Từ các chữ số $0,1,2,4,5,7,8,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là một số chia hết cho $15?$
A. $124.$ | B. $120.$ | C. $136.$ | D. $132.$ |
Giải.Số cần tìm có dạng $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.$ Vì $N \vdots 15 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} N \vdots 5 \hfill \\ N \vdots 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {a_4} \in \left\{ {0,5} \right\} \hfill \\ {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} = 3k \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Phân chia tập $X=\left\{ 0,1,2,4,5,7,8,9 \right\}$ thành các tập con ${{X}_{1}}=\left\{ 0,9 \right\};{{X}_{2}}=\left\{ 1,4,7 \right\};{{X}_{3}}=\left\{ 2,5,8 \right\}.$
+ Nếu ${{a}_{4}}=0\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=3k$ khi và chỉ khi cả 3 số thuộc ${{X}_{2}};$ cả 3 số thuộc ${{X}_{3}};$ có 1 số thuộc ${{X}_{1}}\backslash \{0\}$ và 1 số thuộc ${{X}_{2}}$ và 1 số thuộc ${{X}_{3}}$
trường hợp này có tất cả $3!+3!+C_{1}^{1}C_{3}^{1}C_{3}^{1}\times 3!=66$ số.
+ Nếu ${{a}_{4}}=5\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=3k-5=3[k-2]+1=3m+1$ khi và chỉ khi có 2 số thuộc ${{X}_{1}}$ và 1 số thuộc ${{X}_{2}};$ có 2 số thuộc ${{X}_{2}}$ và 1 số thuộc ${{X}_{3}}\backslash \{5\};$ có 2 số thuộc ${{X}_{3}}\backslash \{5\}$ và 1 số thuộc ${{X}_{1}}$
trường hợp này có tất cả $C_{2}^{2}C_{3}^{1}\times \left[ 2\times 2! \right]+C_{3}^{2}C_{2}^{1}\times 3!+\left[ 2\times 2!+3! \right]=58$ số.
Vậy có tất cả $66+58=124$ số thoả mãn. Chọn đáp án A.
*Đây là bài toán khó nhé các em vì biện luận hơi mệt =]]