- LG a
- LG b
Cho hình chópS.ABC. Biết rằng có một mặt cầu bán kính r tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâmIcủa mặt cầu nằm trên đường caoSHcủa hình chóp.
LG a
Chứng minh rằngS.ABClà hình chóp đều.
Lời giải chi tiết:
Vì các cạnh của hình chóp tiếp xúc với mặt cầu nên
SA+BC = SB+AC = SC+AB
Mặt khác , tâmIcủa mặt cầu thuộc đường caoSHnên dễ thấy \[\widehat {ISA} = \widehat {ISB} = \widehat {ISC},\] tức là \[\widehat {HSB} = \widehat {HSA} = \widehat {HSC},\] từ đó SA=SB=SC.
VậyAB = BC = CA, từ đóS.ABClà hình chóp đều.
LG b
Tính đường cao của hình chóp biết rằng \[{\rm{IS = r}}\sqrt 3 .\]
Lời giải chi tiết:
ĐặtSH = h.
GọiMlà trung điểm củaBCthìmp[SAM] cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này tiếp xúc vớiSAtạiA1, đi qua điểmMvà cắtAMtạiM1, dễ thấyAM1= M1H = HM.
Vì \[\Delta S{A_1}I \sim \Delta SHA\] nên \[{{{A_1}I} \over {SI}} = {{AH} \over {SA}},\]
Từ đó \[{r \over {r\sqrt 3 }} = {{AH} \over {\sqrt {{h^2} + A{H^2}} }}.\]
Từ AH = 2M1H suy ra
\[\eqalign{ & A{H^2} = 4{M_1}{H^2} = 4[IM_1^2 - I{H^2}]. \cr & = 4\left[ {{r^2} - {{[h - r\sqrt 3 ]}^2}} \right]. \cr} \]
Vậy
\[\eqalign{ & {1 \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt {{r^2} - {{[h - r\sqrt 3 ]}^2}} } \over {\sqrt {{h^2} + 4\left[ {{r^2} - {{[h - r\sqrt 3 ]}^2}} \right]} }} \cr & \Leftrightarrow 9{h^2} - 16rh\sqrt 3 + 16{r^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow h = {{4r} \over {\sqrt 3 }}[do\;\,h > {\rm{IS > r]}}{\rm{.}} \cr} \]