Ta có $f[x]=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}{{3}^{10-k}}{{[2x]}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{3}^{10-k}}{{[-2]}^{k}}{{x}^{k}}}$
Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với giá trị $k=8$
Vậy hệ số của ${{x}^{8}}$ là: $C_{10}^{8}{{.3}^{2}}.{{[-2]}^{8}}=103680$.
Câu 22: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau: $h[x]=x{{[1-2x]}^{9}}$
[A]. -4608
[B]. 4608
[C]. -4618
[D]. 4618
Chọn A
Ta có ${{[1-2x]}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{1}^{9-k}}{{[-2x]}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{[-2]}^{k}}.{{x}^{k}}}$
$\Rightarrow h[x]=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{[-2]}^{k}}{{x}^{k+1}}}$.
Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $k+1=8\Leftrightarrow k=7$
Vậy hệ số chứa ${{x}^{8}}$ là: $C_{9}^{7}{{[-2]}^{7}}=-4608$.
Câu 23: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f[x]={{[3{{x}^{2}}+1]}^{10}}$
[A]. 17010
[B]. 21303
[C]. 20123
[D]. 21313
Chọn A
Ta có: $f[x]=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{3}^{k}}{{x}^{2k}}}$, số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k=4$ nên hệ số ${{x}^{8}}$ là: $C_{10}^{4}{{.3}^{4}}=17010$.
Câu 24: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f[x]={{\left[ \dfrac{2}{x}-5{{x}^{3}} \right]}^{8}}$
[A]. 1312317
[B]. 76424
[C]. 427700
[D]. 700000
Chọn D
Ta có: $f[x]=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{2}^{8-k}}{{[-5]}^{k}}{{x}^{4k-8}}}$, số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k=4$nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là: $C_{8}^{4}{{.2}^{4}}.{{[-5]}^{4}}=700000$.
Câu 25: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f[x]={{\left[ \dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{2} \right]}^{12}}$
[A]. $\dfrac{297}{512}$
[B]. $\dfrac{29}{51}$
[C]. $\dfrac{27}{52}$
[D]. $\dfrac{97}{12}$
Chọn A
Ta có: $f[x]=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{3}^{12-k}}{{.2}^{-k}}.{{x}^{2k-12}}}$, số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k=10$nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là: $C_{12}^{10}{{.3}^{2}}{{.2}^{-10}}=\dfrac{297}{512}$.
Câu 26: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f[x]={{[1+x+2{{x}^{2}}]}^{10}}$
[A]. 37845
[B]. 14131
[C]. 324234
[D]. 131239
Chọn A
Ta có: $f[x]=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{[2{{x}^{2}}]}^{10-k}}{{[1+x]}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{\sum\limits_{j=0}^{k}{C_{10}^{k}C_{k}^{j}{{.2}^{10-k}}{{x}^{20-2k+j}}}}$
Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với cặp $[k,j]$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{align} 0\le j\le k\le 10 \\ j=2k-12 \\
\end{align} \right.$
Nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là:
$C_{10}^{6}C_{6}^{0}{{.2}^{4}}+C_{10}^{7}C_{7}^{2}{{2}^{3}}+C_{10}^{8}C_{8}^{4}{{2}^{2}}+C_{10}^{9}C_{9}^{6}2+C_{10}^{10}C_{10}^{8}=37845$
Câu 27: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f[x]=8{{[1+8x]}^{8}}-9{{[1+9x]}^{9}}+10{{[1+10x]}^{10}}$
[A]. $8.C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+10.C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$
[B]. $C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$
[C]. $C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-9.C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+10.C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$
[D]. $8.C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-9.C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+10.C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$
Chọn D
Ta có: ${{[1+8x]}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{8}^{8-k}}{{x}^{8-k}}}$
${{[1+9x]}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{9}^{9-k}}{{x}^{9-k}}}$
${{[1+10x]}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{10}^{10-k}}{{x}^{10-k}}}$
Nên hệ số chứa ${{x}^{8}}$ là: $8.C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-9.C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+10.C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$
Câu 28: Tìm hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển biểu thức sau: $g[x]=8{{[1+x]}^{8}}+9{{[1+2x]}^{9}}+10{{[1+3x]}^{10}}$
[A]. 22094
[B]. 139131
[C]. 130282
[D]. 21031
Chọn A
Ta có: ${{\left[ 1+ax \right]}^{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{x}^{k}}}$ nên ta suy ra hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{[1+ax]}^{n}}$ là $C_{n}^{k}{{a}^{k}}$. Do đó:
Hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{[1+x]}^{8}}$ là : $C_{8}^{8}$
Hệ số của ${{x}^{8}}$trong khai triển ${{[1+2x]}^{9}}$ là : $C_{9}^{8}{{.2}^{8}}$
Hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{[1+3x]}^{10}}$ là :$C_{10}^{8}{{.3}^{8}}$.
Vậy hệ số chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển $g[x]$ thành đa thức là:$8C_{8}^{8}+{{9.2}^{8}}.C_{9}^{8}+{{10.3}^{8}}.C_{10}^{8}=22094$.
Câu 29: Hệ số đứng trước ${{x}^{25}}.{{y}^{10}}$trong khai triển${{\left[ {{x}^{3}}+\text{ }xy \right]}^{15}}$ là:
[A]. 2080.
[B]. 3003.
[C]. 2800.
[D]. 3200.
Chọn B
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{15}^{k}x_{{}}^{45-3k}{{x}^{-3k}}{{y}^{k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 10
Vậy hệ số đứng trước x25y10 trong khai triển [x3 + xy]15 là:$C_{15}^{10}=3003$
Câu 30: Số hạng không chứa trong khai triển ${{\left[ {{x}^{3}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right]}^{18}}$là:
[A]. $C_{18}^{9}$
[B]. $C_{18}^{10}$
[C]. $C_{18}^{8}$
[D]. $C_{18}^{3}$
Chọn A
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{18}^{k}x_{{}}^{54-3k}{{x}^{-3k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54 – 3k – 3k = 0 → k = 9
Khi đó số hạng không chứa là:$C_{18}^{9}$
Câu 31: Khai triển [1-x]12, hệ số đứng trước x7 là:
[A]. 330.
[B]. -33.
[C]. -72.
[D]. -792.
Chọn D
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{12}^{k}{{[-1]}^{k}}{{x}^{k}}$
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 7.
Khi đó hệ số của số hạng chứa là:$-C_{12}^{7}=-792$
Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:$f[x]={{[x-\dfrac{2}{x}]}^{12}}\text{ [}x\ne 0]$
[A]. 59136
[B]. 213012
[C]. 12373
[D]. 139412
Chọn A
Ta có: $f[x]={{[x-2.{{x}^{-1}}]}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{12-k}}.{{[-2{{x}^{-1}}]}^{k}}}$
$\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{[-2]}^{k}}{{x}^{12-2k}}}$
Số hạng không chứa $x$ ứng với giá trị $k$ thỏa mãn: $12-2k=0$
$\Leftrightarrow k=6\Rightarrow $ số hạng không chứa $x$ là: $C_{12}^{6}{{.2}^{6}}=59136$.
Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: $g[x]={{[\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+\sqrt[4]{{{x}^{3}}}]}^{17}}\text{ }[x>0]$
[A]. 24310
[B]. 213012
[C]. 12373
[D]. 139412
Chọn A
Vì $\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}={{x}^{-\dfrac{2}{3}}};\text{ }\sqrt[4]{{{x}^{3}}}={{x}^{\dfrac{3}{4}}}$ nên ta có
$f[x]=\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}{{\left[ {{x}^{-\dfrac{2}{3}}} \right]}^{17-k}}.{{\left[ {{x}^{\dfrac{3}{4}}} \right]}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}.{{x}^{\dfrac{17k-136}{12}}}}$
Hệ số không chứa $x$ ứng với giá trị $k$ thỏa: $17k-136=0\Leftrightarrow k=8$
Vậy hệ số không chứa $x$ là: $C_{17}^{8}=24310$.
Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${{\left[ \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right]}^{n}}$ biết $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left[ n+3 \right]$.
[A]. 495
[B]. 313
[C]. 1303
[D]. 13129
Chọn A
Ta có:
$C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left[ n+3 \right]\Leftrightarrow \left[ C_{n+3}^{n}+C_{n+3}^{n+1} \right]-C_{n+3}^{n}=7\left[ n+3 \right]$ $\Leftrightarrow C_{n+3}^{n+1}=7\left[ n+3 \right]\Leftrightarrow \dfrac{\left[ n+2 \right]\left[ n+3 \right]}{2!}=7\left[ n+3 \right]$
$\Leftrightarrow n+2=7.2!=14\Leftrightarrow n=12$.
Khi đó: ${{\left[ \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right]}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left[ {{x}^{-3}} \right]}^{k}}.{{\left[ {{x}^{\dfrac{5}{2}}} \right]}^{12-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{\dfrac{60-11k}{2}}}}$.
Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k$ thỏa: $\dfrac{60-11k}{2}=8\Leftrightarrow k=4$.
Do đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là: $C_{12}^{4}=\dfrac{12!}{4!\left[ 12-4 \right]!}=495$.
Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào $x$ khi khai triển biểu thức ${{\left[ \dfrac{1}{x}-\left[ x+{{x}^{2}} \right] \right]}^{n}}$ với n là số nguyên dương thoả mãn
$C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}$.[ $C_{n}^{k},\,\,A_{n}^{k}$ tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử].
[A]. -98
[B]. 98
[C]. -96
[D]. 96
Chọn A
Ta có:$C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} n\ge 3 \\ \dfrac{n\left[ n-1 \right]\left[ n-2 \right]}{6}+2n=\left[ n+1 \right]n \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} n\ge 3 \\ {{n}^{2}}-9n+8=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow n=8$.
Theo nhị thức Newton ta có:
${{\left[ \dfrac{1}{x}-\left[ x+{{x}^{2}} \right] \right]}^{8}}={{\left[ \dfrac{1}{x}-x\left[ 1+x \right] \right]}^{8}}=C_{8}^{0}\dfrac{1}{{{x}^{8}}}-C_{8}^{1}\dfrac{1}{{{x}^{6}}}\left[ 1+x \right]+$
$+C_{8}^{2}\dfrac{1}{{{x}^{4}}}{{\left[ 1+x \right]}^{2}}-C_{8}^{3}\dfrac{1}{{{x}^{2}}}{{\left[ 1+x \right]}^{3}}+C_{8}^{4}{{\left[ 1+x \right]}^{4}}-…+C_{8}^{8}{{x}^{8}}{{\left[ 1+x \right]}^{8}}$
Số hạng không phụ thuộc vào $x$ chỉ có trong hai biểu thức
$-C_{8}^{3}\dfrac{1}{{{x}^{2}}}{{\left[ 1+x \right]}^{3}}\,$ và $C_{8}^{4}{{\left[ 1+x \right]}^{4}}$.
Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào $x$ là: $-C_{8}^{3}.C_{3}^{2}$ và $C_{8}^{4}.C_{4}^{0}$
Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: $-C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=-98$.
Câu 36: Trong khai triển $f\left[ x \right]={{\left[ x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right]}^{40}}$, hãy tìm hệ số của ${{x}^{31}}$
[A]. 9880
[B]. 1313
[C]. 14940
[D]. 1147
Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức ${{\left[ {{x}^{3}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right]}^{18}}$số hạng độc lập đối với $x$
[A]. 9880
[B]. 1313
[C]. 14940
[D]. 48620
Chọn D
$C_{18}^{9}=48620$
Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{4}}$ trong khai triển ${{\left[ \dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x} \right]}^{12}}$
[A]. $\dfrac{55}{9}$
[B]. $\dfrac{13}{2}$
[C]. $\dfrac{621}{113}$
[D]. $\dfrac{1412}{3123}$
Chọn A
$\dfrac{1}{{{3}^{8}}}{{[-3]}^{4}}C_{12}^{4}=\dfrac{55}{9}$
Câu 39: Tính hệ số của ${{x}^{25}}{{y}^{10}}$ trong khai triển ${{\left[ {{x}^{3}}+xy \right]}^{15}}$
[A]. 300123
[B]. 121148
[C]. 3003
[D]. 1303
Chọn C
$C_{15}^{10}=3003$
Câu 40: Cho đa thức $P\left[ x \right]=\left[ 1+x \right]+2{{\left[ 1+x \right]}^{2}}+…+20{{\left[ 1+x \right]}^{20}}$ có dạng khai triển là $P\left[ x \right]={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{20}}{{x}^{20}}$.
Hãy tính hệ số ${{a}_{15}}$.
[A]. 400995
[B]. 130414
[C]. 511313
[D]. 412674
Chọn A
${{a}_{15}}=\sum\limits_{k=15}^{20}{kC_{k}^{15}}=400995$
Câu 41: Tìm số hạng của khai triển ${{\left[ \sqrt{3}+\sqrt[3]{2} \right]}^{9}}$ là một số nguyên
[A]. 8 và 4536
[B]. 1 và 4184
[C]. 414 và 12
[D]. 1313
Chọn A
Ta có ${{\left[ \sqrt{3}+\sqrt[3]{2} \right]}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{\left[ \sqrt{3} \right]}^{k}}{{\left[ \sqrt[3]{2} \right]}^{9-k}}}$
Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa mãn:
$\left\{ \begin{align} k=2m \\ 9-k=3n \\ k=0,…,9 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow k=0,k=6$
Các số hạng là số nguyên: $C_{9}^{0}{{\left[ \sqrt[3]{2} \right]}^{9}}=8$ và $C_{9}^{6}{{\left[ \sqrt{3} \right]}^{6}}{{\left[ \sqrt[3]{2} \right]}^{3}}$
Câu 42: Xét khai triển $f[x]={{[2x+\dfrac{1}{x}]}^{20}}$
- Viết số hạng thứ $k+1$ trong khai triển
[A]. ${{T}_{k+1}}=C_{20}^{k}{{.2}^{20-k}}.{{x}^{20-k}}$
[B]. ${{T}_{k+1}}=C_{10}^{k}{{.2}^{20-k}}.{{x}^{20-2k}}$
[C]. ${{T}_{k+1}}=C_{20}^{k}{{.2}^{20-4k}}.{{x}^{20-2k}}$
[D]. ${{T}_{k+1}}=C_{20}^{k}{{.2}^{20-k}}.{{x}^{20-2k}}$
- Số hạng nào trong khai triển không chứa $x$
[A]. $C_{20}^{1}{{.2}^{10}}$
[B]. $A_{20}^{10}{{.2}^{10}}$
[C]. $C_{20}^{10}{{.2}^{4}}$
[D]. $C_{20}^{10}{{.2}^{10}}$
- Ta có:${{T}_{k+1}}=C_{20}^{k}{{[2x]}^{20-k}}\dfrac{1}{{{x}^{k}}}=C_{20}^{k}{{.2}^{20-k}}.{{x}^{20-2k}}$
- Số hạng không chứa x ứng với k: $20-2k=0\Leftrightarrow k=10$
Số hạng không chứa x: $C_{20}^{10}{{.2}^{10}}$
Câu 43: Xác định hệ số của ${{x}^{4}}$ trong khai triển sau: $f[x]={{[3{{x}^{2}}+2x+1]}^{10}}$.
[A]. 8089
[B]. 8085
[C]. 1303
[D]. 11312
Chọn B
$f\left[ x \right]={{\left[ 1+2x+3{{x}^{2}} \right]}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left[ 2x+3{{x}^{2}} \right]}^{k}}$
$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{[2x]}^{k-i}}.{{[3{{x}^{2}}]}^{i}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{2}^{k-i}}{{.3}^{i}}{{x}^{k+i}}$
với$0\le i\le k\le 10$.
Do đó $k+i=4$ với các trường hợp $i=0,k=4$ hoặc $i=1,k=3$ hoặc $i=k=2$.
Vậy hệ số chứa ${{x}^{4}}$: ${{2}^{4}}C_{10}^{4}.C_{4}^{0}+{{2}^{2}}{{3}^{1}}C_{10}^{3}.C_{3}^{1}+{{3}^{2}}C_{10}^{2}.C_{2}^{2}=8085$.
Câu 44: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển thành đa thức của ${{[2-3x]}^{2n}}$, biết n là số nguyên dương thỏa mãn : $C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{3}+C_{2n+1}^{5}+…+C_{2n+1}^{2n+1}=1024$.
[A]. 2099529
[B]. -2099520
[C]. -2099529
[D]. 2099520
Chọn B
Ta có: $\left\{ \begin{align} \sum\limits_{k=0}^{2n+1}{C_{2n+1}^{k}}={{2}^{2n+1}} \\ \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{2n+1}^{2i+1}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{2n+1}^{2i}} \\
\end{align} \right.\Rightarrow \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{2n+1}^{2i+1}}={{2}^{2n}}=1024\Rightarrow n=5$
Suy ra ${{[2-3x]}^{2n}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{2}^{10-k}}.{{[-3]}^{k}}{{x}^{k}}}$
Hệ số của ${{x}^{7}}$ là $C_{10}^{7}{{.2}^{3}}.{{[-3]}^{7}}=-2099520$.
Câu 45: Tìm hệ số của ${{x}^{9}}$ trong khai triển $f[x]={{[1+x]}^{9}}+{{[1+x]}^{10}}+…+{{[1+x]}^{14}}$
[A]. 8089
[B]. 8085
[C]. 3003
[D]. 11312
Chọn C
Hệ số của ${{x}^{9}}$: $C_{9}^{9}+C_{10}^{9}+C_{11}^{9}+C_{12}^{9}+C_{13}^{9}+C_{14}^{9}=3003$.
Câu 46: Tìm hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển đa thức của: $x{{\left[ 1-2x \right]}^{5}}+{{x}^{2}}{{\left[ 1+3x \right]}^{10}}$
[A]. 3320
[B]. 2130
[C]. 3210
[D]. 1313
Chọn A
Đặt $f[x]=x{{\left[ 1-2x \right]}^{5}}+{{x}^{2}}{{\left[ 1+3x \right]}^{10}}$
Ta có : $f[x]=x\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{\left[ -2 \right]}^{k}}.{{x}^{k}}}+{{x}^{2}}\sum\limits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}}{{\left[ 3x \right]}^{i}}$
$=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{\left[ -2 \right]}^{k}}.{{x}^{k+1}}}+\sum\limits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}}{{3}^{i}}.{{x}^{i+2}}$
Vậy hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển đa thức của $f[x]$ ứng với $k=4$ và $i=3$ là: $C_{5}^{4}{{\left[ -2 \right]}^{4}}+C_{10}^{3}{{.3}^{3}}=3320$.
Câu 47: Tìm hệ số cuả ${{x}^{8}}$ trong khai triển đa thức $f[x]={{\left[ 1+{{x}^{2}}\left[ 1-x \right] \right]}^{8}}$
[A]. 213
[B]. 230
[C]. 238
[D]. 214
Chọn C
Cách 1
${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left[ 1-x \right] \right]}^{8}}=C_{8}^{0}+C_{8}^{1}{{x}^{2}}\left[ 1-x \right]+C_{8}^{2}{{x}^{4}}{{\left[ 1-x \right]}^{2}}+C_{8}^{3}{{x}^{6}}{{\left[ 1-x \right]}^{3}}$
$+C_{8}^{4}{{x}^{8}}{{\left[ 1-x \right]}^{4}}+C_{8}^{5}{{x}^{10}}{{\left[ 1-x \right]}^{5}}…+C_{8}^{8}{{x}^{16}}{{\left[ 1-x \right]}^{8}}$
Trong khai triển trên ta thấy bậc của $x$ trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của $x$ trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó ${{x}^{8}}$ chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: $C_{8}^{3}.C_{3}^{2},\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}$.
Vậy hệ số cuả ${{x}^{8}}$ trong khai triển đa thức ${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left[ 1-x \right] \right]}^{8}}$ là:
${{a}_{8}}=C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=238$.
Cách 2: Ta có:
${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left[ 1-x \right] \right]}^{8}}=\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}}{{x}^{2n}}{{\left[ 1-x \right]}^{n}}=\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left[ -1 \right]}^{k}}{{x}^{2n+}}^{k}}$
với $0\le k\le n\le 8$.
Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $2n+k=8\Rightarrow k=8-2n$ là một số chẵn.
Thử trực tiếp ta được $k=0;n=4$ và $k=2,\,n=3$.
Vậy hệ số của ${{x}^{8}}$ là $C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=238$.
Câu 48: Đa thức $P\left[ x \right]={{\left[ 1+3x+2{{x}^{2}} \right]}^{10}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{20}}{{x}^{20}}$. Tìm ${{a}_{15}}$
[A]. ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.3}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.3}^{3}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}.3.$
[B]. ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.2}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.2}^{6}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}{{.2}^{7}}$
[C]. ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.3}^{5}}{{.2}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.3}^{3}}{{.2}^{6}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}{{.2}^{7}}$
[D]. ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.3}^{5}}{{.2}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.3}^{3}}{{.2}^{6}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}{{.3.2}^{7}}$
Chọn D
Ta có: $P\left[ x \right]={{\left[ 1+3x+2{{x}^{2}} \right]}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left[ 3x+2{{x}^{2}} \right]}^{k}}$
$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{[3x]}^{k-i}}.{{[2{{x}^{2}}]}^{i}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{.3}^{k-i}}{{.2}^{i}}{{x}^{k+i}}$
với $0\le i\le k\le 10\,\,$. Do đó $k+i=15$ với các trường hợp
$k=10,i=5$ hoặc $k=9,i=6$ hoặc $k=8,i=7$
Vậy ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.3}^{5}}{{.2}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.3}^{3}}{{.2}^{6}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}{{.3.2}^{7}}$.
Câu 49: Tìm hệ số không chứa $x$ trong các khai triển sau ${{[{{x}^{3}}-\dfrac{2}{x}]}^{n}}$, biết rằng $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78$ với $x>0$
[A]. -112640
[B]. 112640
[C]. -112643
[D]. 112643
Chọn A
Ta có: $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78\Leftrightarrow \dfrac{n!}{[n-1]!1!}+\dfrac{n!}{[n-2]!2!}=78$
$\Leftrightarrow n+\dfrac{n[n-1]}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow n=12$.
Khi đó: $f[x]={{\left[ {{x}^{3}}-\dfrac{2}{x} \right]}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{[-2]}^{k}}{{x}^{36-4k}}}$
Số hạng không chứa $x$ ứng với $k:36-4k=0\Rightarrow k=9$
Số hạng không chứa $x$ là: ${{[-2]}^{9}}C_{12}^{9}=-112640$
Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi ${{a}_{3n-3}}$ là hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${{[{{x}^{2}}+1]}^{n}}{{[x+2]}^{n}}$. Tìm $n$ để ${{a}_{3n-3}}=26n$
[A]. n=5
[B]. n=4
[C]. n=3
[D]. n=2
Chọn A
Cách 1:Ta có :
$\begin{align} {{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{2n}}+C_{n}^{1}{{x}^{2n-2}}+C_{n}^{2}{{x}^{2n-4}}+…+C_{n}^{n} \\ {{\left[ x+2 \right]}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+2C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+{{2}^{2}}C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}+…+{{2}^{n}}C_{n}^{n} \\
\end{align}$
Dễ dàng kiểm tra $n=1$, $n=2$ không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với $n\ge 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích
${{x}^{3n-3}}={{x}^{2n}}.{{x}^{n-3}}={{x}^{2n-2}}.{{x}^{n-1}}$
Do đó hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của
${{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}^{n}}{{\left[ x+2 \right]}^{n}}$ là : ${{a}_{3n-3}}={{2}^{3}}.C_{n}^{0}.C_{n}^{3}+2.C_{n}^{1}.C_{n}^{1}$.
Suy ra ${{a}_{3n-3}}=26n\Leftrightarrow \dfrac{2n\left[ 2{{n}^{2}}-3n+4 \right]}{3}=26n\Leftrightarrow n=-\dfrac{7}{2}$ hoặc$n=5$
Vậy $n=5$ là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Ta có: ${{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}^{n}}{{\left[ x+2 \right]}^{n}}={{x}^{3n}}{{\left[ 1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right]}^{n}}{{\left[ 1+\dfrac{2}{x} \right]}^{n}}$
$={{x}^{3n}}\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{\left[ \dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right]}^{i}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left[ \dfrac{2}{x} \right]}^{k}}}=}{{x}^{3n}}\left[ \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{x}^{-2i}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{-k}}}} \right]$
Trong khai triển trên, luỹ thừa của $x$ là $3n-3$ khi
$-2i-k=-3\Leftrightarrow 2i+k=3$.
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là $i=0,k=3$ hoặc
$i=1,k=1$[vì $i,k$ nguyên].
Hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}^{n}}{{\left[ x+2 \right]}^{n}}$
Là :${{a}_{3n-3}}=C_{n}^{0}.C_{n}^{3}{{.2}^{3}}+C_{n}^{1}.C_{n}^{1}.2$.
Do đó ${{a}_{3n-3}}=26n\Leftrightarrow \dfrac{2n\left[ 2{{n}^{2}}-3n+4 \right]}{3}=26n\Leftrightarrow n=-\dfrac{7}{2}$hoặc$n=5$
Vậy $n=5$ là giá trị cần tìm.
Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{26}}$trong khai triển nhị thức Newton của ${{\left[ \dfrac{1}{{{x}^{4}}}+{{x}^{7}} \right]}^{n}}$, biết $C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n}={{2}^{20}}-1$.
[A]. 210
[B]. 213
[C]. 414
[D]. 213
Chọn A
Do $C_{2n+1}^{k}=C_{2n+1}^{2n+1-k}\text{ }\forall k=0,1,2,…,2n+1$
$\Rightarrow C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+…+C_{2n+1}^{n}=C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+…+C_{2n+1}^{2n+1}$
Mặt khác: $C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{2n+1}={{2}^{2n+1}}$
$\Rightarrow 2[C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n}]={{2}^{2n+1}}$
$\Rightarrow C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n}={{2}^{2n}}-C_{2n+1}^{0}={{2}^{2n}}-1$
$\Rightarrow {{2}^{2n}}-1={{2}^{20}}-1\Rightarrow n=10$.
Khi đó: ${{\left[ \dfrac{1}{{{x}^{4}}}+{{x}^{7}} \right]}^{10}}={{\left[ {{x}^{-4}}+{{x}^{7}} \right]}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{[{{x}^{-4}}]}^{10-k}}.{{x}^{7k}}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{x}^{11k-40}}}$
Hệ số chứa ${{x}^{26}}$ ứng với giá trị $k:$ $11k-40=26\Rightarrow k=6$.
Vậy hệ số chứa ${{x}^{26}}$ là: .
Câu 52: Cho $n\in \mathbb{N}*$ và ${{[1+x]}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Biết rằng tồn tại số nguyên $k$ [$1\le k\le n-1$] sao cho $\dfrac{{{a}_{k-1}}}{2}=\dfrac{{{a}_{k}}}{9}=\dfrac{{{a}_{k+1}}}{24}$. Tính $n=?$.
[A]. 10
[B]. 11
[C]. 20
[D]. 22
Chọn A
Ta có: ${{a}_{k}}=C_{n}^{k}$, suy ra hệ $\left\{ \begin{align} \dfrac{1}{2}\dfrac{n!}{[k-1]![n-k+1]!}=\dfrac{1}{9}\dfrac{n!}{[n-k]!k!} \\ \dfrac{1}{9}\dfrac{n!}{[n-k]!k!}=\dfrac{1}{24}\dfrac{n!}{[n-k-1]![k+1]!} \\
\end{align} \right.$\
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} 9k=2[n-k+1] \\ 24[k+1]=9[n-k] \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} 2n-11k=-2 \\ 9n-33k=24 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow n=10,k=2$.
Câu 53: Trong khai triển của ${{[\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}x]}^{10}}$ thành đa thức
${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{9}}{{x}^{9}}+{{a}_{10}}{{x}^{10}}$, hãy tìm hệ số ${{a}_{k}}$ lớn nhất [$0\le k\le 10$].
[A]. ${{a}_{10}}=3003\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$
[B]. ${{a}_{5}}=3003\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$
[C]. ${{a}_{4}}=3003\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$
[D]. ${{a}_{9}}=3003\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$
Chọn A
Ta có: ${{\left[ \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}x \right]}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{\left[ \dfrac{1}{3} \right]}^{15-k}}{{\left[ \dfrac{2}{3}x \right]}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}\dfrac{{{2}^{k}}}{{{3}^{15}}}{{x}^{k}}}}$
Hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{a}_{k}}=\dfrac{1}{{{3}^{^{15}}}}C_{15}^{k}{{2}^{k}}$
Ta có: ${{a}_{k-1}}