1 số bài toán về cm trung trực năm 2024

Đường trung trực, các kiến thức căn bản đã được cô nhắc đến trong một bài chia sẻ trước đó. Các em có thể tìm lại và đọc thêm. Nắm vững kiến thức căn bản và lý thuyết về đường trung trực, không có nghĩa là biết cách áp dụng chúng thành thạo khi giải toán.

Để làm tốt các đề toán về đường trung trực, các em cần phải luyện tập thật nhiều các dạng bài tập liên quan. Vậy, có những dạng bài tập nào liên quan đến đường trung trực? Cùng cô khám phá ngay 7 dạng đề toán phổ biến nhất về đường trung trực ngay nào!

Phương pháp áp dụng cho kiểu bài toán trên là chứng minh: 2 điểm đầu đoạn thẳng được chia đều bởi đường trung trực đó. Giả sử: đường thẳng d có hai điểm chia đều nhau A và B. Một cách khác các em có thể áp dụng là sử dụng định nghĩa đường trung trực.

Hướng dẫn giải bài tập về đường trung trực

Nếu chứng minh đường trung trực trong hình tam giác, các em có thể sử dụng tính chất đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân. Hoặc dùng kiến thức tính chất đối xứng qua trục của 2 điểm A và B. cách khác là sử dụng tính chất nối tâm của hai điểm nằm trong đường tròn

Ví dụ: Cho góc xOy bằng 60, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của Ab. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC. Chứng minh rằng OB = OC

Giải: Ta có Ox là đường trung trực của AB

Suy ra tam giác AOB cân tại O

Suy ra OB = OA (1)

Ta lại có Oy là đường trung trực của AC

Suy ra tam giác AOC cân tại O

Suy ra OA = OC (2)

Từ (1) và (2), ta có: OB = OC (điều phải chứng minh)

Với dạng bài tập này, các em có thể sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.”

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì?

Bài giải:

DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB, ta có tam giác ADB cân tại D.

EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC, dẫn đến tam giác AEC cân tại E.

Với dạng đề bài này, cần sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó. Nếu không, các em có thể áp dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất .

Bất bình đẳng trong tam giác: tổng hai cạnh bất kỳ lớn hơn cạnh còn lại, hiệu hai cạnh bất kỳ nhỏ hơn cạnh còn lại

Ví dụ: Cho đường thẳng a, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. A, B nằm ở mặt trên của đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho đường thẳng a là trung trực của AC.

1. Hãy so sánh MA + MB với BC.

2. Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.

Hình vẽ minh họa đường trung trực

Lời giải:

1. Gọi H là giao điểm của a với AC, ta có: ∆MHA = ∆MHC (c.g.c) => MA = MC.

Do đó: MA + MB = MC + MB.

Gọi N là giao điểm của đường thẳng a với BC (chứng minh được NA = NC).

Có 2 trường hợp:

1. Nếu M không trùng với N thì: MA + MB = MC + MB > BC (bất đẳng thức trong ∆BMC).
2. Nếu M trùng với N thì: MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC.

Vậy MA + MB ≥ BC.

2. Từ câu a) ta suy ra : Khi M trùng với N thì tổng MA + MB là nhỏ nhất.

Với dạng đề này, các em cần tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác. Đó là: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại O. Yêu cầu chứng minh tứ giác AEOF là tứ giác nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.

Ví dụ minh họa

Lời giải: Gọi điểm I chính là trung điểm của cạnh AO. Bên cạnh đó, OF vuông góc với AF (căn cứ theo giả thiết) nên suy ra tam giác AFO vuông tại điểm F.

I chính là trung điểm của cạnh huyền AO nên suy ra IA = IF = IO (1).

Ta có OE vuông góc với cạnh AE (căn cứ theo giả thiết) nên suy ra tam giác AEO vuông tại điểm E. Điểm I là trung điểm của cạnh huyền AO.

IA = IF = IO (2)

Căn cứ vào điều (1) và (2) ta có thể suy ra được IA = IF = IO = IE. Hay nói các khác là điểm I cách đều bốn đỉnh là A, E, O và F. Suy ra tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn có tâm I chính là trung điểm của cạnh AO

Các đề bài liên quan đến đường trung trực của tam giác cân, các em phải dựa vào tính chất: trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Lời giải:

ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực của BC.

ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực của BC

ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC ⇒ E thuộc đường trung trực của BC

Do đó A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC nên kết luận A, D, E thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Dạng đề bài này sẽ áp dụng tính cách đường trung trực trong tam giác vuông. Đó là: Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 3cm, BC = 4cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC?

Lời giải:

E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có: EA = EB = EC

Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta được:

AC2 = AB2 + BC2 = 25

AC = 5 cm

\=> EA = EB = EC = AC/2 = 2,5 cm

Hiện nay, có một số bài kiểm tra sẽ yêu cầu các em phải viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng. Với yêu cầu này, các em sẽ là theo các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và một điểm mà nó đi qua.
2. Ta dựa vào định lý 1: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó” Nghĩa là nếu điểm M thuộc đường thẳng AB thì thì MA = MB.

Nhìn chung, các dạng đề toán về đường trung trực thường được lồng ghép trong nhiều dạng bài tập khác nhau. Hoặc có thể kết hợp cùng các kiến thức khác. Vì vậy, muốn lấy trọn điểm hình học khi kiểm tra Toán, đường trung trực là kiến thức nắm lòng mà các em cần nhớ.

Hãy cho cô biết các dạng toán về đường trung trực mà các em đang vướng mắc nhé! Cô Vân Veo sẽ giúp các bạn tìm câu trả lời nhanh nhất.